1、第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与 存在量词【知识梳理】1.命题pq,pq,p的真假判断 p q pq pq p 真 真 _ _ _ 真 假 _ _ _ 假 真 _ _ _ 假 假 _ _ _ 真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 2.全称量词和存在量词 量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等_存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等_ 3.全称命题和特称命题 名称 形式 全称命题 特称命题 语言 表示 对M中任意一个x,有p(x)成立 M中存在元素x0,使p(x0)成立 符号 表示 _ _ 否定 _,p(x0)_,p(x)xM,p(x)x0M,p(x0
2、)x0M xM【特别提醒】1.pq一真则真,pq全真才真;pq一假则假,pq全假才假;p与p的真假相反.2.有些全称命题常省略全称量词,如对顶角相等.3.对含有量词的命题否定时,不要忽略量词的改写.【小题快练】链接教材 练一练 1.(选修1-1P18习题1.3A组T1(3)改编)已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题p,q,pq,pq中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.p和q显然都是真命题,所以p,q都是假命题,pq,pq都是真命题.2.(选修1-1P26习题1.4A组T3(2)改编)命题“所有可以被5整除的整数,末位数字都是5”的否定为 .【解析】全称命题的否定为
3、特称命题,其否定为“有些可以被5整除的整数,末位数字不是5”.答案:“有些可以被5整除的整数,末位数字不是5”感悟考题 试一试 3.(2015湖北高考)命题“x0(0,+),lnx0=x0-1”的否定是()A.x(0,+),lnxx-1 B.x(0,+),lnx=x-1 C.x0(0,+),lnx0 x0-1 D.x0(0,+),lnx0=x0-1【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为x(0,+),lnxx-1.4.(2014湖南高考)设命题p:xR,x2+10,则p为()A.x0R,x02+10 B.x0R,x02+10 C.x0R,x02+10 D.xR,x2+10
4、【解析】选B.p:x0R,x02+10.5.(2016临沂模拟)已知命题p:xR,2x3x;命题q:x0R,x03=1-x02,则下列命题中为真命题的是 ()A.pq B.pq C.pq D.pq【解析】选B.当x3x,所以命题p为假命题;由函数y1=x3与y2=1-x2的图象可知x0R,使得方程成立,所以q为真命题,所以pq为真命题.考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断【典例1】(1)(2014重庆高考)已知命题p:对任意xR,总有2x0;q:“x1”是“x2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.pq B.pq C.pq D.pq(2)(2016聊城模拟)若命题“pq”为真命题,
5、“p为真命题”,则()A.p真,q真 B.p假,q真 C.p真,q假 D.p假,q假【解题导引】(1)先判断命题p,q的真假,再根据真值表求解.(2)根据真值表判断.【规范解答】(1)选D.易知命题p为真命题,因为x1无法推出x2成立,所以命题q为假命题,故pq为假命题,pq为假命题,pq为假命题,pq为真命题.(2)选B.由p为真,知“p”为假,又“pq”为真,所以q为真.【规律方法】1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤(1)先判断简单命题p,q的真假.(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.2.含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)pq真p,q至少一个真(p)(q)假.(2)pq假p
6、,q均假(p)(q)真.(3)pq真p,q均真(p)(q)假.(4)pq假p,q至少一个假(p)(q)真.(5)p真p假;p假p真.【变式训练】设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为 ;命题q:在锐角三角形ABC中,sinAcosB,在命题p;pq;pq;p(q)中,真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 2【解析】选C.因为函数y=sin2x的最小正周期为T=,所以命题p假;在锐角三角形ABC中,A+B ,即A -B0,又因为Asin ,即sinAcosB,所以命题q真,所以p 真,q假,pq真,pq真,p(q)假.22222(B)2【加固训练】1.已知命题p:x0R,使tan
