1、本章复习提升易混易错练易错点1求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错1.(2021江西上高二中高二上月考,)设椭圆E的方程为x22+y2=1,斜率为1的动直线l交椭圆E于A、B两点,以线段AB的中点C为圆心,|AB|为直径作圆S.(1)求圆心C的轨迹方程,并描述轨迹表示的图形;(2)若圆S经过原点,求直线l的方程;(3)证明:圆S内含或内切于圆x2+y2=3.易错易错点2对圆锥曲线的定义理解不清而致错2.()动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是(易错)A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线易错点3忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错3.(2020浙江宁波
2、九校高二上期末,)抛物线y=4x2的焦点坐标是(易错)A.(1,0)B.(0,1)C.116,0 D.0,1164.(2020山东临沂高二上期末,)直线y=x+2与椭圆x2m+y23=1有两个公共点,则m的取值范围是(易错)A.(-,0)(1,+)B.(0,3)(3,+)C.(1,3)(3,+)D.(1,+)5.()已知m2=4,则圆锥曲线x2+y2m=1的离心率为.易错点4忽略椭圆、双曲线和抛物线的焦点位置而致错6.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2,则实数m的值为(易错)A.1B.4C.1或7D.4或67.()已知双曲线的两条渐近线的夹角为60
3、,则双曲线的离心率为.易错点5忽视直线的斜率不存在的情况而致错8.(2021江苏无锡一中高二上期中,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,椭圆C的上顶点到右顶点的距离为3,O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若S,T是椭圆C上两点(异于顶点),且OST的面积为22,设射线OS,OT的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值;(3)设直线l与椭圆交于M,N两点(直线l不过顶点),且以线段MN为直径的圆过椭圆的右顶点A,求证:直线l过定点.易错思想方法练一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用1.(2020山东德州高二上期末,)已知O为坐标原点,F1,F2分别为椭圆C:x2
4、a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过点F1且斜率为33的直线与椭圆C在第一象限交于点P,且|OP|=|OF2|,则椭圆C的离心率为.2.()点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用3.()过点A(2,-1)的直线与抛物线y2=4x相交于C、D两点,若A为CD的中点,则直线的方程是()A.x+2y=0B.x-2y-4=0C.2x+y-3=0D.3x+y-5=04.()已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-3与椭圆相切.(1)求椭圆
5、的方程;(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用5.(2020天津一中高二上期末质量调查,)已知直线l:4x-3y+8=0,抛物线C:y2=4x上的一动点到直线l与它到抛物线准线距离之和的最小值为.6.()已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且点A(0,1)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)已知P(0,-2),设点B(x0,y0)(y00且y01)为椭圆E上一点,点B关于x轴的对称点为C,直线AB,AC分别交x轴于点M,N,证明:OPM=ONP.(O为坐
6、标原点)四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用7.(2020广东中山一中高二上第二次统测,)已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是()A.y2=16xB.x2=-8yC.y2=16x或x2=-8yD.y2=16x或x2=8y8.(2021北京首都师范大学附中高二上期中,)已知椭圆C:x2a2+y2=1(其中a0)的右焦点为F(1,0),直线l过点F与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点.(1)求椭圆C的长轴长和离心率;(2)求AOB的面积的最大值;(3)若AOB为直角三角形,求直线l的方程.答案全解全析易混易错练1.解析(1)设斜率为1的动直线l的方程为y=x+t,联立x2
