1、2.7 函数的图象 最新考纲 1.理解点的坐标与函数图象的关系；2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象；3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题 1描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象 2图象变换(1)平移变换【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a0且a1)的图象相同()(3
2、)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(5)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位得到函数yf(x1)的图象()(6)不论a(a0且a1)取何值，函数yloga2|x1|的图象恒过定点(2，0)()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1函数 y1 1x1的图象是()【解析】将 y1x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数 y1 1x1的图象【答案】B2(2015贵州七校联考)已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是()Af(x)ln|x|x Bf
3、(x)exxCf(x)1x21 Df(x)x1x【解析】由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B、C.若函数为 f(x)x1x，则 x时，f(x)，排除 D，故选 A.【答案】A3已知图中的图象对应的函数为yf(x)，则图中的图象对应的函数为()Ayf(|x|)By|f(x)|Cyf(|x|)Dyf(|x|)【答案】C【解析】yf(|x|)f（x），x0，f（x），xm，x24x2，xm的图象与直线 yx 恰有三个公共点，则实数 m 的取值范围是()A(，1 B1，2)C1，2 D2，)【解析】方法一：特值法，令m2，排除C、D，令m0，排除A，故选B.方法二：令x24x2x，解得x
4、1或x2，所以三个解必须为1，2和2，所以有1m2.故选B.【答案】B 题型一 作函数的图象【例 1】分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1；(4)yx2x1.【解析】(1)ylg x （x1），lg x（0 x1）图象如图.(2)将 y2x 的图象向左平移 2 个单位图象如图.(3)yx22x1（x0），x22x1（x0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程跟踪训练 1 作出下列函数的图象(1)y|x2|(x1)；(2)yx2x3.【解析】(1)当 x2，即 x20 时，y(x2)
5、(x1)x2x2x12294；当 x2，即 x20 时，y(x2)(x1)x2x2x12294.yx12294，x2，x12294，x2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)(2)yx2x31 1x3，该函数图象可由函数 y1x向左平移3 个单位，再向上平移 1 个单位得到，如下图所示 题型二 识图与辨图【例2】(1)(2015全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()(2)已知 f(x)2x（1x0），x（0 x1），则下列函
6、数的图象错误的是()【解析】(1)排除法排除错误选项 当 x0，4 时，f(x)tan x 4tan x，图象不会是直线段，从而排除 A，C.当 x4，34 时，f4 f341 5，f2 2 2.2 21 5，f2 f4 f34，从而排除 D，故选 B.(2)先在坐标平面内画出函数 yf(x)的图象，再将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度即可得到 yf(x1)的图象，因此 A正确；作函数 yf(x)的图象关于 y 轴的对称图形，即可得到 yf(x)的图象，因此 B 正确；yf(x)的值域是0，2，因此 y|f(x)|的图象与 yf(x)的图象重合，C 正确；yf(|x|)的定义域是
7、1，1，且是一个偶函数，当 0 x1时，yf(|x|)x，相应这部分图象不是一条线段，因此选项 D不正确 综上所述，选D.【答案】(1)B(2)D【思维升华】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象 跟踪训练2(1)(2016潍坊高三期末)函数yxsin x在，上的图象是()(2)已知定义在区间0，2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为()【解析
8、】(1)容易判断函数 yxsin x 为偶函数，可排除 D.当 0 x0，当 x时，y0，可排除 B、C，故选 A.(2)方法一：由 yf(x)的图象知，f(x)x（0 x1），1（1x2）.当 x0，2时，2x0，2，所以 f(2x)1（0 x1），2x（1x2），故 yf(2x)1（0 x1），x2（1x2）.图象应为 B.方法二：当 x0 时，f(2x)f(2)1；当 x1 时，f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选 B.【答案】(1)A(2)B题型三 函数图象的应用【例3】已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合Mm|使方程f(x
9、)m有四个不相等的实根【思维点拨】可利用图象直观得到函数单调性；方程解的个数可转化为函数图象交点个数【解析】f(x)（x2）21，x（，13，），（x2）21，x（1，3）.作出函数图象如图(1)函数的增区间为1，2，3，)；函数的减区间为(，1，2，3(2)在同一坐标系中作出yf(x)和ym的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)由图知0m1，Mm|0m0，b0，c0Ba0，c0 Ca0，c0Da0，b0，c0【解析】(1)方程解的个数可转化为函数yx2|x|的图象与直线y1a交点的个数，如图：易知141a0，1a0，c0，b0.令 f(x)0，得 xba，结合图象知ba0，a1或x1）
10、，x1（1x1）.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当 0k1 或 1k4 时有两个交点【答案】(0，1)(1，4)【温馨提醒】(1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质(2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图方法与技巧1列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状；(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等
11、等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数 y 1x2的图象2合理处理识图题与用图题(1)识图 对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系(2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况失误与防范1函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从 f(2x)的图象到 f(2x1)的图象是向右平移12个单位，其中是把 x 变成x12.2当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用