1、第四节二次函数与幂函数 (1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况.1.二次函数(1)二次函数的定义:形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式:(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质:a0a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”.(2)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0时
2、,幂函数y=x有下列性质:a.图象都经过点(0,0)、(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当0时,幂函数y=x有下列性质:a.图象都经过点(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.(3)五种常见幂函数的图象:(4)五种常见幂函数的性质:函数特征性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域RRR0,+)x|xR且x0值域R0,+)R0,+)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0,+)时,增,x(-,0时,减增在0,+)上增x(0,+)时,减,x(-,0)时,减定点(0,0),(1,1)(1,1)1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(
3、1)函数y=2x12是幂函数.()(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(3)当n0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.()(4)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xa,b的最值一定是4ac-b24a.()(5)幂函数f(x)=x23是偶函数.()(6)在y=ax2+bx+c(a0)中,a决定了图象的开口方向.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.幂函数f(x)=x(R)的图象过点2,14,则f(x)的一个单调递减区间是()A.0,+)B.(0,+)C.(-,0D.(-,0)答案B3.(教材习题改编)下图是y=xa;y=xb;y=xc在第一象限内的图象,则a,
4、b,c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.ac0;若在(0,+)上单调递减,则0.1-1幂函数y=f(x)的图象经过点(3,33),则f(x)是()A.偶函数,且在(0,+)上是增函数B.偶函数,且在(0,+)上是减函数C.奇函数,且在(0,+)上是增函数D.非奇非偶函数,且在(0,+)上是减函数答案C1-2若(a+1)12(3-2a)12,则实数a的取值范围是.答案-1,23解析易知函数y=x12的定义域为0,+),在定义域内为增函数,所以a+10,3-2a0,a+13-2a,解得-1a4ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即b24ac,正确;因为对称轴为直线x=-1,
5、即-b2a=-1,所以2a-b=0,错误;结合图象可知,当x=-1时,y0,即a-b+c0,错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以a0,所以5a2a,即5ab,正确,故选B.命题方向二二次函数的单调性典例4已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.(1)求使y=f(x)在-4,6上是单调函数的实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.解析(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a2=-a,要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6.故a的取值范围是(-,-64,+).(2)当a=-1时
6、,f(|x|)=x2-2|x|+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,-4x0,x2-2x+3=(x-1)2+2,0x6,f(|x|)的单调递减区间是-4,-1)和0,1),单调递增区间为-1,0)和1,6.探究1(变条件)若函数f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数,求a的取值范围.解析f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数,且其图象的对称轴为直线x=-a,-a-4,即a4.探究2若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+),则a为何值?解析f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+),且其图象的对称轴为直线x=-a,-a=-4,即a=4.命题方向三二次
7、函数的最值问题典例5已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x-2,3时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1,求实数a的值.解析(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3=x+322-214,又x-2,3,所以f(x)min=f-32=-214,f(x)max=f(3)=15,所以函数f(x)的值域为-214,15.(2)由题意可知,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-2a-12.当-2a-121,即a-12时,f(x)max=f(3)=6a+3,即6a+3=1,解得a=-13,满足题意;当-2a-123,即a-52时,f(x)max=f(1