7、2+y2=1,y=x+t,可得3x2+4tx+2t2-2=0,则=16t2-12(2t2-2)=24-8t20,即-3t3.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=-4t3,x1x2=2t2-23,则中点C-2t3,t3,圆心C的轨迹方程为y=-12x-233x23-t23.|OS|2-3-23-t232=5t29-3-49-3t23+12-4t29=t2+49-3t23-133,令9-3t2=m(0m3),则t2=9-m23,可得|OS|2-3-23-t232=9-m23+4m3-133=-13(m-2)20,圆S内含或内切于圆x2+y2=3.易错警示在用代数法解
8、决直线与圆锥曲线的位置关系时,注意限制条件判别式大于0,解题时若忽视判别式的计算,则不能求出参数的取值范围,如本题中若忽略-3t0,所以m1或m0,m3,所以m1且m3,故选C.易错警示椭圆方程x2m+y23=1中,参数m的取值范围是m0,且m3,解题时防止遗漏导致解题错误.5.答案22或3解析由m2=4得m=2.当m=2时,曲线x2+y22=1为焦点在y轴上的椭圆,此时a=2,c=2-1=1,离心率e=12=22.当m=-2时,曲线x2-y22=1为焦点在x轴上的双曲线,此时a=1,c=2+1=3,离心率e=31=3.6.D由题意可得c=1.当椭圆的焦点在x轴上时,9-(m+4)=1,解得m
9、=4;当椭圆的焦点在y轴上时,(4+m)-9=1,解得m=6.故选D.易错警示研究含参数的圆锥曲线方程时,要注意判断焦点的位置,如果不能确定焦点的位置,要分两种情况讨论,解题时防止未对焦点的位置进行判断导致错误.7.答案2或233解析由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.当双曲线的焦点在x轴上时,其中一条渐近线的倾斜角为60,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30,如图2所示,均符合题意,所以双曲线的一条渐近线的斜率k=3或k=33,即ba=3或ba=33.又b2=c2-a2,所以c2-a2a2=3或c2-a2a2=13,所以e2=4或e2=43,所以e=2或e=233.同理,当双曲线的焦
10、点在y轴上时,则有ab=3或ab=33,所以ba=33或ba=3,亦可得到e=233或e=2.综上可得,双曲线的离心率为2或233.8.解析(1)由题得ca=22,a2+b2=3,a2=b2+c2,所以a=2,b=c=1,所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)设S(x1,y1),T(x2,y2),由题意知直线OS:y=k1x,直线OT:y=k2x,由y=k1x,x22+y2=1得x12=21+2k12,同理得x22=21+2k22,点T到直线OS的距离d=|k1x2-y2|1+k12=|k1-k2|x2|1+k12,OS=1+k12|x1|,所以SOST=12OSd=|k1-k2|(1
11、+2k12)(1+2k22)=22,整理得(2k1k2+1)2=0,所以k1k2=-12.(3)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),易得A(2,0).(i)直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由y=kx+m,x22+y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,所以x3+x4=-4km1+2k2,x3x4=2m2-21+2k2,由题得AMAN=0,所以(x3-2)(x4-2)+y3y4=0,化简得(1+k2)x3x4+(km-2)(x3+x4)+m2+2=0,把x3+x4=-4km1+2k2,x3x4=2m2-21+2k2代入整理得3m2+2k2+42km=0,即(3
12、m+2k)(m+2k)=0,所以m=-2k或m=-23k,经检验,均满足0.当m=-2k时,l:y=kx-2k,定点为(2,0),为右顶点(舍).当m=-23k时,l:y=kx-23k,定点为23,0,满足题意.(ii)直线l的斜率不存在时,设直线l:x=t,|t|b0).因为直线y=x-3与该椭圆相切,所以方程组x2a2+y2b2=1,y=x-3只有一组解,消去y,整理得(a2+b2)x2-23a2x+3a2-a2b2=0,所以=(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.利用方程与方程组知识,得到a、b的关系式(方程),再解方程得到椭圆的方程.又焦点为F1
13、(-1,0),F2(1,0),所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN=|MN|PQ|2=2222=2.若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k0),则直线MN的斜率为-1k,所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由x22+y2=1,y=kx+k得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,所以|PQ|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)16k4-4(2k2-2)(2k2+1)2k2+1=22k
