1、黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学下学期第二次“战疫”线上测试试题 文（含解析）一选择题1.已知集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先解出集合,再根据补集、交集的定义即可得出答案【详解】因为不等式解得或，故，所以，则.故选:D【点睛】本题主要考查了集合的交集与补集，以及一元二次不等式的解法，属于基础题。2.设复数满足（为虚数单位），则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出数复数，即可得到答案.【详解】复数满足，则，所以复数.故选：A.【点睛】本题考查复数的模、共轭复数的概念，考查运算求解能力.3.
2、设向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】首先把两边同时平方，再根据投影的定义即可求出向量在向量方向上的投影。【详解】将平方得，即，则，则向量在向量方向上的投影为.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的模，以及投影，即向量在向量方向上的投影为：。属于基础题。4.人体的体质指数（BMI）的计算公式:（体重单位为，身高单位为），其判断标准为下表:BMI18.5以下18.523.92429.930以上等级偏瘦正常超标重度超标某小学生的身高为，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则他的体重可能是（ ）A. 72B. 68C. 62D.
3、 50【答案】C【解析】【分析】根据人体的体质指数的计算公式以及超标时BMI的值即可排除答案。【详解】由题知，体重=身高，故小明的体重范围为，即.故选：C【点睛】本题主要考查了推理与证明能力以及估算思想，属于基础题。5.函数在的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，取特殊值即可判断.【详解】因为，所以函数为奇函数，故排除A,B由于 ，排除D故选C.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，一般要结合函数的奇偶性、定义域、单调性、特殊点等综合来判断，属于中档题.6.在等差数列中，若，则和的等比中项为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】
4、根据等差数列的性质计算出，再根据等比中项的定义即可求出答案【详解】由题意得：，所以，所以.，所以和的等比中项为故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若则），以及等比中项，属于基础题。7.某校高二年级四个文科班要举行一轮单循环（每个班均与另外三个班比赛一场）篮球赛，则所有场次中甲乙两班至少有一个班参加的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先列出所有比赛的场次，再找出甲乙两班至少有一个班参加比赛的次数。【详解】所有比赛的场次有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共六种可能，至少含有甲乙两班中的一个班的有5种情况，概率为故选D.【点睛】本题考查了概率中简单的组合问题
5、，属于基础题。8.已知抛物线的焦点为是抛物线的准线上一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义求得直线的倾斜角与斜率即可.【详解】作轴于,则根据抛物线的定义有.又,故,故.故,故直线的倾斜角为.故直线的斜率为.直线的方程为,化简得.故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的定义应用,需要作出辅助线求得直线的倾斜角与斜率,进而求得方程.属于基础题型.9.已知如图，点，分别是正方体中棱，的中点，则（ ）A. ，且直线，是相交直线B. ，且直线，是异面直线C. ，且直线，是相交直线D. ，且直线，是异面直线
6、【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法，设正方体的棱长为2即可计算出相应的长度，再根据正方体的性质即可得出答案。【详解】设正方体的棱长为2，则，所以，设，分别为和的中点，则六边形是过四点的平面截正方体的截面，所以与是共面直线，且与不平行，所以与是相交直线.故选C.【点睛】本题主要考查了正方体简单的几何性质，属于基础题。10.已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，即可得出 ，从而得出，再根据计算出 ，利用 即可计算出答案。【详解】由题意得，所以，又因为，所以，所以，所以，所以故选：C.【点睛】本题主要考查了辅助角公式以及以及两角和的余弦，属于常考
7、题。11.已知函数是上的奇函数当时，且，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性可求得在时的解析式，由此可确定的单调性，利用单调性可将所求不等式化为，解一元二次不等式求得结果.【详解】当时，为上的奇函数，在上单调递增，在上单调递增，且当时，在上单调递增，由得：，即，解得：，实数的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查利用函数单调性求解函数不等式的问题，涉及到利用奇偶性求对称区间解析式、函数单调性的判断、一元二次不等式的求解等知识；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.12.在中，内角，的对边分别为，且满足，点为的中点，若的面
8、积为，则的最小值为（ ）A. B. 3C. D. 9【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得，再结合余弦定理即可得出角A,再根据面积公式结合平行四边形的性质即可得出答案。【详解】因为，由正弦定理得，所以，所以，又因为的面积为，所以，延长至，使，则是平行四边形，所以，又因为，所以，当时等号成立.故选B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于常考题型二填空题13.直线y=x+1是曲线f（x）=x+（aR）的切线，则a的值是_【答案】【解析】【分析】设切点的横坐标为，求出导函数，利用直线与曲线相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可【详解】解：设切点的横坐标为，则有：，令，则
9、在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以；故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法考查转化思想以及计算能力14.设变量满足约束条件，则的最大值是_【答案】8【解析】【分析】由约束条件作出可行域，将目标函数去绝对值后化为直线方程的斜截式，结合可行域求出最大值【详解】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，令，可得，平移直线，由图象可得，当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值，且，当直线经过可行内的点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最小值，且，所以，故，因此的最大值为8. 故答案为8.【点睛】本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，
10、是中档题15.已知函数，为偶函数，且其图像的两条对称轴的距离为，则的值为_【答案】【解析】【分析】由题意利用两角和差的正弦函数，诱导公式，求出的值，再利用正弦函数的图象和性质，求得的值，得出函数的解析式，从而求解的值.【详解】因为函数为偶函数，所以，令，可得，根据其图象的两条相邻对对称轴间的距离为，可得，所以，所以，所以，故答案为.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦公式、诱导公式，正弦函数的图象与性质的综合应用，其中熟记三角函数的恒等变换和三角函数的图象与性质是解答的关键，着重靠考查了推理与运算能力.16.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于，两点.若为等边三角形，则的值为_.
