1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网DDDDCCCCAAAAEEEEBBBB考点 38几何证明选讲【高考再现】1（2012 年高考（四川理）如图,正方形 ABCD 的边长为1,延长 BA 至 E,使1AE=,连接EC、ED 则sinCED=（）A 3 1010B 1010C510D5153.（2012 年高考（陕西理）如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为E,EFDB,垂足为 F,若6AB=,1AE=,则 DF DB=_.【解 析】:5BE=,25DEAE EB=,5DE=,在 RtDEBD中,25DF DBDE=4.（2012 年高考（湖南理）如图 2,过点 P
2、 的直线与圆 O 相交于 A,B 两点.若 PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O 的半径等于_.【答案】6【解析】设 PO 交圆 O 于 C,D,如图,设圆的半径为 R,由割线定理知,1(12)(3-)(3),6.PA PBPC PDrrr=+=+=即AAAABBBBOOOOPPPP图 2222高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网5（2012 年高考（广东理）(几何证明选讲)如图 3,圆 O 的半径为 1,A、B、C 是圆周上的三点,满足30ABC=,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则 PA=_.【答案】3【解析】:连接OA,则60AOC=,90OAP=,
3、因为1OA=,所以3PA=.7（2012 年高考（陕西文）如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为E,EFDB,垂 足 为 F,若6AB=,1AE=,则 DF DB=_.【解析】:5BE=,25DEAE EB=,5DE=,在 RtDEBD中,25DF DBDE=9（2012 年高考（新课标理）选修 4-1:几何证明选讲如图,D E 分别为 ABC边,AB AC 的中点,直线 DE 交 ABC的外接圆于,F G 两点,若/CFAB,证明:(1)CDBC=;(2)BCDGBD【解析】(1)/CFAB,/DFBCCFBDADCDBF=FFFFGGGGDDDDEEEEAAAABBBBC
4、CCC高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网/CFABAFBCBCCD=(2)/BCGFBGFCBD=/BCGFGDEBGDDBCBDC=BCDGBD10（2012 年高考（辽宁理）选修 41:几何证明选讲如图,O 和/O 相交于,A B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交O 于点 E.证明：()AC BDAD AB=;()ACAE=.【答案及解析】11（2012 年高考（江苏）选修 4-1:几何证明选讲如图,AB 是圆 O 的直径,D E 为圆上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C,使BDDC=,连结,AC AE DE.求证:E
5、C=.【解析】证明:连接 AD.AB 是圆O 的直径,090ADB=(直径所对的圆周角是直角).ADBD(垂直的定义).又 BDDC=,AD 是线段 BC 的中垂线(线段的中垂线定义).ABAC=(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等).BC=(等腰三角形等边对等角的性质).又,D E 为圆上位于 AB 异侧的两点,BE=(同弧所对圆周角相等).EC=(等量代换).12（2012 年高考（课标文）选修 4-1:几何选讲如图,D,E 分别是ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交ABC 的外接圆与F,G 两点,若 CFAB,证明:()CD=BC;高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资
6、源网()BCDGBD.【方法总结】注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理在一个题目中，判定定理和性质定理可能多次用到涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角【考点剖析】一明确要求考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用；考查圆的切线定理和性质定理的应用；考查相交弦定理，切割线定理的应用；考查圆内接四边形的判定与性质定理二命题方向牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法；紧紧抓住相交弦定理、切割线定理以及圆内接四边形的判定与性质定理，重点以基本知识、基本方
7、法为主，通过典型的题组训练，掌握解决问题的基本技能.三规律总结1平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰(2)平行截割定理及其推论高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比(4)梯形的中
8、位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半2相似三角形基础梳理1圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半(3)圆周角定理的推论同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等半圆(或直径)所对的圆周角是 90；90的圆周角所对的弦是直径2圆的切线高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个dr相切一个dr相离无dr(2)切线的性质及判定切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的判定定理过半径外端且与这