14、2+12k2+1,同理可得,|MN|=22k2+1k2+2.选择参数k为自变量,建立S四边形PMQN与k的函数关系式,利用函数知识求函数的最大(小)值.所以S四边形PMQN=|PQ|MN|2=4(k2+1)2(2+k2)(2k2+1)=4k4+2k2+12k4+5k2+2=412-12k22k4+5k2+2=412-14k2+4k2+10.因为4k2+4k2+1024k24k2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),所以14k2+4k2+100,118,所以412-14k2+4k2+10169,2.综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为169,最大值为2.思想方法函数的思想,是用运动和变化
15、的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.在解决和直线与圆锥曲线有关的最大(小)值问题时,常构造函数,利用函数知识求解.5.答案125解析抛物线C:y2=4x焦点为(1,0),抛物线上动点到直线l与它到抛物线准线距离之和等于点到直线l和点到焦点的距离和,利用抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离,利用焦点到直线l的距离求出最小值.最小值为焦点到直线l的距离d=|4+8|5=125,故答案为125.思想方法转化与化归思想是指在解决数学问题时,采用某种手段进行转化,将复杂的问题转化为简单的问题,使问题得以解决的一
16、种思维策略,其核心是把未知转化为已知,把未能解决的问题化归为已经解决的问题.转化与化归思想在解析几何中常见的运用:将一般的点或图形转化为特殊点或特殊图形,将代数形式转化为几何图形,利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行适当的化归.6.解析(1)由已知得b=1,ca=32,又a2=b2+c2,a2=4.椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)证明:点B关于x轴的对称点为C,C(x0,-y0),直线AC的方程为y=-1+y0x0x+1.令y=0,得Nx0y0+1,0.直线AB的方程为y=y0-1x0x+1,令y=0,得Mx01-y0,0.|ON|OM|=x0y0+1x01-y0=x021-y02
17、.点B(x0,y0)在椭圆x24+y2=1上,x024+y02=1,即x021-y02=4,将证明OPM=ONP转化为证明RtOPMRtONP.|OM|ON|=4=|OP|2,即|OM|OP|=|OP|ON|,又POM=NOP,RtOPMRtONP,OPM=ONP.7.C当x=0时,y=-2;当y=0时,x=4.因此抛物线的焦点可为(0,-2),(4,0).根据焦点的位置对抛物线的标准方程进行讨论.当焦点为(4,0)时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),则p=8,y2=16x;当焦点为(0,-2)时,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),则p=4,x2=-8y.故选C.思想方法数
18、学结论都有其成立的条件,数学方法的使用也往往有其适用范围.在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的已知量是用参数给出的,参数的取值不同也会影响问题的解决,在研究问题时要根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称为分类讨论思想.例如,圆锥曲线标准方程的形式有时需进行讨论;直线与圆锥曲线的位置关系有多种,解题时要依据题意进行分类讨论等.8.解析(1)由题意,a2-1=1,解得a=2.所以,椭圆C的长轴长为2a=22,离心率为e=1a=22.(2)设直线l的方程为x=my+1,设直线l的方程为x=my+1
19、,避免对直线的斜率进行讨论.联立x22+y2=1,x=my+1,整理得(my+1)2+2y2=2,即(m2+2)y2+2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(2m)2-4(m2+2)(-1)=8m2+80,y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2.所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=8m2+8m2+2.所以AOB的面积S=12|OF|y1-y2|=2m2+1m2+2,令m2+1=t,则t1,+),S=2tt2+1=2t+1t22,当且仅当t=1(即m=0)时,等号成立,此时l:x=1.所以AOB的面积的最大值为22.(3)AOB是直角三角形需对直角顶点在哪进行讨论.(i)若OAB=90,则OAFA,又OA=(x1,y1),FA=(x1-1,y1),则x1(x1-1)+y12=0.因为x122+y12=1,所以x122-x1(x1-1)=1,即x12-2x1+2=0,无解,即OAB90.同理,OBA90.(ii)若AOB=90,则OAOB=0,即x1x2+y1y2=0,得(my1+1)(my2+1)+y1y2=0.故(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=0.故-m2+1m2+2-2m2m2+2+1=0,解得m2=12,故m=22.故l:x=22y+1,即y=2(x-1).综上所述,所求直线l的方程为y=2(x-1).12