1、成都外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1. 若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于( ) A. 11B. 9C. 5D. 32. 点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为（）A. B. 2,C. D. 2,3. 已知直线l经过点P（-2，5），且斜率为-，则直线l的方程为（）A. B. C. D. 4. 已知椭圆+=1（m0）的左焦点为F1（-4，0），则m=（）A. 2B. 3C. 4D. 95. 若，则cos2=（）A. B. C. D. 6. 已知抛物线y2=2px（p0
2、）的准线经过点（-1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A. B. C. D. 7. 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为（）A. 3B. C. 1D. 8. 直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b=（）A. 或12B. 2或C. 或D. 2或129. 已知双曲线-=1（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A. B. C. D. 10. 曲线与直线y=k（x-2）+4有两个不同交点，实数k的取值范围是（）A
3、. B. C. D. 11. P为双曲线上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，PF2F1F2，若PF1F2的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C的离心率为（）A. 或B. 2或3C. D. 212. 已知双曲线左焦点为F，P为双曲线右支上一点，若FP的中点在以|OF|为半径的圆上，则P的横坐标为（）A. B. 4C. D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为_14. 已知数列是递增的等比数列，则数列的前n项和等于_15. 过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于A,B两点,若M是线段
4、AB的中点,则椭圆C的离心率等于_16. 如图，已知双曲线-=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在PF1上的切点为Q，若PQ=1，则双曲线的离心率是_ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=-7，S3=-15（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值18. 在ABC中，A=60，c=a（1）求sinC的值；（2）若a=7，求ABC的面积19. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：-=1（m0，n0）经过点（，0），其中一条近线的方程为y=x
5、，椭圆C2：+=1（ab0）与双曲线C1有相同的焦点椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为（1）求双曲线C1的方程；（2）求椭圆C2的方程20. 已知点M（3，1），及圆（x-1）2+（y-2）2=4（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若过M点的直线与圆相交，截得的弦长为，求直线的方程21. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程22. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为（）求椭圆C的方程；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴与点N，交C于
6、点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B（）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；（）求直线AB的斜率的最小值答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意，双曲线E：=1中a=3|PF1|=3，P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6，|PF2|=9故选：B确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题2.【答案】D【解析】解：点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为A（3，2，-1）故选：D根据点A（a，b，c）关于xOy平面的对称点为A（a，
7、b，-c），写出即可本题考查了空间直角坐标系中点的对称问题，是基础题3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题直接弦长直线方程的点斜式，整理为一般式得答案【解答】解：直线l经过点P（-2，5），且斜率为-，直线l的点斜式方程为y-5=（x+2），整理得：3x+4y-14=0故选A4.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题利用椭圆+=1（m0）的左焦点为F1（-4，0），可得25-m2=16，即可求出m【解答】解：椭圆+=1（m0）的左焦点为F1（-4，0），25-m2=16，m0，m=3.故选B5.【答案
8、】D【解析】解：，cos2=故选：D由已知利用倍角公式及同角三角函数基本关系式化简求值本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题6.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础利用抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（-1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标【解答】解：抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（-1，1），即该抛物线焦点坐标为（1，0）故选：B7.【答案】C【解析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体
9、积【解答】解：正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：，三棱锥A-B1DC1的体积为：=1，故选C8.【答案】D【解析】解：由圆x2+y2-2x-2y+1=0，化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，圆心坐标为（1，1），半径为1，直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，圆心（1，1）到直线3x+4y-b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12故选：D化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值本题考查圆的切线方程，考查了点到直
10、线的距离公式的应用，是基础题9.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=x，设A（x，x），则四边形ABCD的面积为2b，2xbx=2b，x=1将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，b2=12，双曲线的方程为-=1，故选：D10.【答案】D【解析】解：与可化为x2
11、+（y-1）2=4，y1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y1的部分直线y=k（x-2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（-2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个，kAP=，由直线与圆相切得d=2，解得k=，则实数k的取值范围为故选：D先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题11.【答案】B【解析】解：设PF1=m，PF2=n，F1F2=2c，令x=c可得y2=b2（-1）=，解得y=，可得n=，由双曲线的定义可得m=2a+，可得
