1、2 一元二次不等式 2.1 一元二次不等式的解法 必备知识自主学习 1.一元二次不等式及其解集(1)形如ax2+bx+c0(0)或ax2+bx+c0(a0)时,若ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),还需要判断 的符号吗?提示:不需要,因为此时方程ax2+bx+c=0一定有解,即0一定成立.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)不等式x2y是一元二次不等式.()(2)不等式x20的解集是R.()(3)存在实数x,满足x-1x2.()提示:(1).不等式x2y是二元二次不等式.(2).对于任意实数x,不等式x20恒成立,所以不等式x20的解集是R.(3).不等式x-1x
2、2即x2-x+1x2.213x+24（）2.若一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为(1,2),则下列说法不正确的是()A.函数y=ax2+bx+c的零点为1,2 B.关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为1,2 C.函数y=ax2+bx+c的图像开口向上 D.ax2+bx+c0的解集为(1,2),所以函数y=ax2+bx+c的零点为1,2,即关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为1,2,函数y=ax2+bx+c的图像开口向下,不等式ax2+bx+c0的解集为(-,1)(2,+).3.(教材二次开发:例题改编)不等式-x2-x+20的解集是 ()A.x|x-2或x1 B.x|-2x0的解
3、集为 ()3.(2020邯郸高一检测)不等式-2x2+3x+140的解集为 ()A.(-,-2 B.2,+)C.D.33A.x1xx 12233C.xx1x0,可得(2x-3)(x+1)0,解得x 或xx0(0)(a0)或ax2+bx+c0);(2)计算出相应的一元二次不等式的判别式;(3)求出一元二次方程ax2+bx+c=0的实根(或判断相应方程有没有实根);(4)结合函数图像写出不等式的解集.简记为:一看、二判、三求、四写.提醒:(解集记忆口诀,a0)大于零取两边,小于零取中间.【补偿训练】在R上定义运算:ab=ab+2a+b,则满足x(x-2)0的实数x的取值范围为 ()A.(0,2)B
4、.(-2,1)C.(-,-2)(1,+)D.(-1,2)【解析】选B.由ab=ab+2a+b,得x(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-20,所以-2x1.类型二 解含参数的一元二次不等式(逻辑推理)【典例】(2020焦作高一检测)已知ax2+2ax+10恒成立,解关于x的不等式x2-x-a2+a0.四步内容理解 题意恒成立指的是无论x为何值,此不等式始终成立思路 探求先根据恒成立分析出a的范围,然后根据a的范围分类讨论求解不等式的解集.四步内容书写 表达当a=0时,10,不等式恒成立;当a0时,则 解得0a1.综上0a1.由x2-x-a2+a0得(x-a)x-(1-a)a即0a
5、时ax1-a;当1-a=a,即a=时 0,不等式无解;当1-aa,即 a1时1-axa.综上,当0a 时,原不等式的解集为x|ax1-a;当 a=时,原不等式的解集为;当 a1时,原不等式的解集为x|1-ax0=4a4a0，12121x22（）12121212四步内容题后 反思 本题考查根据分类讨论的方法求解不等式解集,难度一般.对于所解不等式中含有字母的情况,首先要思考是否需要对字母分类讨论,然后再考虑求不等式解集.【解题策略】含参数的一元二次不等式的解法策略(1)当二次项系数不确定时,要分二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行讨论.(2)判别式大于零时,只需讨论两根大小.(3)判别式
6、不确定时,要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论.【跟踪训练】解关于x的不等式:ax2-2(a+1)x+40).【解析】因为a0,所以原不等式化为:(x-2)0,当0a1时,21时,0的解集为 ,则 a、c的值为 ()A.6,1 B.-6,-1 C.1,1 D.-1,-6 11xx32【思路导引】根据不等式的解集,即为不等式对应方程的两个根,由根与系数的 关系即可求得.【解析】选D.因为不等式cx2+5x+a0的解集为 ,故方程 cx2+5x+a=0对应的两根为 和 .故可得c0,解得c=-6,a=-1.11xx1 B.a|a-1 C.a|a=0或a1 D.a|a=0或a-1【解析】
