1、平面向量的数量积及平面向量的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义;掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;理解数量积的性质,并能运用2018课标全国,4,5分平面向量的数量积模长2015课标,4,5分平面向量的数量积坐标运算平面向量数量积的应用能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题;会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系;会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题2017课标全国,13,5分
2、两向量垂直的充要条件坐标运算2017课标全国,13,5分两向量垂直的充要条件坐标运算2016课标全国,3,5分平面向量的夹角平面向量的数量积、坐标运算分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何等知识综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.破考点【考点集训】考点一平面向量的数量积1.(2019届湖南长沙雅礼中学9月月考,4)已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b=() A.-1B
3、.0C.1D.2答案B2.已知点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则ABBC+BCCA+CAAB的值为.答案-253.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,则AEAF的值为.答案2918考点二平面向量数量积的应用1.(2017云南玉溪一中期中,9)在ABC中,若动点P满足CA2-CB2+2ABCP=0,则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心答案A2.(2019届广东普宁一中10月月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,
4、OAOB=4,则以向量OA,OB为邻边的平行四边形的面积为.答案433.(2019届湖北黄冈9月调研,15)已知平面向量m,n的夹角为6,且|m|=3,|n|=2,在ABC中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D为BC的中点,则|AD|=.答案24.(2019届广东深圳外国语中学10月模拟,17)设向量a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4cos ),c=(cos ,-4sin ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(+)的值;(2)求|b+c|的最大值.解析(1)a与b-2c垂直,a(b-2c)=4cos sin -8cos cos +4sin cos +8sin sin =4s
5、in(+)-8cos(+)=0,tan(+)=2.(2)由b+c=(sin +cos ,4cos -4sin ),得|b+c|=(sin+cos)2+(4cos-4sin)2=17-15sin242,当且仅当sin 2=-1,即=k-4(kZ)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为42.炼技法【方法集训】方法1平面向量模长的求解方法1.(2017河北“五个一名校”联盟模拟,4)已知向量a,b满足:|a|=2,|b|=4,=3,则|3a-2b|=() A.52B.213C.15D.23答案B2.(2019届湖南湖北八市十二校第一次调研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1
6、,3),则|a-2b|等于()A.1B.3C.4D.5答案D3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120,c(4a+b)=5,则|c|=()A.1B.5C.2D.25答案D方法2平面向量夹角的求解方法1.(2016课标全国,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.120答案A2.(2017江西七校联考,13)已知向量a=(1,3),b=(3,m),且b在a的方向上的投影为-3,则向量a与b的夹角为.答案233.(2017吉林九校联考,14)已知e1,e2是夹角为120的单位向量,a=e1+e2,b=2e
7、1+xe2,且b在a方向上的投影为-1,向量a与b的夹角为,则cos =.答案-714方法3用向量法解决平面几何问题1.(2018四川成都七中期中)在ABC中,BC=5,G,O分别为ABC的重心和外心,且OGBC=5,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能答案B2.(2019届江西临川一中9月月考,17)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x0,2.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为3,求x的值.解析(1)因为m=22,-22,n=(sin x,cos x),mn,所以mn=0,
8、即22sin x-22cos x=0,所以sin x=cos x,所以tan x=1.(2)由已知得|m|=|n|=1,所以mn=|m|n|cos 3=12,即22sin x-22cos x=12,所以sinx-4=12.因为0x2,所以-4x-44,所以x-4=6,即x=512.过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一平面向量的数量积1.(2018课标全国,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.0答案B2.(2015课标,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1B.0C.1D.2答案C考
9、点二平面向量数量积的应用1.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.答案72.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m=.答案23.(2016课标全国,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x=.答案-23B组自主命题省(区、市)卷题组考点一平面向量的数量积1.(2018天津,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,BM=2MA,CN=2NA,则BCOM的值为() A.-15B.-9C.-6D.0答案C2.(2016天津,7,5分
10、)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为()A.-58B.18C.14D.118答案B3.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“ab=|a|b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案A4.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AEBF的最小值为.答案-3考点二平面向量数量积的应用1.(2018北京,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).
