1、年级 班级 姓名 考号密封线内请不要答题 20122013学年度明德衡民中学高一数学竞赛试题 (时量：120分钟 满分：100分) 得分评卷人一、选择题：（本大题共6小题，每小题 6分，共36分，在 每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）题号123456答案（1）已知集合,，则的子集共有 （A）个 （B）个 （C）个 （D）个（2）函数的图象是 （A） （B） （C） （D）633图1（3）如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A） （B） （C） （D）（4）已知向量夹角为，且，则 (A) (B) (C) (D)（5）设函数的最小正周期为，且满足，则 (A)在单调递减 (B
2、)在单调递减 (C)在单调递增(D)在单调递增（6） 在等腰Rt中，现沿斜边上的高折成直二面角, 那么得到的二面角的余弦值为 (A) (B) (C) (D)得分评卷人二、 填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分，把正确答案填在题中横线上）（7）已知长、宽、高分别为的长方体内接于球（顶点都在球面上），则此球的表面 积是_. （8）三棱锥中，分别是的中点，若，且， 则与所成的角为_.（9） 已知直线被圆截得的弦长为，则的值 为 . （10）若直线与互相垂直，则的值为 . （11） 关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_. 三、 解答题：（本大题共4小题，其中第12-14小题各8分，
3、第15小题10分， 共34分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）得分评卷人（12）（本小题满分8分） 如图，为菱形所在平面外一点，平面， 求证：. 得分评卷人（13）（本小题满分8分） 中，内角满足，且， 求得分评卷人（14）（本小题满分8分） 如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）中，是的中点.（I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正切值.得分评卷人（15）（本小题满分10分） 已知圆心为坐标原点的圆与直线相切，如图4所示. （I）求圆的方程；（II）若点在直线上，过引圆的两条切线，切点分别为， 求证：直线恒过定点.2012 2013学年度明德衡民中学高一数学竞赛答
4、案 (时量：120分钟 满分：100分) 一、选择题：（本大题共6小题，每小题 6分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）题号123456答案BABDAC二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分，把正确答案填在题中横线上）（7） （8） （9） （10） （11）三、解答题：（本大题共4小题，其中第12-14小题各8分，第15小题10分， 共34分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）（12）（本小题满分8分）如图，为菱形所在平面外一点，平面，求证：.证明：连接，四边形为菱形，. 分 平面，平面，. 分，平面.分平面，. 分（13）（本小题满分8分）
5、中，内角满足，且，求解：由三角形内角和定理得，结合得 分又因为，且，则分从而 分（14）（本小题满分8分）如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）中，是的中点.（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正切值.解：（I）证明：连接，交于，则为的中点，连接，是的中点，. 分又平面，平面，平面. 分（II），则是直线与平面所成的角. 分因为，在Rt中，从而. 分（15）（本小题满分10分） 已知圆心为坐标原点的圆与直线相切，如图4所示. （I）求圆的方程；（II）若点在直线上，过引圆的两条切线，切点分别为， 求证：直线恒过定点.解：（I）设圆的方程为，由圆心到直线的距离得，则，即圆的方程为.分（II）设，则切线的方程为，切线的方程为. 分由题意可设点，则，即切点在直线上，从而直线的方程为，即. 分由直线的点斜式方程知恒过定点. 分