7、选B.当a=0时,2x-10,即x ,不符合题意;当a0时,因为关于x的 不等式ax2+2x-10的解集为空集,即所对应方程ax2+2x-1=0无实根,且a0,所以=4+4a0,解得a-1,故实数a的取值范围是a|a0;当x(-,-3)(2,+)时,f(x)0的解集为x(-3,2).所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根.所以 且a0,可得 所以f(x)=-3x2-3x+18.b83+2=,aaab3 2=,a a=3,b=5,(2)由a0和ax2+bx+c0)的解集分别为x|xx2,x|x1xx2(x10恒成立 若f(x)0的解集为 ,则实数a,b的值分别是()A.a=-
8、4,b=9 B.a=4,b=9 C.a=-4,b=-9 D.a=-1,b=2【解析】选C.由题意得,-2、-为方程ax2+bx-2=0的两个根,由根与系数的关 系可得 解得 141b24a1224a ，（），a4b9.，1x2x42.(2020北京高一检测)若不等式mx2+2mx-42x2+4x对任意xR恒成立,则实数m的取值范围是 ()A.(-2,2 B.(-2,2)C.(-,-2)2,+)D.(-,2【解析】选A.由题意可知不等式(m-2)x2+(2m-4)x-40对任意xR恒成立.当m-2=0时,即当m=2时则有-40,合乎题意;当m-20时,则 解得-2m0的解集.(2)若不等式f(x
9、)+10的解集为 ,求m的值.3 32（,）【解析】(1)当m=1时,不等式f(x)0为2x2-x0,因此所求解集为(-,0).(2)不等式f(x)+10,即(m+1)x2-mx+m0,由题意知 ,3是方程(m+1)x2-mx+m=0的两根,因此 .12 （，）323m392m+1m3m732m+1 【补偿训练】不等式ax2+bx+120的解集为x|-3x0的解集为R,则实数a的取值范围是 ()A.(-,0)(1,+)B.(0,1)C.(-,0(1,+)D.0,1【解析】选B.因为一元二次不等式ax2+2ax+10的解集为R,所以 解 得0a0=(2a)4a0，3.(教材二次开发:习题改编)已
10、知集合A=x|x(x-2)0,B=x|-1x1,则AB=()A.x|-1x2 B.x|x2 C.x|0 x1 D.x|x1【解析】选C.由题意可得A=x|0 x2,B=x|-1x1,所以AB=x|0 x0;x2+6x+100;2x2-3x+40,解集不为R;中=(-2 )2-4 0,解集不为R;中=62-4100.满足条件;中不等式可化为2x2-3x+30的解集.【解析】因为=(-4)2-441=0,所以方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,所以原不等式的解集为x|x .1212课时素养评价 十七 一元二次不等式的解法【基础通关】(20分钟 35分)1.(2020柳州高一检测)不等式9-
11、x23 B.x|x-3 C.x|-3x3 D.x|x3【解析】选D.将不等式9-x20,即(x-3)(x+3)0,解得x3,因此不等式9-x20的解集为x|x3.2.已知2a+10的解集是()A.x|x5a或x-a B.x|x-a C.x|-ax5a D.x|5ax0,所以(x-5a)(x+a)0.因为a-,所以5a-a或x0的解集是 ,则a+b的 值是()A.10 B.-10 C.14 D.-14【解析】选D.根据题意可知ax2+bx+2=0的两根为-和 ,故 解得a=-12,b=-2,故a+b=-14.1 1()2 3，121311b()23a112()23a ，4.若关于x的不等式x2-
12、3x+t0的解集为x|1xm,xR,则t+m=.【解析】因为不等式x2-3x+t0的解集为x|1xm,xR,所以1,m是方程x2-3x+t=0的两根,所以 解得 .所以t+m=4.答案:4 m2t2 1m3mt，5.若关于x的不等式ax2+ax+a-10的解集为R,则实数a的取值范围是 .【解析】若关于x的不等式ax2+ax+a-10的解集为R,则当实数a=0时,满足条件;当实数a0时,则有 ,解得a0的解集为 ,则ac=()A.-24 B.24 C.6 D.-6【解析】选A.依题意得-,为方程ax2-2x+c=0的两个实数根,由根与系数的关系,得 解得 故ac=-24.1 1()2 3，12
13、1311223a11c()23a，a12c2 ，3.(2020长沙高一检测)若关于x的不等式ax2-(a+1)x+10(aR)的解集为 ,则a的取值范围是()A.a1 B.a1 C.0a1 D.a0【解析】选B.不等式ax2-(a+1)x+10可化为(ax-1)(x-1)0,由不等式ax2-(a+1)x+10,方程(ax-1)(x-1)=0的两根为x1=1,x2=且 1.1(1)a，1(1)a，1a1a4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a0时,不等式ax2+bx+c0的解集为()A.x|x2 B.x|x-1或x2 C.x|-1x2 D.x|-1x2【解析】选D.因为一元二