9、条半径垂直的直线是圆的切线(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等3弦切角基础梳理1圆中的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦 AB、CD 相交于圆内点 P(1)PAPBPCPD；(2)ACPDBP(1)在 PA、PB、PC、PD 四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA 切O 于A，PBC 是O 的割线(1)PA2PBPC；(2)PABPCA(1)已知 PA、PB、PC 知二可求一；(2)求解 AB、AC高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网割线定理PAB、PCD 是O 的割线(1)PAPBPCPD；(2)PACPDB(1)求线段 PA、PB、PC、PD
10、及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD2.圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补(2)圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆【基础练习】1（经典习题）如图所示，已知 abc，直线 m、n 分别与 a、b、c 交于点 A，B，C 和 A，B，C，如果 ABBC1，AB32，则 BC_.2（经典习题）如图所示，BD、CE 是ABC 的高，BD、CE 交于 F，写出图中所有与ACE 相似的三角形_3高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（
11、经典习题）如图所示，已知 DEBC，BFEF32，则 ACAE_，ADDB_.4（经典习题）如图所示，ABC 中，C90，AB10，AC6，以 AC 为直径的圆与斜边交于点 P，则 BP 长为_【解析】连接 CP.由推论 2 知CPA90，即 CPAB，由射影定理知，AC2APAB.AP3.6，BPABAP6.4.【答案】6.45（经典习题）如图所示，AB、AC 是O 的两条切线，切点分别为 B、C，D 是优弧 BC 上的点，已知BAC80，那么BDC_.6（经典习题）如图所示，已知O 的两条弦 AB、CD 相交于 AB 的中点 E，且AB4，DECE3，则 CD 的长为_高考资源网（）您身边
12、的高考专家版权所有高考资源网【名校模拟】一基础扎实1(北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习（二）理)如图，直线 PC 与 O相切于点C，割线 PAB 经过圆心O，弦CD AB 于点 E，4PC=，8PB=，则CE=2(北京市西城区 2012 届高三下学期二模试卷理)如图，ABC 是O 的内接三角形，PA是O 的切线，PB 交 AC 于点 E，交O 于点 D 若 PAPE=，60ABC=，1PD=，9PB=，则 PA=_；EC=_【答案】3，4；【解析】由切割线定理可知21 9,3;PAPD PBPA=60,ABCPACPAPEAPE=，为等边三角形，3126AEAPDP
13、EDEPDPBE=，由割线定理可知：,36 24.AEECBEEDECEC=，3(北京市西城区 2012 届高三 4 月第一次模拟考试试题理)如图，AC为 O 的直径，OBAC，弦 BN 交 AC 于点 M 若3OC=，ABCOMN高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网1OM=，则 MN=_【答案】1【解析】BMMNCMAM=2(31)(31)MN=+1MN=4 如 图，PC 切 圆 O 于 点 C，割 线 PAB 经 过 圆 心 O，4,8PCPB=，则OBCS=.5（湖北 2012 高考冲刺理）6（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）如图，A，B是圆O上的两点，且OAOB
14、，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=.【答案】：3 55【解析】：由题意得，在直角 BOC，中2,15OBOCBC=，延长AO，与圆O的交点为E，在圆O中，由相交弦定理得 BC CDAC CE=,高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网则1 33 555ACCECDBC=。7(华中师大一附中 2012 届高考适应性考试理)（选修 41：几何证明选讲）如图，O 的直径为 6，为圆周上一点，BC=3,过作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线 AD，垂足为，则 CD=.8(2012 年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)已知 AB 为半圆O 的直径，4AB=，C 为
15、半圆上一.点，过点C 作半圆的切线CD，过点 A 作 ADCD于 D，交圆于点 E，1DE=()求证：AC 平分BAD；()求 BC 的长二能力拔高9(2012 东城区普通高中示范校高三综合练习（二）理)如图，已知 PA 是O 的切线，A 是切点，直线 PO 交O 于,B C 两点，D 是OC 的中点，连结 AD 并延长交O 于点 E，若2 3,30PAAPB=，则 AE=.【答案】10 77AE=【解析】根据已知可得tan302AOAP=。故1OD=,且120AOD=，在 AOD中，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网根 据 余 弦 定 理 可 得4 1 2 2 1cos1207
