1、2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课后篇巩固提升1.对抛物线x2=4y,下列描述正确的是()A.开口向上,焦点为(0,1)B.开口向上,焦点为0,116C.开口向右,焦点为(1,0)D.开口向右,焦点为116,0解析抛物线x2=4y开口向上,焦点为(0,1),因此选A.答案A2.若点M(x,y)满足x2+y2=|3x+4y-1|5,则动点M的轨迹是()A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线解析依题意,动点M到点(0,0)的距离等于其到定直线3x+4y-1=0的距离,且点(0,0)不在直线3x+4y-1=0上,因此动点M的轨迹是抛物线.故选D.答案D3.点M到点F(-4,0)的距离比它到直线l:
2、x-6=0的距离小2,则点M的轨迹方程为()A.y2=16xB.y2=-16xC.y2=24xD.y2=-24x解析因为点M到点F(-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离小2,所以将直线l:x-6=0左移2个单位长度,得到直线x-4=0,即x=4.可得点M到直线x=4的距离等于它到点(-4,0)的距离,根据抛物线的定义,可得点M的轨迹是以点(-4,0)为焦点,以直线x=4为准线的抛物线,设抛物线方程为y2=-2px(p0),可得p2=4,得2p=16,所以抛物线的方程为y2=-16x,即点M的轨迹方程为y2=-16x.故选B.答案B4.点M是抛物线y2=2px(p0)上一点,F为抛物线
3、的焦点,FMx轴,且|OM|=5,则抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-2解析抛物线y2=2px的焦点为Fp2,0,M为抛物线上的点,且FMx轴,Mp2,p;又|OM|=5,p22+p2=5,解得p=2,p2=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A.答案A5.已知双曲线x2m-y2m+18=1(m0)的一条渐近线方程为y=3x,它的一个焦点恰好在抛物线y2=ax的准线上,则实数a的值等于()A.24B.12C.124D.112解析由题意,可得m+18m=3,解得m=9,双曲线的方程为x29-y227=1,焦点坐标为(6,0),a4=6,a=24.答案A6.若
4、抛物线C:y=ax2经过点(4,2),则抛物线焦点坐标为.解析依题意有2=a42,所以a=18.因此抛物线方程为x2=8y,其焦点坐标为(0,2).答案(0,2)7.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是.解析若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线,不包含原点;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴负半轴.答案y2=8x(x0)或y=0(x0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.解析如图,不妨设Bx0,-p2,F0,p2,|FD|=p,可解得B3+p24,-p2.
5、在RtDFB中,tan30=|BD|DF|,所以33=3+p24p,解得p=6.答案69.根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.解(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且-p2=-2,所以p=4,所以抛物线的标准方程是x2=-8y.(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,所以抛物线的标准方程是y2=-10x.10.已知点A(12,6),点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.(1)求点M的轨迹方程G;(2)在抛物线G上是否存在一点P,使点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得
6、最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1,即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离”,所以点M的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,此时,p=2.故所求抛物线方程G为x2=4y.(2)存在.如图,易判断点A在抛物线外侧,设P(x,y),则点P到x轴的距离即为y值,设点P到准线y=-1的距离为d,则y=d-1.故|PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知|PF|=d.于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.由图可知,当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取最小值13.此时直线AF的方程为y=512x+1,由x2=4y,y=512x+1,联立得点P坐标为3,94.在抛物线G上存在点P3,94,使得所求距离之和最小为13.