7、x0=1,命题q:x2-3x+20的 解集是x|1x ,则p为()A.nN,n22n B.n0N,n02 C.nN,n22n D.n0N,n02=(真题溯源:本题源自A版选修1-1P26习题1.4A组T3(3)0n20n20n2(2)(2015浙江高考)命题“nN*,f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()A.nN*,f(n)N*且f(n)n B.nN*,f(n)N*或f(n)n C.n0N*,f(n0)N*且f(n0)n0 D.n0N*,f(n0)N*或f(n0)n0【解题导引】(1)特称命题的否定是全称命题,“”的否定是“”.(2)全称命题的否定是特称命题,“且”的否定是“或”.【规范解
8、答】(1)选C.p:nN,n22n.(2)选D.根据全称命题的否定是特称命题,否定结论,“且”要换为“或”,“”换为“”,可知选D.【技法感悟】1.全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真2.全称命题与特称命题的否定(1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.【题组通关】1.(2016莱芜模拟)命题“xR,2x0”的否定 是()A.xR,2x0 B.xR
9、,2x0 C.x0R,0 D.x0R,0 0 x20 x2【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,故命题“xR,2x0”的否定是“x0R,0”.0 x22.(2016枣庄模拟)设p:“x0Z,x031”,则p为 ()A.x0Z,x031 D.xZ,x31【解析】选D.特称命题的否定是全称命题,故p为“xZ,x31”.3.(2016菏泽模拟)已知命题p:x0(-,0),2x03x0,命题q:x(0,),cosx1,则下列命题为 真命题的是()A.pq B.p(q)C.(p)q D.p(q)2【解析】选C.当x03x0,所以p为假,p为真,显 然x(0,),恒有cosx0 C.p是真命题,p:xR
10、,log2(3x+1)0 D.p是真命题,p:xR,log2(3x+1)0 0 x3【解析】选B.因为3x+11,所以log2(3x+1)0恒成立,则命题p是假命题;又p:xR,log2(3x+1)0.考向三 根据命题的真假求参数的取值范围【典例4】(1)(2015山东高考)若“x0,tanxm”是真命题,则实数m的最小值为 .(2)设命题p:x0R,x02-x00,若pq为真,pq为假,则实数a的取值范围为 .4【解题导引】(1)转化为求tanx的最大值,然后求实数m的最小值.(2)分别求命题p和q为真时a的取值范围,再由题意列关于a的不等式(组)求解.【规范解答】(1)由0 x ,可得0t
11、anx1.由tanxm恒成立可知m1,即m的最小值是1.答案:1 4(2)因为x2-x=所以(x2-x)min=由题意,若p为真,则-,若q为真,则=4a2-40,解得-1a1.211(x)24，14，1414由pq为真,pq为假知p与q一真一假,当p真q假时,解得a1.当p假q真时,解得-1a-.1a,4a1a1 或，1a,41a 1 ，14综上所述,a的取值范围是 1,+).答案:1,+)1(14，1(14，【母题变式】1.若本例(1)条件“x ”变为“x0 ”,求实数m的取值范围.【解析】当x 时,(tanx)min=tan0=0,由题意,得0m,即m0,所以实数m的取值范围是0,+).
12、04，04，04，2.若本例(1)条件“x ,tanxm”变为“x ,sinx+cosxm”,求实数m的取值范围.04，04，【解析】因为sinx+cosx=所以(sinx+cosx)max=所以 m,即m ,即实数m的取值范围为 ,+).2sin(x)4，x0 x4442当，时，2sin22，222【规律方法】根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题:可转化为恒成立问题,特称命题转化为存在性问题.(2)含逻辑联结词问题:求出每个命题是真命题时参数的取值范围;根据题意确定每个命题的真假;由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解.【变式训练】已知命题p:“x0,1,aex”;命题q:
13、“x0R,使得x02+4x0+a=0”.若命题“pq”是真命题,则实数a的取值范围是 .【解析】若命题“pq”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由x0,1,aex,得ae;由x0R,使x02+4x0+a=0,知=16-4a0,a4,因此ea4.答案:e,4【加固训练】1.命题“x0R,2x02-3ax0+91(a0,a1)的解集是x|x1(a0,a1)的解集是x|x0,知0a0的解集为R,则 2a01 4a0 ，解得a .因为pq为真命题,pq为假命题,所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”,故 解得a1或0a ,故实数a的取值范围是 1,+).12a0a10a 1,11aa22 或，或，121(02，
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