1、黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学综合训练试题（三）文（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解B中的不等式，结合，得到，进而根据交集的定义求解.【详解】,又,所以,故选C.【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及二次不等式求解，属基础题.2.已知i是虚数单位，复数，则的虚部为（ ）A. B. 3C. D. 2【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法和乘法算出，再计算，从而可得的虚部.【详解】，所以，其虚部为，故选：A.【点睛
2、】本题考查复数的乘法和除法以及共轭复数、复数的虚部等概念，注意复数 的虚部为，不是.3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依次判断函数的奇偶性和单调性得到答案.【详解】A. ，偶函数，在上单调递增，满足条件； B. ，奇函数，在上单调递增，排除； C. ，偶函数，在上单调递减，排除； D. ，非奇非偶函数，在上单调递减，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.4.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案.如图所示的窗棂图案，是将边
3、长为的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形.若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的.求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率.【详解】连接，得等边三角形，边长为1，如图所示则阴影部分的面积为阴影，故所求概率为.故选：B.【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.5.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】根据空间中线线、线面位
4、置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，若，则或与相交；故A错；B选项，若，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；C选项，若，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；D选项，若，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.6.执行如图所示的程序框图，若输入的，的值分别为1，1，则输出的是（ ） A. 41B. 17C. 12D. 3【答案】B【解析】分析】执行程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】由题意，执行程序框图，可知，；第1次循环：，不
5、满足判断条件；第2次循环：，不满足判断条件；第3次循环：，满足判断条件，跳出循环体，输出.故选：B【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中根据程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了计算能力.7.（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和若，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.8.已知向量，若，三点共线，则（ ）A. 10B. 80C. 10D. 80【答案】A【解析】【分析】根据,三点共线,得到,根据平面向量基本
6、定理即可求得,得到向量,即可求得.【详解】解：因为,三点共线,所以,则,所以,故.故选：A【点睛】本题考查共线向量与平面向量的数量积,考查运算求解能力.9.已知函数是R上的奇函数，函数是R上的偶函数，且，当时，则的值为（ ）A. 1.5B. 8.5C. 0.5D. 0.5【答案】D【解析】【分析】由已知中函数是R上的奇函数，函数是R上的偶函数，且，可得是以8为周期的周期函数，逐步转化，进而求得的值.【详解】函数是R上的奇函数，又函数是R上的偶函数，又，故，即是以8为周期的周期函数，.故选：D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用.10.函数的部分图象如图
7、所示，已知，且，则（ ）A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出的解析式，再根据得到，从而得到的值.【详解】由函数的部分图象可得，所以，所以.故，因为，故即，而，故，所以.因为，整理得到，所以，所以或，即或（舍）.，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，依据图象求解析式时，要遵循“两看一算”即看周期与振幅，利用对称轴算初相位，另外，已知三角函数值的关系要求自变量的关系时，要利用诱导公式化成同名的三角函数的相等关系，再依据终边的位置关系得到自变量的关系.11.已知抛物线，过点作倾斜角为的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（ ）A. B. C.
8、 D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得直线，联立方程组即可求得中点，进而可得直线，求出点后即可得解.【详解】由题意可得直线，设，中点，联立方程组，消去得，易得，点，又 ，直线，令可得即点，线段.故选：A.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题.12.定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，可得在定义域内上是增函数，且，进而根据转化成，进而可求得答案【详解】令，则，在定义域上是增函数，且，可转化成，得到，又，可以得到故选D【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于
9、中档题第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知轴为曲线的切线，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设轴与曲线的切点为，由题意结合导数的几何意义可得，解方程即可得解.【详解】由题意，设轴与曲线的切点为，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.14.已知等比数列的前项和为，若，则的值是 【答案】-2【解析】试题分析：，考点：等比数列性质及求和公式15.如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得已知山高，则山高_【答案】150【解
10、析】试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，故答案为150考点：正弦定理的应用16.如图所示，平面四边形ACBD中，为等边三角形，现将沿AB翻折，使点D移动至点P，且，则三棱锥的体积为_，其外接球的表面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】证平面利用等体积转化求三棱锥的体积；将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.【详解】由，可知平面 因为平面，将三棱锥补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同由直三棱柱性质易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记的外心为，由为等边