14、次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a0时,函数y=ax2+bx+c=0的图像开口向下,所以不等式ax2+bx+c0的解集为x|-1x2.【误区警示】如果不能灵活运用“三个二次”内在关系,本题将无法解决.5.不等式x2-2x+5a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.-1,4 B.(-,-25,+)C.(-,-14,+)D.-2,5【解析】选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a4,解得-1a4.【光速解题】选A.由x2-2x+5=(x-1)2+4知其最小值为4,可代值验证.当a=5,a2-3
15、a=52-35=10,故不成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020成都高一检测)关于x的不等式x2-(a+1)x+a0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是 .【解题指南】不等式等价转化为(x-1)(x-a)1时,得1xa,当a1时,得ax1,由此根据解集中恰有3个整数解,能求出a的取值范围.【解析】关于x的不等式x2-(a+1)x+a0,不等式可变形为(x-1)(x-a)1时,得1xa,此时解集中的整数为2,3,4,则4a5;当a1时,得ax1,此时解集中的整数为-2,-1,0,则-3a-2.故a的取值范围是-3,-2)(4,5.答案:-3,-2)(4,5【补偿训练】(202
16、0厦门高一检测)关于x的不等式x2-2ax-8a20)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则a=.【解析】因为x2-2ax-8a20,所以(x+2a)(x-4a)0,所以-2ax0时,原不等式等价于-2x-x2,所以x0.综上所述,原不等式的解集为x|x-.答案:x|x-22x1x02xx0，1212128.若对于实数x,当nxn+1,nN+时,x=n,则不等式4x2-36x+450的解集 是 .【解析】原不等式可化为(2x-3)(2x-15)0,解得 x0.(2)若不等式f(x)b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.【解析】(1)因为f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,所以
17、f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3,所以原不等式可化为a2-6a-30,解得3-2 a3+2 .所以原不等式的解集为a|3-2 ab的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,等价于 解得 3333a33,b3.a(6a)1 3,36b1 33 10.(2020宜春高一检测)(1)若关于x的不等式ax2-3x+20(aR)的解集为x|xb,求a,b的值;(2)解关于x的不等式ax2-3x+25-ax(aR).【解析】(1)不等式ax2-3x+20(aR)的解集为x|xb,所以a0,1,b是一元二次方程ax2-3x+2=0的两个实数根,所以
18、 解得a=1,b=2.31ba21 baa0 ，(2)不等式ax2-3x+25-ax化为ax2+(a-3)x-30,即(ax-3)(x+1)0.当a=0时,化为x+10,解得x0时,-1,解得x ,其解集为(-,-1),当-3a0时,-1,解得 x-1,其解集为 ,当a=-3时解集为.当a-1,解得-1x0时,解集为(-,-1);3a3a3(,)a 3a3a3(,1)a 3a3a3(1,)a3(,)a 当-3a0时,解集为 ;当a=-3时,解集为.当a-3时,解集为 .3(,1)a 3(1,)a【创新迁移】1.(2020襄阳高一检测)已知函数f(x)=(x-1)(ax+b)为定义在R上的偶函数
19、,且在0,+)上单调递减,则af(3-x)0的解集是()A.(2,4)B.(-,2)(4,+)C.(-1,1)D.(-,-1)(1,+)【解析】选A.f(x)=(x-1)(ax+b)=ax2+(b-a)x-b,若f(x)是偶函数,则b-a=0,即a=b,此时f(x)=ax2-a=a(x2-1),因为f(x)在0,+)上单调递减,所以a0,则af(3-x)0等价为a2(3-x)2-10,即(x-3)21,得-1x-31,得2x4,即不等式的解集为(2,4).2.已知不等式mx2+nx-2或x0,其中a是实数.1m12【解析】(1)由不等式mx2+nx-2或x-,得方程mx2+nx-=0的两根为-,2,且m0,即x-(2a-1)(x-1)0,而方程x-(2a-1)(x-1)=0的两根为x1=2a-1,x2=1,当2a-11,即a1时,原不等式的解集为x|2a-1x1,即a1时,原不等式的解集为x|1x1时,原不等式的解集为x|1x2a-1,当a=1时,原不等式的解集为,当a1时,原不等式的解集为x|2a-1x1.