1、2016 届 4 月模拟考试（NC）理科数学 第卷（选择题 共 60 分）一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集UR，集合x2|ylog1,|y2AxxBy，则UAC B 为（）A.0,B.1,C.0,1 D.1,2 2.复数21aizaRi在复平面内对应的点在虚轴上，则a（）A.2 B.2 C.1 D.1 3.已知191log 3a，数列 132na是公比为 12的等比数列，则8a （）A.19132 B.19132 C.9516 D.9516 4.已知命题:cos0p 是2kkz的充分必要条件，命题
2、q：设随机变量0,1N，若32Pm，则31022Pm，下列命题是假命题是为（）A.pq B.pq C.pq D.p 5.已知变量,x y 满足20250,20 xyxyy 则 2xy的最大值为（）A.B.C.D.6.已知函数 2sin0f xx的图象与函数 cos 22g xx的图象的对称中心完全相同，则 （）A.6 B.6 C.3 D.3 7.当双曲线 C 不是等轴双曲线，我们把以双曲线 C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线 C 的“伴生椭圆”，则离心率为 5 的双曲线的“伴生椭圆”离心率为（）A.55 B.12 C.2 33 D.32 8.执行如图所示的程序框图，若输出的 S 的
3、值为 52，则实数 k 的取值范围为（）A.16,64 B.16,32 C.32,64 D.3 2,6 4 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.6 B.8 C.10 D.12 10.某校文化艺术节要安排六个节目，其中高一年级准备 3个节目，高二年级准备 2 个节目，高三年级准备 1 个节目，则同一年级的节目不相邻的安排种数为（）A.72 B.84 C.120 D.144 11.已知点 P 在直径为2 的球面上，过点 P 作球的两两垂直的三条弦,PA PB PC，若 PAPB，则 PAPBPC的最大值为（）A.6 B.21 C.22 D.3 12.定 义：如 果 函 数 f
4、x在 区 间,a b上 存 在1212,x xaxxb满 足 12,f bf afxbaf bf afxba，则 称 函 数 f x是 区 间,a b 上的“双中值函数”.已知函数 32f xxxa是0,a 上的“双中值函数”，则实数 a 的取值范围是（）A.1 1,3 2 B.3,32 C.1,13 D.1,12 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.已知向量1,2ab，若3ab，则向量,a b 的夹角为 .14.设圆 C 的圆心是抛物线214yx的焦点，且与直线30 xy相切，则圆 C 的方程是 .15.设 f x 是6212xx展开式的中间项
5、，若 f xmx在区间2,22上恒成立，则实数 m 的取值范围是 .16.若数列 na与 nb满足，1113111,2nnnnnnnbab abnN ,且12a，设数列 na的前n 项和为nS，则61S .三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)在ABC中，,a b c分别是角,A B C的对边，已知2223 s i ns i n3 s i n2 s i ns i n C.BCAB （1）若sin2 cosBC，求 tan C 的值；（2）若2,aABC的面积为22S，且bc，求,b c 的值.18.(本小题满分 1
6、2 分)某市交管部门随机抽取了 89 名司机调查有无酒驾习惯，汇总数据得到下表：已知在这 89 人随机抽取 1 人，抽到无酒驾习惯的概率为 57.89（1）将上表空白部分的数据补充完整；（2）若从有酒驾习惯的人中按性别用分层抽样的方法抽取 8 人参加某项活动，现从这 8人中随机抽取 2 人，记抽到女性的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望.19.(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 SABCD中，/,ABCD BCCD侧面 SAB为等边三角形，2,1.ABBCCDSD （1）证明：SD 平面 SAB；（2）求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.20(本小题满分 12 分)如 图，在 平
7、面 直 角 坐 标 系 x o y中，已 知 椭 圆2222:1(0)xyCabab的离心率为 12，左顶点4,0，过点 A 作斜率为 0k k 的直线l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E.（1）求椭圆的方程；（2）已知点 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q，对于任意的 0k k，都有OPEQ？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由.21.(本小题满分 12 分)已知函数 2l n,3.fxxx gxxa xaR （1）若对0,x ，恒有不等式 12f xg x，求a 的取值范围;（2）证明：对0,x ，恒有12lnxxeex.请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作