11、三角形，即为等边三角形，可得又，故在中，此即为外接球半径，从而外接球表面积为故答案为：；【点睛】本题考查了三棱锥体积及外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第1721题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让.我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”
12、.下表是六安市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据：月份12345“不礼让斑马线”的驾驶员人数1201051008590（1）根据表中所给的5个月的数据，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）求“不礼让斑马线”的驾驶员人数关于月份之间的线性回归方程；（3）若从4，5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率；参考公式：线性回归方程，其中，.【答案】（1）详见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）按照题中公式计算，结合越接近1，线性相关关系就越强；（2）按照
13、题中的公式计算即可；（3）采用列举法及古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】（1）依题意，计算，具有很强的线性相关关系.（2），所以关于月份之间的线性回归方程为.（3）从4月份选取的4人分别记为，从5月份选取的2人分别记为，.从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件有，共15个，其中“抽取2人分别来自两个月份”包含的基本事件为，共8个，故所求概率为.【点睛】本题考查线性回归方程的应用以及古典概型的概率计算，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.18.已知，将图像向右平移个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象.（1）求函数在上的值域及单调递增区间；（2）若
14、，且，求的面积.【答案】（1）值域为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，结合图象变换可得的解析式，再利用正弦函数的性质可求在上的值域及单调递增区间.（2）先求出，从而可求，再根据正弦定理求出，最后根据面积公式可求的面积.【详解】解：（1），则的图象向右平移个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，故可得，由，则，则，则的值域为.令，则，由，则单调递增区间为.（2）因为，即可得，因为，故可得.由，求得，故可得.由正弦定理得，即，解得.又，故的面积.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单
15、调区间、对称轴方程和对称中心等，另外三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值.19.如图所示，四棱锥中，平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连结和，可证明得到四边形为平行四边形，进而证得平面；（2）先证明平面，进而得到平面平面，作交于，则平面，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离.【详解】证明：（1）取的中点，连结和，为的中点，且，且，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面；（2），为的中点，平
16、面，平面，又，平面，平面，由（1）可知，平面，平面，平面平面，作交于，则平面，在直角三角形中，有，即点到平面距离为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，转化思想，等面积法，属于中档题.20.已知椭圆的长轴长为，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左焦点为，点是椭圆与轴负半轴的交点，经过的直线与椭圆交于点，经过且与平行的直线与椭圆交于点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出后可得椭圆的标准方程.（2）设直线的方程为，,联立直线的方程与椭圆方程，消去后利用韦达定理可求的长度（用表示），同理可求的长度（用表示），结合可得关于的方程，解方
17、程后可得所求的直线方程.【详解】（1）因为长轴长为，故，又离心率为，故，所以，故椭圆方程为：.（2）因为，所以与轴不垂直，设直线的方程为，由，得，则，依题意，直线AB的方程为，代入中，得，设，又，可得，则，由，所以，从而，则，直线的方程为即或.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的参数的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把线段的长度等化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为关于参数的方程，从而可求参数的值.21.已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）
18、若时，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数求出在上的单调性即可（2）由得，令，然后分、四种情况求出的单调性即可.【详解】（1）， 令，得；，得和 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减因为，所以时，. （2），即.设， ，.，又，. 即时，在上递减，则，不满足.即时，当，即时，使得且，在内递减，不满足当，即时，使得，且，在上递增，在上递减，又，所以成立. 当，即时，在上递增，则.满足题意.综上，【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，最值和利用导数解决恒成立问题，属于较难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则
19、按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线：（为参数，），曲线：（为参数），与相切于点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程及点的极坐标；（2）已知直线：与圆：交于，两点，记的面积为，的面积为，求的值.【答案】（1）；点的极坐标为（2）【解析】【分析】（1）消去参数得的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得的极坐标方程；由题意得的极坐标方程为，代入的极坐标方程后利用即可得解；（2）由题意可得，设，将代入后即可得，再利用三角形面积公式可得，化简即可得解.【详解】（1）消去参数可得的直角坐标方程为，将代入得的
20、极坐标方程为，又的参数方程为（为参数，），可得的极坐标方程为，将代入得，则，又，所以，此时，所以点的极坐标为.（2）由的极坐标方程为，可得的直角坐标方程为，所以圆心，设，将代入，得，所以，所以，又因为，所以.【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题.选修4-5；不等式选讲23.已知函数.（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，不等式为，根据分类讨论解不等式即可（2）由题意可得当时，有解，即上有解，故只需（，由此可得结论试题解析：（1）当时，不等式为，若，则原不等式可化为，所以；若，则原不等式可化为，所以；若，则原不等式可化为，所以综上不等式的解集为（2）当时，由，得即故，又由题意知（，所以故实数m的取值范围为