1、高二数学（文科）2021-04 阶考 第 1页共 2 页树德中学高 2019 级高二下期 4 月阶段性测试数学（文科）试题第卷（选择题）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在空间直角坐标系中，点 2,1,3A关于平面 zOx 的对称点为 B，则 A、B 两点间的距离为（）A 2 5B2C4D2 132.若函数()f x 的导函数为()fx，且满足)2(1)ln2f xfxx（，则(1)=f()A0B 1C 2D23.点(3,1)P 在极坐标系中的坐标为（）A5(2,)6B5(2,)6C5(4,)6D5(4,)64.设 a 为实
2、数，函数 322f xxaxax的导函数是()fx，且()fx是偶函数，则曲线 yf x在原点处的切线方程为（）A2yx B3yxC3yx D4yx 5函数32()391f xxxx有（）A极大值 1，极小值 3B极大值 6，极小值 3C极大值 6，极小值 26D极大值 1，极小值 266.直线l 的参数方程为()xat tybt为参数 l 上的点1P 对应的参数是 1t,则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（）A1tB12 tC12 tD122 t7函数 eln2xf xx的大致图象为（）ABCD8.已知点 3 0A ,，0,3B，若点 P 在曲线1 cossinxy（参数0,2）上运
3、动，则PAB面积的最小值为（）A 92B 6 2C3 262D3 2629.已知)sinf xxx（，若1,2x时，2()(1)0f xaxfx，则 a 的取值范围是()A(，1B 1，)C，)D(，10.已知函数 ，曲线 上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，则实数 a 的取值范围是 A.2(,)eB.e,0C.21-,)e（D.e,011.已知函数1)lnxf xxx（的一条切线方程为 ykxb则 kb的最小值为()A 1B 0C 1D 212.设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为,A B，P 是椭圆上不同于,A B 的一点，设直线,AP BP 的
4、斜率分别为,m n，则当22(3)3(ln|ln|)3amnbmnmn取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A 15B22C 45D32第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13.在极坐标系中，已知两点 A，B 的极坐标分别为 3,3，4,6，则 AOB（其中 O 为极点）的面积为14.已知直线l 的参数方程为cos532sin531xtyt（t 为参数），则直线l 的倾斜角为15如图，)yf x（是可导函数，直线 l：y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线，令()g xxf x（，其中()g x是 g(x)的导函数，则曲线 g(x)在 x
5、=3 处的切线方程为_16.已知对任意的1,1ex，总存在唯一的1,1y ，使得2ln1e yxxay 成立高二数学（文科）2021-04 阶考 第 2页共 2 页（e 为自然对数的底数），则实数 a 的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本题 10 分）已知函数 2lnf xxaxx，aR.（I）若1a，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（）若函数 f x 在1,3 上是减函数，求实数 a 的取值范围.18.（本题 12 分）已知曲线 C 的极坐标方程为2224cos4sin，以极点为平面直角坐标系的原点 O，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐
6、标系（1）求曲线 C 的普通方程；（2）,P Q 为曲线 C 上两点，若OPOQ，求2211|OPOQ的值19.（本题 12 分）已知函数2)ln()f xxaxx（,且)f x（在点1x 处取得极值(1)求实数 a 的值；(2)若关于 x 的方程5)-2f xxb（在区间1,3上有解，求b 的取值范围20（本题 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的方程为22xy 4，直线l 的参数方程23 33xtyt （t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 32倍，得曲线2C.（1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点 2,3 3P，直线l 与曲线2C 的两个交
7、点分别为 A，B，求11PAPB的值.21.（本题 12 分）已知函数21()(21)ln(1)2f xxaxax，其中 a 为实数。1ln(1)=1xx（注意（）（1）若曲线()yf x在点 2(2)f（，处的切线方程为2yx，试求函数()f x 的单调区间；（2）当=0a，12,2,3x x，且12xx时，若恒有1221()()ln(1)ln(1)f xf xxx，试求实数 的取值范围22（本题 12 分）已知函数()(f xlnxmx m为常数）（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当3 22m时，设21()()2g xf xx的两个极值点1x，212()xxx，求)()(21xf