8、答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分 10 分)选修 4-1：几何证明选讲 如图，圆 O 是 ABC 的外接圆，BAC的平分线交 BC 于点F，D 是 AF 的延长线与O 的交点，AC 的延长线与O 的切线DE 交于点 E.（1）求证：;CEDEBDAD（2）若3 2,2,6,BDECCA，求 BF 的值.23.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 已知直线l 的参数方程为11232xtyt （t 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C
9、的极坐标方程为2 3sin.（1）写出直线l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；（2）若点 P 的直角坐标为1,0，圆 C 与直线l 交于 A,B 两点，求 PAPB的值.24.(本小题满分 10 分)不等式选讲 已知函数 1.f xx （1）解关于 x 的不等式 210f xx （2）若 3,g xxm f xg x 的解集非空，求实数m 的取值范围.2016 届 4 月模拟考试（NC）理科数学 2016 届高三模拟考试数学（理科）参考答案 一、选择题 CBDAC DDBCC AD 二、填空题 13.14.;15.5,16.527.三、解答题 17、解：即 2 分 3 分（1）由得 5 分
10、 所以 6 分（2）因为 所以由余弦定理得：48 分 又，所以 10 分 联立，且 bc 得：b=,c=12 分 18、(1)男性 女性 合计 无酒驾习惯 31 26 57 有酒驾习惯 24 8 32 合计 55 34 89 4 分（2）因为从有酒驾的人中按性别用分层抽样的方法抽取 8 人，所以男性抽出 所以 X 可取的值为 0,1,2;5 分 X 服从超几何分布 P(x=0)=P(x=1)=P(x=0)=8 分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 10 分 E(X)=2=12 分 19.（1）计算,又因为 SD=1，于是，利用勾股定理，可知，同理，可证，又 SASB=S 因此 SD平面
11、 SAB 4 分（2）过 D 做 DZ 平面 ABCD，如图建立空间直角坐标系 D-xyz 则 D(0,0,0)A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0)设 S=(x,y,z)则 即 解之得：S（）6 分 设平面 SBC 的一个法向量是则 即 令 c=2 则,8 分 20.(1)因为左顶点为 A 所以 c=2 又因为 2 分 所以椭圆方位为：3 分(2)直线 的方程为 y=k()由 消元得 化简得（）所以 6 分 所以 D,又因为点 P 为 AD 的中点，所以 P()则 9 分 直线 的方程为 y=k()，令得 E（0,4k）假设存在定点 Q(m,n)(m)使得，则 即=(0,2,
12、0)所以=11 分 设 AB 与平面 SBC 所成角为。则 sin 12 分 所以(4m+12)k-3n=0 恒成立 所以 即 因此定点 Q 的坐标为(-3,0)12 分 21.（1）当 只需证：2 分 令 h（）（x0）则 由知函数 h（）在区间（0,1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增 4 分 故 的取值范围是（5 分 (2)证：要证，只要证 f()=由,知 f（x）在区间（0，上单调递减，在区间（上单调递增.于是，当 x0 时 f（x）7分 令=在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减 于是，=9 分 显然，不等式，中的等号不能同时成立.故当时，f()g()即 12 分 22
13、.（1）证明：连接 CD，则 AD 平分BAC，BAD=EAD，=，DE 是圆 O 的切线，CDE=EAD=BADDCE 是四边形 ABCD 的外角，DCE=ABD，ABDDCE，所以 5 分 （2）解：=，BD=3，BD=CD=3，CBD=BCD，DE 是圆 O 的切线，EC=2，CA=6，CDE=CBD，DE2=EC？EA=16，DE=4，CDE=BCD，DEBC，E=ACB=ADB，DCEBFD，BF=10 分 23.(1)直线 的普通方程为：2 分 圆 C 的直角坐标方程为：5 分(2)把直线的参数方程（t 为参数）代入圆 C 的方程得：化简得：8 分 所以 所以PA+PB=+=4 10 分 24.解：（）由题意原不等式可化为：即：由得 由得 4 分 综上原不等式的解为5 分（）原不等式等价于的解集非空 令，即，由，所以即，9 分 所以10 分