1、限时：40分钟满分：56分1(满分14分)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2y24x20 的圆心(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标解：(1)由x2y24x20得(x2)2y22，故圆C的圆心为点(2,0)从而可设椭圆E的方程为1(ab0)，其焦距为2c.由题设知c2，e.所以a2c4，b2a2c212.故椭圆E的方程为1.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1，l2的方程分别为l1：yy0k1(xx0)，l2：yy0k2(
2、xx0)，且k1k2，由l1与圆C：(x2)2y22相切得，即(2x0)22k2(2x0)y0k1y20.同理可得(2x0)22k2(2x0)y0k2y20.从而k1，k2是方程(2x0)22k22(2x0)y0ky20的两个实根，于是且k1k2.由得5x8x0360，解得x02，或x0.由x02得y03；由x0得y0，它们均满足式故点P的坐标为(2,3)，或(2，3)，或，或.2(满分14分)如图，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t12，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2
3、)设动圆C2：x2y2t22与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：t12t22为定值解：(1)设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，得1.从而yb2，代入得1(xa，yb0)的离心率e ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大
4、？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由解：(1)由e ，得ab，椭圆C：1，即x23y23b2，设P(x，y)为C上任意一点，则|PQ|，byb，若b1，当yb时，|PQ|max3，又因为b0，得b1(舍去)；若b1，则b1，当y1时，|PQ|max3，得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)法一：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有n21，即n21，m.由题意可得SAOB|OA|OB|sin AOBsin AOB，当AOB90时取等号，这时AOB为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直线mxny1的距离为，则 ，得m2n22，又因为n21，解得m2，n2，即
5、存在点M的坐标为，或，或，或满足题意，且AOB的最大面积为.法二：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有n21，即n21，m.设A(x1， y1)、B(x2，y2)，由消去y得(m2n2)x22mx1n20，把n21代入整理得(32m2)x26mxm20，则8m2(3m2)0，所以而SAOB|OA|OB|sin AOBsin AOB，当AOB90，SAOB取得最大值，此时x1x2y1y20，又因为y1y2，所以x1x20，即33m(x1x2)(32m2)x1x20，把代入上式整理得2m49m290，解得m2或m23(舍去)，所以m，n ，所以M点的坐标为，或，或，或，使得SAOB取得最大值
6、.4(满分14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意设椭圆的标准方程为：1(ab0)由已知得ac3，ac1，所以a2，c1，所以b2a2c23，因此椭圆C的标准方程为1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(34k2)x28mkx4(m23)0，则又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，所以kADkBD1，即1.故y1y2x1x22(x1x2)40.即40.则7m216mk4k20.解得m2k，或m，且均满足34k2m20.当m2k时，l的方程为：yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m时，l的方程为：yk，直线过定点.所以，直线l过定点，定点坐标为.
