1、数学试题 理时间： 120分钟 分值：150分一、单选题（每小题5分，共60分）1若命题：，则该命题的否定是（ ）A.，B.，C.，D.，2公比为的等比数列的各项都是正数，且则（ ）A B C D3已知椭圆上的一点到左焦点的距离为6，则点到右焦点的距离为（ ）A4B6C7D144已知，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5已知且满足,则的最小值为( )A.2B.3C.4D.16椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是 （ ） A B C 5 D 97如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点若为等边三角形，则双曲线的
2、离心率为（ ） A4 B C D8长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ）A0B C D9已知数列与的前项和分别为，且,，对任意的恒成立，则的最小值是（ ）ABCD10.已知实数满足，若 取得最大值的最优解有无数个，则的值为（ ）A. B. C. 或 D. 11.如图在棱长均为2的正四棱锥中，点为中点，则下列命题正确的是（ ）A面，且直线到面距离为B面，且直线到面距离为C不平行于面，且与平面所成角大于D不平行于面，且与平面所成角小于12 已知椭圆方程为（）,F(-c,0)和F(c,0)分别是椭
3、圆的左 右焦点.若P是椭圆上的动点,延长到M,使=,则M的轨迹是圆；若P是椭圆上的动点,则；以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为S=b2tan(/2)以上说法中，正确的有 ( )A B C D 二填空题 （20分）13. 已知等差数列的前项和为，则的前项和为 14已知直线，平分圆的周长，则取最小值时，双曲线的离心率为 。15已知动点在椭圆上,若点坐标为,且则的最小值是_16下列命题正确的有_（填序号）已知或，则是的充分不必要条件；“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；中，内角所对的边分别为，则“”是“为等腰三角形”的必要不充分条
4、件若命题“函数的值域为”为真命题，则实数的取值范围是.三解答题17. （10分）已知命题：关于x的不等式对一切恒成立；命题：函数是减函数，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围18.（12分）已知直三棱柱中, , ， 是和的交点, 若. （1）求的长（6分） （2）CBA1GCBA求二面角的平面角的余弦值的大小.（6分）19.（12分）已知设是单调递减的等比数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式； （6分）（2）记数列的前项和为，求证：对于任意正整数， （6分）20（12分）双曲线 (a0，b0)的一条渐近线方程是，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(a，0)，B(0，b)（）求双
5、曲线的方程；（5分）（）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求 时，直线MN的方程（7分）21. 如图，一个正和一个平行四边形在同一个平面内，其中，的中点分别为. 现沿直线将翻折成，使二面角为，设中点为.() (i)求证：平面平面（4分）(ii)求异面直线与所成角的正切值（4分）()求二面角的余弦值（4分）22. （12分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（），且点F（，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（4分）（2）是否存在直线l与椭圆C交于B，D两点，满足，且原点到直线l的距离为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. （8分）数学（理
6、）答案一选择题123456789101112CBDACBBACBD A二填空题13 14. 15. 16. 三解答题17. 设g（x）x22ax4，由于关于x的不等式x22ax40对一切xR恒成立，所以函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，故4a2160 所以2a2，所以命题p：2a1，即a2所以命题q：a2 pq为真命题，pq为假命题，p和q一真一假（1）若p为真命题，q为假命题，则，此不等式组无解（2）若p为假命题，q为真命题，则，解得综上，实数a的取值范围是（，218. 解：解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 6分(2)易得AC面ACB, 过E作E
7、HAB于H, 连HC, 则HCABCHE为二面角CABC的平面角. 9分cosCHE=二面角CABC的平面角的余弦大小为 12分解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, 3, 0), C(0, 3, 0), A(0, 0, h), A(0, 3, h), G(2, , )=(2, , ), =(0, 3, h) 4分=0, h=3 6分(2)设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1) 二面角CABC的大小满足cos= 12分19. （1）设
8、数列的公比,由，得， 2分即 是单调递减数列， 4分 6分（2）由（1）知， 7分所以 ，-得：，2，12分20. .(1)设直线AB：，由题意， (2)由(1)得B(0，3)，B1(0，3)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN：ykx3，21. 解法一：() (i)证明：连. 因为为平行四边形，分别为中点，所以为平行四边形，所以. -1分又分别为的中点，所以. -2分 平面，平面，所以平面，平面，而平面，所以平面平面.-4分 (ii)因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角.-5分 因为为正三角形，为中点，所以，从而平面，而，所以平面，因为平面，所以.-6分 由条件易得，又为二
9、面角的平面角，所以，所以，所以.-8分() 由()的(ii)知平面，即，所以即为二面角的平面角.-10分.-12分解法二：() (i)同解法一； (ii) 因为为正三角形，为中点，所以，从而为二面角的平面角且平面，而平面，所以平面平面. 作平面于，则在直线上，又由二面角的平面角为，故在线段的延长线上. 由得.-4分 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则由上述及已知条件得各点坐标为，所以，.-6分所以异面直线与所成角的余弦值为，从而其正切值为.- 8分 () 由()的(ii)知，设平面的法向量为，则由，得令，得.-10分又平面的一个法向量为，而二面角为锐二面角，所以二面角的余弦为.-12分22. 解：（1）设椭圆C的方程为，则左焦点为，在直角三角形中，可求，故椭圆C的方程为-4分（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为，由原点到l的距离为得： 联立方程，得则， 设，则，解得 -10分当斜率不存在时，l的方程为，易求得.综上，不存在符合条件的直线 -12分