8、xf的最小值.高二数学（文科）2021-04 阶考 第 3页共 2 页树德中学高 2019 级高二下期 4 月阶段性测试数学（文科）试题答案123456789101112BCAACCDDCDBD13.314.012715.30y 16.2,ee（17.（1）当1a 时，2()lnf xxxx，所以1()21fxxx，所以(1)2f，又(1)2f，所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为 20 xy；（5 分）（2）因为函数 f（x）在1，3上是减函数，所以2121()20 xaxfxxaxx在1，3上恒成立，令2()21h xxax，则(1)0(3)0hh，解得（10 分）173a
9、，故17,3.所以实数 a 的取值范围17,3.（10 分）18.（1）由曲线 C 的极坐标方程为2224cos4sin，可得2222cos4sin4，将cos,sinxy代入，可得2244xy可得曲线 C 的普通方程为2214xy.（5 分）（2）因为2224cos4sin，所以2221cos4sin4，因为OPOQ，设1(,)P ，则Q 的点坐标为2(,)2P ，所以2222222212cos()4sin()1111cos4sin22|44OPOQ225cos5sin544.（12 分）19.(1)f(x)ln(xa)x2x，f(x)2x1，函数 f(x)ln(xa)x2x 在点 x1 处
10、取得极值，f(1)0，即当 x1 时，2x10，10，解得 a0.经检验符合题意（5 分）(2)f(x)xb，lnxx2xxb，lnxx2xb.令 h(x)lnxx2x(x0)，则 h(x)2x.当 x1,3时，h(x)，h(x)随 x 的变化情况如下表：计算得 h(1)，h(3)ln 3，h(2)ln 23，h(x)，ln 23，所以 b 的取值范围为，ln 23（12 分）20（1）曲线1C 的方程为22xy4，直线l 的参数方程23 33xtyt （t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 32倍，得曲线2C.曲线2C 的直角坐标方程为222()43xy，整理得2
11、2149xy，曲线2C 的参数方程2cos3sinxy（为参数）；（4 分）（2）将直线l 的参数方程化为标准形式为12233 32xtyt （t 为参数），高二数学（文科）2021-04 阶考 第 4页共 2 页将参数方程代入22149xy，得22313 3222149tt，整理得27()183604 tt.设,A B 对应的参数分别为 12,t t ，则221172,71447tt tt ，.（8 分）12727PAPBtt，1 21447PA PBt t，72111714427PAPBPAPBPA PB.（12 分）21.解：（1）函数()f x 的定义域为|1x x，()(21)1af
12、xxax，f（2）2(21)2aa，可知2121.()111xafxxxx 当220 x，即2x 时，()0fx，()f x 单调递增；当12x时，()0fx，()f x 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为(2,)，单调递减区间为(1,2)意，（5 分）（2）函数2(22)31()(21)11axaxafxxaxx令2()(22)31h xxaxa，4(1)a a，当0a，1时，可知 4(1)0a a ，故2(22)31 0 xaxa 恒成立，可知()0fx，()f x 在区间(1,)上为单调递增函数，不妨设21xx，且1x，22x，3，则22111()()1xf xf xln x变
13、为2121()()(1)(1)f xf xln xln x，即2211()(1)()(1)f xln xf xln x，.（7 分）设函数2211()()(1)(21)(1)(1)(21)()(1)22g xf xln xxaxaln xln xxaxaln x，由21()()g xg x，得()g x 在2x，3 时为单调递减函数，即22(1)31()01xaxag xx ，即22(1)310 xaxa ，也即2(32)210 x axx 对2x，3 与0a，1恒成立因为 320 x，可知0a 时，2(32)21x axx 取最大值，即2210 xx 221xx对2x，3 时恒成立，由222
14、1(1)4xxx ，可知4，即 取值范围为4，)经书面同意，（12 分）22.【解析】解：（1）11()mxfxmxx，0 x，当0m 时，由10mx，解得1xm，即当10 xm 时，()0fx，()f x 单调递增；由10mx解得1xm，即当1xm 时，()0fx，()f x 单调递减；当0m 时，1()0fxx，即()f x 在(0,)上单调递增；当0m 时，10mx，故()0fx，即()f x 在(0,)上单调递增所以当0m 时，()f x 的单调递增区间为1(0,)m，单调递减区间为1(,)m；当0m 时，()f x 的单调递增区间为(0,)（5 分）(2)由题意得1x，2x 为01)(2mxxxg的两个零点，由(1)得122302121xxmxxm故212221212221212121222121)(21ln)(21lnln)()(21)()(xxxxxxxxxxxxxxmxxxfxf设21xxt，由21xx 且102921)(212212tttxxxxm得210 t，.（8 分）则)()1(21ln)()(21ttttxfxf得02)1()(22ttt.)(t于21,0单 调 递 减，故2ln43)21()(t.故)()(21xfxf最小值为2ln43.（12 分）