12、直角PF1F2的外接圆半径为m=a+，内切圆的半径设为r，可得r（2c+2a+）=（2a+），解得r=c-a，PF1F2的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，可得a+=（c-a），由b2=c2-a2，e=，可得e2-5e+6=0，解得e=2或3，故选：B设PF1=m，PF2=n，F1F2=2c，令x=c可得n，由双曲线的定义可得m，再由直角三角形的外心，可得外接圆的半径；由等积法求得内切圆半径r，由条件结合离心率公式，解方程可得所求值本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质，考查运算能力，属于中档题12.【答案】C【解析】解：双曲线的a=2，b=，c=3，e=，左焦
13、点为F（-3，0），P为双曲线右支上一点，设P（m，n），m0，设双曲线的右焦点为F，若FP的中点M在以|OF|为半径的圆上，连接PF，OM，由三角形的中位线定理可得|PF|=2|OM|=6，双曲线的右准线方程为x=即x=，由双曲线的第二定义可得e=，解得m=故选：C求得双曲线的a，b，c和e，设P（m，n），m0，设双曲线的右焦点为F，连接PF，OM，由三角形的中位线定理可得|PF|=2|OM|=6，求得双曲线的右准线方程，结合双曲线的第二定义，解方程可得所求横坐标本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，运用定义法解题是解决圆锥曲线问题的常用方法，属于中档题13.【答案】【
14、解析】解：如图所示：在正方体体ABCD-A1B1C1D1中，连接BE，所以异面直线AE与CD所成角，即为AE和AB所成的角设正方体的棱长为2，由于AB平面BCE，所以ABE为直角三角形所以，所以故答案为：直接利用异面直线的平移的应用和解三角形知识的应用求出结果本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型14.【答案】2n-1【解析】分析：利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列an的前n项和本题考查等比数列的性质，数列an的前n项和求法，基本知识的考查解：数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=
15、8，解得a1=1，a4=8，8=1q3，q=2，数列an的前n项和为：=2n-1故答案为：2n-115.【答案】【解析】【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为-，即可求出椭圆C的离心率本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，M是线段AB的中点，=1，=1，直线AB的方程是y=-（x-1）+1，y1-y2=-（x1-x2），过点M（1，1）作斜率为-的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得，即，a=b，=b，e=故答案为：16.【答案】2【解析】解：如图记AF1、AF
16、2与APF1的内切圆相切于N、M；则AN=AM，PM=PQ，NF1=QF1，AF1=AF2；则NF1=AF1-AN=AF2-AM=MF2；则QF1=MF2；则PF1-PF2=（QF1+PQ）-（MF2-PM）=QF1+PQ-MF2+PM =PQ+PM=2PQ=2，即2a=2，则a=1由F1F2=4=2c得，c=2；则e=2故答案为：2由圆锥曲线的定义及图中的相等关系推出a，从而求出离心率本题考查了学生的作图能力及识图能力，要从图中找到等量关系从而求出a，属于难题17.【答案】解：（1）等差数列an中，a1=-7，S3=-15，a1=-7，3a1+3d=-15，解得a1=-7，d=2，an=-7
17、+2（n-1）=2n-9；（2）a1=-7，d=2，an=2n-9，Sn=n2-8n=（n-4）2-16，当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为-16【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于基础题（1）根据a1=-7，S3=-15，可得a1=-7，3a1+3d=-15，求出等差数列an的公差，然后求出an即可；（2）由a1=-7，d=2，an=2n-9，得Sn=n2-8n=（n-4）2-16，由此可求出Sn以及Sn的最小值18.【答案】解：（1）A=60，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=；（2）a=7，则c=3，CA，sin2C+cos2C=1，
18、又由（1）可得cosC=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=，SABC=acsinB=73=6【解析】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题（1）根据正弦定理即可求出答案；（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可19.【答案】解：（1）双曲线C1：-=1（m0，n0）经过点（，0），可得m2=3，其中一条近线的方程为y=x，可得=，解得m=，n=1，即有双曲线C1的方程为-y2=1；（2）椭圆C2：+=1（ab0）与双曲线C1有相同的焦点，可得a2-b2=4，椭圆C2的左焦点，
19、左顶点和上顶点分别为F（-2，0），A（-a，0），B（0，b），由点F到直线AB：bx-ay+ab=0的距离为，可得=，化为a2+b2=7（a-2）2，由解得a=4，b=2，则椭圆C2的方程为+=1【解析】（1）由双曲线经过点（，0），可得m；再由渐近线方程可得m，n的方程，求得n，即可得到所求双曲线的方程；（2）由椭圆的a，b，c的关系式，求得F，A，B的坐标，可得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题20.【答案】解：（1）根据题意，当直线的斜率存在时，设
20、过M的切线方程为：y=k（x-3）+1，即kx-y-3k+1=0圆心到直线的距离，所以方程为3x-4y-5=0，当直线斜率不存在时：x=3与圆相切综上：过M的切线方程为3x-4y-5=0或x=3（2）根据题意，若过M点的直线与圆相交，所得的弦长为，圆半径为2，所以圆心到直线的距离d=1则有，所求直线方程为：y=1或4x+3y-15=0【解析】（1）根据题意，分两种情况讨论直线的斜率，利用直线与圆的位置关系分析，求出直线的方程，综合即可得答案；（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，进而计算可得k的值，代入直线的方程即可得答案本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基
21、础题21.【答案】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，直线l的方程y=x-1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为，由抛物线的焦点弦公式|AB|=8，解得：sin2=，=，则直线的斜率k=1，直线l的方程y=x-1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-
22、x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144【解析】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想，属于中档题（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；（2）设圆心坐标为（x0，y0），根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程22.【答案】解
23、：（）设椭圆的半焦距为c由题意知，所以所以椭圆C的方程为（）证明：（）设P（x0，y0）（x00，y00），由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，-2m）所以直线PM的斜率k1=，直线QM的斜率k2=-，此时=-3所以为定值-3（）设A（x1，y1），B（x2，y2）直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=-3kx+m联立整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2-4=0由，可得，所以同理所以，所以由m0，x00，可知k0，所以，等号当且仅当时取得，此时，即，所以直线AB的斜率的最小值为【解析】（）结合题意分别求出a，c的值，再求出b的值，求出椭圆方程即可；（）（i）设出P的坐标，表示出直线PM，QM的斜率，作比即可；（ii）设出A，B的坐标，分别求出PA，QB的方程，联立方程组，求出直线AB的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，是一道综合题