11、【答案】或【解析】【分析】由于原题中未明确说明过直线与哪支交于两点，因此分两种情况讨论，利用双曲线的定义结合余弦定理即可得出答案。【详解】原题中未明确说明过直线与哪支交于两点，分两种情况讨论，如图:图1中，为通径，则，则，则，则，图2中，则，则，对使用余弦定理得，则，.故答案为：或【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及余弦定理，属于中等题。三解答题17.如图,在五面体中,四边形为矩形, .(1)证明: 平面；(2)连接,若二面角的大小为120,求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意，先证明平面，再证明且，最后得到平面；（2）先求出，再利用等积法求出：，最后代入求解
12、即可【详解】解：（1）证明：因为， 所以平面, 因为四边形为矩形，所以.又平面平面,所以平面. 因为平面,平面,平面平面,所以, 又所以 又平面,所以平面, （2）因为，所以即为二面角的平面角，所以. . 于是.【点睛】本题考查线面垂直，线线平行，以及利用等积法求体积.18.（本小题满分12分）“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组，第一组： ，第二组： ，第三组： ，第四组： ，第五组： ，得到
13、如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人（1）求；（2）求抽取的人的年龄的中位数（结果保留整数）；（3）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户 五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为15组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中15组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中15组的成绩分别为93，98，94，95，90（）分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；（）以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度【答案】（1）120；（2）32；（3）
14、见解析【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出；（2）设中位数为，则，由此能求出中位数；（3）利用平均数公式和方差公式能分别求出个年龄组和个职业组成绩的平均数和方差；从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好.试题解析：（1）根据频率分布直方图得第一组频率为， ，（2）设中位数为，则， ，中位数为32 （3）（i）5个年龄组的平均数为，方差为5个职业组的平均数为，方差为（ii）评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好19.已知数列的前项和为，数列满足，对于，都有.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答
15、案】（1），n（2）【解析】【分析】（1）根据即可求出，令，有，则是以1为首项，1为公差的等差数列，从而即可求出。（2）利用错位相减即可得出答案【详解】（1）由，则当时，当时，是以为首项，为公比的等比数列，由，都有，令，有，是以1为首项，1为公差的等差数列，.（2）由（1）得，所以有-得所以.【点睛】本题主要考查了数列通项的求法，以及错位相减法求数列的前项和，属于常考题。20.已知函数.（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）利用导数法求出函数 单调递增或单调递减时，参数 的取值范围为，则可知函数 在
16、定义域上不单调时， 的取值范围为 ；（2）易知 ，设 的两个根为 ，并表示出，则，令，则，再利用导数法求的取值范围. 详解：由已知，（1）若在定义域上单调递增，则，即在上恒成立，而，所以；若定义域上单调递减，则，即在上恒成立，而，所以.因为在定义域上不单调，所以，即.（2）由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须.又，所以.令的两根分别为，即的两根分别为，于是.不妨设，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.令，于是，由，得，又，所以.因为，所以在上为减函数，所以.点睛：导数问题一直是高考数学的重点内容也是难点内容，要注意研究函数的单调性，有时需要构造相关函数，将问题转化为求函
17、数的值域问题，本题中的第一问，采用了“正难则反”的策略，简化了解题，在解决第二问换元时，要注意表明新元 的取值范围.21.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点且与平行的直线与椭圆交于点.求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由离心率，结合之间关系，可得椭圆的方程.（2）分别假设直线，直线的方程，并与椭圆方程联立，可得长度，并找到三者之间的关系，结合三角形面积公式可得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由题意知解得，所以椭圆的标准方程为（2）设过原点且
18、与平行的直线和距离为，则设直线的方程为，直线的方程为，则，由得易知，设，则，是方程（1）的两个根，所以，所以，则又，所以由得.设，则，所以，所以，【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与直线间的距离，还考查了直线于椭圆的几何关系，对这种题型重在于联立方程，更多会使用到韦达定理，并考验计算能力，属难题. 选修4-4:坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为（1）求直线l及曲线极坐标方程；（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），
19、求的最大值.【答案】（1）直线l的极坐标方程为.的极坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）消参可得直线普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线的极坐标方程；（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果【详解】（1）消去直线l参数方程中的t，得，由，得直线l的极坐标方程为，故由点Q在OP的延长线上，且，得，设，则，由点P是曲线上的动点，可得，即，所以的极坐标方程为（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，所以， 所以，所以当时，取得最大值，为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方
20、程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题选修4-5:不等式选讲23.已知函数.（）解不等式；（）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）先将函数写成分段函数的形式，再由分类讨论的方法，即可得出结果；（）先由（）得到，再由柯西不等式得到，进而可得出结果.【详解】（）由题意， ，所以等价于或或.解得：或，所以不等式的解集为；（）由(1)可知,当时, 取得最小值, 所以，即，由柯西不等式得，整理得，当且仅当时, 即时等号成立.所以的最小值为.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型.
