1、第2节等差数列及其前n项和最新考纲核心素养考情聚焦1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题4.体会等差数列与一元一次函数的关系1.等差数列的基本运算，达成逻辑推理和数学运算素养2.等差数列的判定与证明，发展数学抽象和数学运算素养3.等差数列的性质，提升逻辑推理和数学运算素养等差数列的定义、通项公式及前n项和公式、等差数列的性质是高考的热点，以求a1、d、an、Sn为主要考查内容高考题型多样，以选择题、填空题的形式考查等差数列的基本运算和性
2、质，难度不大在解答题中常与等比数列、数列求和等问题综合考查，难度中等1等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数)(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A.数列an是等差数列2anan1an1(n2，nN*)2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.推广：anam(nm)d(m，nN*)等差数列的通项公式与函数的
3、关系andn(a1d)是关于n的一次函数数列an是等差数列anpnq(p，q为常数)(2)等差数列的前n项和公式Snna1d(其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项)推广：等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n 是关于n的二次函数，且常数项为0.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)3等差数列的有关性质已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和(1)当mnpq时，amanapaq(m，n，p，qN*)特别地，若mn2p，则aman2ap(m，n，pN*)(2)等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列.(3)若an
4、是等差数列，公差为d，则相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为md(k，mN*)(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列4等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值已知an为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和1有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1ana2an1a3an2akank1.2.也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an的公差的.3在等差数列an中，(1)若项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd；.(2)若
5、项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an；S奇S偶an；.4若数列an与bn均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则.5若数列an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列pan，anp，panqbn都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1qd2.6若amn，anm(m0)，则amn0.思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.( )(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的
6、( )(4)数列an为等差数列的充要条件是其前n项和公式为n的二次函数( )(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列( )(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100( )A100B99C98D97解析：C设等差数列an的公差为d，由已知得所以所以a100a199d19998.2(2019荆州市一模)在等差数列an中，若a3a4a53，a88，则a12的值是( )A15 B30 C31 D64解析：A设等差数列a
7、n的公差为d，a3a4a53，a88，3a43，即a13d1，a17d8，联立解得则a121115.3(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n解析：A设an的公差为d，则解得a13，d2.an3(n1)22n5，Sn3n2n24n，故选A.4(北师大版教材例题改编)已知等差数列an，a520，a2035，则an_.答案：15n5已知数列an中，a11且(nN*)，则a10_.解析：由知，数列为等差数列，则1(n1)，即an.a10.答案：考点一等差数列的基本运算(自主练透)数学建模等差数列实际应用中的
8、核心素养以等差数列的知识为基础，把现实生活中的实际问题通过“建模”转化为数学问题，进而通过数学运算来解释实际问题，并接受实际的检验，发展数学建模的素养题组集训1(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4D8解析：C设公差为d，则a4a5a13da14d24，S66a1d48，联立得3得(2115)d24,6d24，所以d4.2(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a35，a713，则S10_.解析：本题考点为等差数列的求和，为基础题目，难度不大不能构造等数列首项和公差的方程组致使求解不通，应设出等差数列的公差，为列方程组
9、创造条件，从而求解数列的和.，得，S1010a1d1012100.答案：1003(2019咸阳市一模)九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得()A三分鹿之一 B三分鹿之二C一鹿 D一鹿、三分鹿之一解析：A五人分得的鹿构成等差数列an，d0.a11，S55，5d5，解得d，a54.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n