8、)=2a-3,即2a-3=1,解得a=2,不满足题意;当1-2a-123,即-52a2x+m恒成立,求实数m的取值范围.解析由题意可知,f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)0在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)在-1,1上的最小值大于0即可.g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递减,g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-10得m-1.因此,满足条件的实数m的取值范围是(-,-1).命题方向五二次方程根的分布问题典例7若关于x的方程klg2x+3(k-1)lgx+2k=0的两根中一个比100大,另一个比1
9、00小,则实数k的取值范围是.答案0klg100=2,t2lg100=2,令f(x)=kx2+3(k-1)x+2k,易知k0,则有kf(2)0,即k(12k-6)0,解得0k12.方法技巧1.二次函数、二次方程与二次不等式常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,解决此类问题首先采用转化的思想,把方程、不等式问题转化为函数问题.借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于使用哪种思路
10、解题,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据:af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min.3-1已知mZ,一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,且0x12x24,则m=.答案-4解析因为一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,且0x12x24,所以二次函数f(x)=x2+mx+3分别在(0,2)和(2,4)内各有一个零点.所以f(0)f(2)0,f(2)f(4)02m+70,(2m+7)(4m+19)02m+70,解得m-194,即-194m-72.因为mZ,所以m=-4.3-2已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在-1,1上恒
11、小于零,则实数a的取值范围是.答案-,12解析由题意可知,2ax2+2x-30在-1,1上恒成立.当x=0时,-30,成立;当x0时,a321x-132-16,令g(x)=321x-132-16,x-1,0)(0,1,由上式可知,当x=1时,g(x)取最小值12,a12.综上,实数a的取值范围是-,12.3-3已知二次函数f(x)=x2-4x+3,当x0,m时,试确定f(x)的最大值.解析已知f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,x0,m,当0m2时,函数f(x)在区间0,m上单调递减,则f(x)max=f(0)=3;当2m4时,函数f(x)在区间0,2上单调递减,在区间2,m上单调递增
12、,f(0)=3,f(m)=m2-4m+3=m(m-4)+33,则f(x)max=f(0)=3;当m4时,函数f(x)在区间0,2上单调递减,在区间2,m上单调递增,f(0)=3,f(m)=m2-4m+3=m(m-4)+33,则f(x)max=f(m)=m2-4m+3.综上所述,f(x)max=3,0mbc且a+b+c=0,则函数f(x)的图象可能是()答案D4.若二次函数y=kx2-4x+2在区间1,2上是单调递增函数,则实数k的取值范围为()A.2,+)B.(2,+)C.(-,0)D.(-,2)答案A二次函数y=kx2-4x+2的图象的对称轴为x=2k,当k0时,要使函数y=kx2-4x+2
13、在区间1,2上是增函数,只需2k1,解得k2.当k0时,2k0,此时抛物线的对称轴在区间1,2的左侧,函数f(x)=kx2-4x+2在区间1,2上是减函数,不符合要求.综上可得实数k的取值范围是2,+).5.若函数f(x)=12x2-x+32的定义域和值域都是1,b,则b的值为()A.1或3B.1或32C.32D.3答案D函数f(x)=12x2-x+32的图象的开口向上,对称轴为x=1,所以函数f(x)在1,b上单调递增,所以f(b)=12b2-b+32=b,解得b=3或b=1(舍去),故选D.6.如图所示的曲线是幂函数y=x在第一象限的图象,已知-4,-14,14,4,则相应曲线C1,C2,
14、C3,C4对应的值依次为()A.-4,-14,14,4B.4,14,-14,-4C.-14,-4,4,14D.4,14,-4,-14答案B7.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)0),易知x(0,+)时,f(x)为减函数,f(a+1)0,10-2a0,a+110-2a,解得a-1,a3,3a5.8.已知关于x的二次方程(m-2)x2+3mx+1=0的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),则m的取值范围为.答案-12m0,f(-1)f(0)0,f(2)f(0)0,(-2m-1)10,(10m-7)10,所以-12mf(4),则()A.a0,4a+b=0B.a0,2a+b=0D.af(4
15、),所以在(2,+)上f(x)为减函数,所以f(x)的图象开口向下,所以a0,可知函数在x=12处取得最小值,即f12=a1212-1+1=34,解得a=1,故函数f(x)的解析式为f(x)=x(x-1)+1=x2-x+1.(2)f(x)=x+m即x2-x+1=x+m,据此可得m=x2-2x+1,原问题等价于直线y=m与函数y=x2-2x+1的图象在区间(-1,2)上有且只有一个交点,函数图象如图所示,观察可得实数m的取值范围是m|m=0或1m4.4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,方程f(x)=x的两根分别为-1,2,且f(3)=-1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=
16、f(x)+2(m-1)x.若g(x1)=g(x2)(x1x2),求g(x1+x2)的值;求函数g(x)在区间1,2上的最大值.解析(1)因为方程f(x)=x的两根分别为-1,2,所以f(x)-x=a(x+1)(x-2)(a0),即f(x)=ax2+(1-a)x-2a,由f(3)=-1a=-1,所以f(x)=-x2+2x+2.(2)由(1)可得g(x)=-x2+2mx+2,由g(x1)=g(x2)可得,y=g(x)的图象关于直线x=x1+x22=m对称,所以g(x1+x2)=g(2m)=2.因为g(x)=-(x-m)2+m2+2,所以x1,2时,m2,g(x)max=g(2)=4m-2,g(x)max=2m+1,m2.