11、若a(ma-b),则m=.答案-12.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为.答案63.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2=12.若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|=.答案2334.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AOAP的最大值为.答案65.(2017天津,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.答案3116.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内
12、,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan =7,OB与OC的夹角为45.若OC=mOA+nOB(m,nR),则m+n=.答案37.(2015安徽,15,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)a为单位向量;b为单位向量;ab;bBC; (4a+b)BC.答案8.(2014天津,13,5分)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=DF.若AEAF=1,则的值为.答案2C组教师专用题组考点一平面向量的数量积1.(2017浙江
13、,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=OAOB,I2=OBOC,I3=OCOD,则() A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3答案C2.(2010全国,11,5分)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,则PAPB的最小值为()A.-4+2 B.-3+2C.-4+22D.-3+22答案D3.(2015湖北,11,5分)已知向量OAAB,|OA|=3,则OAOB=.答案94.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60,且a=(-2,-6),|b|=10,则ab
14、=.答案105.(2016江苏,13,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BACA=4,BFCF=-1,则BECE的值是.答案786.(2013课标,14,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD=.答案2考点二平面向量数量积的应用1.(2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为() A.3B.2C.23D.56答案C2.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是() A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+
15、b)(a-b)=a2-b2答案B3.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6B.7C.8D.9答案B4.(2014山东,7,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夹角为6,则实数m=()A.23B.3C.0D.-3答案B5.(2011全国,3,5分)设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=-12,则|a+2b|=()A.2B.3C.5D.7答案B6.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|C
16、D|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是()A.4,6 B.19-1,19+1C.23,27D.7-1,7+1答案D7.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是()A.3-1B.3+1C.2D.2-3答案A8.(2014安徽,10,5分)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为() A.23B.3C.6D.0答案B
17、9.(2014四川,14,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=.答案210.(2014江西,12,5分)已知单位向量e1,e2的夹角为,且cos =13,若向量a=3e1-2e2,则|a|=.答案311.(2014湖北,12,5分)若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OAOB=0,则|AB|=.答案2512.(2012课标全国,15,5分)已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.答案3213.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点
18、,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若ABCD=0,则点A的横坐标为.答案314.(2013课标,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则t=.答案2【三年模拟】时间:50分钟分值:70分一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019届湖南八校9月联考,8)已知a=(2sin 13,2sin 77),|a-b|=1,a与a-b的夹角为3,则ab=() A.2B.3C.4D.5答案B2.(2018湖南永州二模,4)已知非零向量a,b的夹角为60,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=()A.12B.1C.2D.2答案A3.(
19、2019届湖北襄阳重点中学9月联考,4)已知非零向量a=(x,2x),b=(x,-2),则x4是向量a与b的夹角为锐角的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B4.(2019届四川大学附中10月月考,11)ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c,若b=5,c=6,BC边上的中线AD=3,则ABAC=()A.15B.-15C.252D.-252答案D5.(2018湖北宜昌二模,7)已知ABC中,A=120,且AB=3,AC=4,若AP=AB+AC,且APBC,则实数的值为()A.2215B.103C.6D.127答案A6.(2018安徽师大附
20、中二模,7)在ABC中,AB=2AC=6,BABC=BA2,点P是ABC所在平面内一点,则当PA2+PB2+PC2取得最小值时,APBC=()A.272B.-272C.9D.-9答案D7.(2018河北石家庄调研,10)在平行四边形ABCD中,|AB|=12,|AD|=8.若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AMNM=()A.20B.15C.36D.6答案C8.(2019届四川顶级名校第二次联考,11)向量a,b,c满足:a=(4,0),b=(4,4),(a-c)(b-c)=0,则bc的最大值是()A.24 B.24-82C.24+82D.82答案C二、填空题(每小题5分,共10分)9
21、.(2019届山东临沂摸底考试,14)O是ABC所在平面内的一点,若|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则ABC的形状为.答案直角三角形10.(2018豫东、豫北十校联考(三),15)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB=12DC=2,点E,F分别为线段AD,BC的三等分点,O为DC的中点,则FEOF=.答案-143三、解答题(共20分)11.(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在ABC中,满足ABAC,M是BC的中点.(1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且|AB|=|AC|=2,求OAOB+OCO
22、A的最小值.解析(1)设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为,因为ABAC,所以ABAC=0,所以cos =(AB+2AC)(2AB+AC)|AB+2AC|2AB+AC|=2AB2+2AC2|AB+2AC|2AB+AC|,设|AB|=|AC|=a(a0),则cos =2a2+2a25a5a=45.(5分)(2)|AB|=|AC|=2,|AM|=1,设|OA|=x(0x1),则|OM|=1-x.(8分)因为OB+OC=2OM,所以OAOB+OCOA=OA(OB+OC)=2OAOM=2|OA|OM|cos =2x2-2x=2x-122-12.因为0x1,所以当且仅当x=12时,OAOB+OC
23、OA取最小值-12.(12分)12.(2019届宁夏顶级名校9月联考,17)设向量a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x0,2.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.解析(1)由a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),得|a|2=(3sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1.又因为|a|=|b|,所以4sin2x=1.又x0,2,所以sin x=12,则x=6.(2)函数f(x)=ab=(3sin x,sin x)(cos x,sin x)=3sin xcos x+sin2x=322sin xcos x+1-cos2x2=32sin 2x-12cos 2x+12=cos 6sin 2x-sin 6cos 2x+12=sin2x-6+12.因为x0,2,所以-62x-656,故-12sin2x-61,所以0sin2x-6+1232,故f(x)的最大值为32.