10、项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法考点二等差数列的判定与证明(子母变式)母题若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求数列an的通项公式破题关键点(1)将an2SnSn10(n2)转化为Sn与Sn1的关系等式；(2)先求出Sn，再利用an与Sn的关系求an.解析(1)证明：当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，
11、故是首项为2，公差为2的等差数列(2)由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an子题1将母题条件“an2SnSn10(n2)，a1”改为“Sn(Snan)2an0(n2)，a12”，问题不变，试求解解：(1)证明：当n2时，anSnSn1且Sn(Snan)2an0.SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0，即SnSn12(SnSn1)0.即.又.故数列是以首项为，公差为的等差数列(2)由(1)知，Sn，当n2时，anSnSn1当n1时，a12不适合上式，故an子题2已知数列an满足2an1anan11(n2)，a12，证明数列是等差数列，并求数列an的通项
12、公式解：当n2时，an2，1(常数)又1.数列是以首项为1，公差为1的等差数列1(n1)1，an.等差数列的四种判断方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数(2)等差中项法：验证2anan1an1(n2，nN*)都成立(3)通项公式法：验证anpnq.(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断提醒：要注意定义中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列考点三等差数列的性质(师生共研)典例(1)下面是关于
13、公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为( )Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4解析：命题判断过程结论p1：数列an是递增数列.由an1and0，知数列an是递增数列真命题p2：数列nan是递增数列由(n1)an1nan(n1)(a1nd)na1(n1)da12nd，仅由d0是无法判断a12nd的正负的，因而不能判定(n1)an1，nan的大小关系.假命题p3：数列是递增数列显然，当ann时，1，数列是常数数列，不是递增数列.假命题p4：数列an3nd是递增数列数列
14、的第n1项减去数列的第n项an13(n1)d(an3nd)(an1an)3(n1)d3ndd3d4d0.所以an13(n1)dan3nd，即数列an3nd是递增数列真命题答案D (2)一个等差数列an的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为，则公差d_. 解析由题意，可知又项数为12的等差数列中S偶S奇6d192162，d5.答案5(3)(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5.若a34，求an的通项公式；若a10，求使得Snan的n的取值范围解析设an的公差为d，由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此a
15、n的通项公式为an102n.由得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0，故Snan等价于n21ln100，解得1n10，所以n的取值范围是n|1n10，nN答案an102nn|1n10，nN利用等差数列性质的常见题型与求解策略求基本量(1)关键是将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn结合在一起，采用整体思想，简化解题过程(2)利用等差数列奇数项和与偶数项和的性质：项数为偶数2n的等差数列an：S2nn(a1a2n)n(anan1)，S偶S奇nd，；项数为奇数(2n1)的等差数列an：S2n1(2n1)an1，(其中S奇、S偶分别表示数列an中所有奇数项、偶数项的和)求前n项
16、和的最值(1)若a10，d0，且满足前n项和Sn最大(2)若a10，且满足前n项和Sn最小(3)除上面方法外，还可将an的前n项和最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题(公差不为零)，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN*.确定单调性公差d0时为递增数列，且当a10时，前n项和Sn有最小值；d0时，前n项和Sn有最大值.1(2019福州市一模)已知等差数列an的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则an( )A2n1B2n2Cn1 Dn2解析：D等差数列an的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，(a13)2(a11)(a16)，解得a13.an3(n1)n2.2(2019菏泽市一
17、模)已知在等差数列an中，a11，a32a1，a53a2，若Sna1a2an，且Sk66，则k的值为( )A9B11C10D12解析：B在等差数列中，2a3a1a5，2(2a1)13a2，解得a1，即a11，a33，a55，公差d1，Skk1166，解得k11或k12(舍)3等差数列an中，已知a50，a4a75时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.答案：1309(2016全国卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解：(
18、1)设数列an的公差为d，由题意有解得所以an的通项公式为an.(2)由(1)知bn，当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，45，bn4，所以数列bn的前10项和为1322334224.10已知函数f(x)x22(n1)xn25n7.(1)设函数yf(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；(2)设函数yf(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列bn，求bn的前n项和Sn.解：(1)证明：f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8，an3n8，an1an3(n1)8(3n8)3，数列an为等差数列(2)由题意知，bn|an|3n8|，当1n2时，bn83n，Snb1bn；当n3时，bn3n8，Snb1b2b3bn521(3n8)7.Sn