16、AD=+=。根 据 相 交 弦 定 理 得CDDBADDE=，即1 37DE=，所以3 77DE=，所以10 77AE=.11(2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试理)如图，在 ABC 中，CD 是ACB的平分线，ACD 的外接圆交 BC 于点 E，2ABAC=.求证：2BEAD=；当1AC=，2EC=时，求 AD 的长.12.（2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文）如图，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 外一点，过 P 点作 PC AB 于 C，交圆O 于 D 点，PA交圆O 于 E 点，BE 交 PC 于 F 点(I)求证：PABE=；()求证：2CDCF CP=i证明
17、：（）依题意，090AEBACP=，所以在 Rt ACP中，90;PPAB=高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网在 Rt ABE中,90;ABEPAB=所以.PABE=（）在ADBRt中，2CDAC CB=，由得 BCF PCA,BCCFPCAC=,2CDBC ACCF CP=,所以2CDCF CP=i.13.(唐山市 20112012 学年度高三年级第一次模拟考试文)如图，AB 是圆 O 的直径，以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为P.过点 A 作直线交圆 O 于点 Q,交圆 B 于点 M、N.(I)求证：QM=QN;(II)设圆 O 的半径为 2,圆 B 的半径为 1
18、,当 AM=103时，求 MN 的长.14.(2012 河南豫东豫北十所名校毕业班阶段性测试(三）文)如图，四边形 ABCD 是的内接四边形，延长 BC，AD 交于点 E,且 CE=AB=AC,连接 BD，交 AC于点 F.(I)证明:BD 平分；(II)若 AD=6，BD=8，求 DF 的长.【解析】：（）CEAC=，ECAE=（2 分）ABAC=，ABCACB=DBCCAE=，DBCECAE=ABCABDDBC=+，ACBECAE=+，（4 分）ABDCAE=，ABDDBC=，即 BD 平分ABC（5 分）（）由（）知CAEDBCABD=又ADFADB=，ADFBDA（7 分）高考资源网（
19、）您身边的高考专家版权所有高考资源网 ADDFBDAD=，6AD=，8BD=236982ADDFBD=（10 分）15.(中原六校联谊 2012 年高三第一次联考理)如图，O1与O2相交于 A、B 两点，过点 A作O1的切线交O2于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交O1、O2于点 D、E，DE 与 AC 相交于点 P（1）求证：AD/EC；（2）若 AD 是O2的切线，且 PA=6，PC=2，BD=9，求 AD 的长。三提升自我16(仙桃市 2012 年五月高考仿真模拟试题理)如图，半径分别为 a 和 a3 的圆 O1与圆 O2外切于 T，自圆 O2上一点 P 引圆 O1的切线，切点为 Q
20、，若 PQ=2a，则 PT=。17（湖北钟祥一中 2012 高三五月适应性考试理）（41：几何证明选讲）如图，PA是圆 O的切线，A 是切点，直线 PO 交圆O 于 B、C 两点，D 是OC 的中点，连结 AD 并延长交圆O 于点 E，若2 3PA=，30APB=，则 AE=_高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网18(襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)如图：直角三角形 ABC 中，B90 o，AB4，以 BC 为 直 径 的 圆 交 边 AC 于 点 D，AD 2，则 C 的 大 小为19(湖北省武汉市 2012 届高中毕业生五月供题训练（二）理)如图，已知 C 点在O 直径 B
21、E 的延长线上，CA 切O 于 A 点，CD 是ACB 的平分线且交 AB 于点 D则ADC 的度数是.【答案】：045ADC=【解析】：由题意得，设 AE 与 CD 交于 F，EAC=，个怒弦切角定理，则ABE=，根据三角形外角定理，得090AEC=+，根据三角形内角和定理0902ACE=，由于 CD 时ACB 的平分线，所以045FCE=,ABCD第 15 题（1）高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网由三角形的内角和定理，的0000180(90)(45)45CFE=+=,再由对顶角定理，知045AFD=，又090DAF=，所以045ADC=。20(河北唐山市 2012 届高三第
22、三次模拟理)（本小题满分 10 分）选修 41；几何证明选讲21(河北省唐山市 20112012 学年度高三年级第二次模拟考试理)（本小题满分 10 分）选修 4-1:几何证明选讲如图，在ABC 中，BC 边上的点 D 满足 BD=2DC，以 BD 为直径作圆 O 恰与 CA 相切于点 A，过点 B 作 BECA 于点 E，BE 交圆 D 于点 F（I）求ABC 的度数：（II）求证：BD=4EF高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网 316BD2EF 34BD，BD4EF22(2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试文)已知四边形 ACBE,AB 交 CE 于 D点，(I)求证：；(II)求证:A、E、B、C 四点共圆.【原创预测】如图 AB 是的直径，弦 BD,CA 的延长线相交于点 E,EF 垂直JBA 的延长线于点 F.(I)求证:，；(II)若，求 AF 的长.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网