1、课时规范练45抛物线基础巩固组1.已知抛物线x2=ay(a0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是()A.2B.3C.4D.52.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=42,则POF的面积为()A.2B.22C.23D.43.(2019内蒙古呼和浩特模拟,7)已知抛物线x2=12y的焦点为F,M,N是抛物线上两点,若|MF|+|NF|=32,则线段MN的中点P到x轴的距离为()A.32B.34C.58D.544.F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若PF=2FQ,
2、则|PQ|=()A.92B.4C.72D.35.(多选)已知抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,圆心M(0,1),点P为劣弧AB上不同于点A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线于点N,则PMN的周长的可能取值是()A.8B.8.5C.9D.106.(2019河南焦作三模,8)已知抛物线E:y2=2px(p0)的准线为l,圆C:x-p22+y2=4,l与圆C交于A,B,圆C与E交于M,N.若A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,则E的方程为()A.y2=xB.y2=3xC.y2=2xD.y2=23x7.(2019江西吉安质检,8)已知直线l:3x-y-3=
3、0过抛物线C:y2=2px的焦点F,且与抛物线C交于点A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是()A.抛物线的方程为y2=4xB.线段AB的长度为163C.MFN=90D.线段AB的中点到y轴的距离为838.设抛物线x2=4y,则其焦点坐标为,准线方程为.9.已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,直线l1:y=x-1交抛物线于A,B两点,分别从A,B两点向直线l2:x=-2作垂线,垂足是D,C,则四边形ABCD的周长为.10.(2019广东一模,16)已知F为抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,曲线C1是以F为圆心,p4为半径的圆,直线23x-6y+
4、3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,则|RS|PQ|=.综合提升组11.(2019贵州贵阳模拟,9)已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0为d2,则d1+d2的最小值为()A.3B.4C.5D.712.(2019河南洛阳联考(四),8)已知抛物线C1:y2=2px(p0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BCx轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为()A.116B.3C.113D.613.(2019河南南阳模拟,14)设抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点,过AB的中
5、点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P,若|PF|=32,则直线l的方程为.14.(2019黑龙江齐齐哈尔二模,20)设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.创新应用组15.(2019山西湛江一模,8)已知直线l:4x-3y+6=0和抛物线C:y2=4x,P为C上的一点,且P到直线l的距离与P到C的焦点距离相等,那么这样的点P有()A.0个B.1个
6、C.2个D.无数个16.(2019河南安阳模拟,21)已知直线l的方程为y=-x-2,点P是抛物线C:x2=4y上到直线l距离最小的点.(1)求点P的坐标;(2)若直线m与抛物线C交于A,B两点,ABP的重心恰好为抛物线C的焦点F.求ABP的面积.参考答案课时规范练45抛物线1.C因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以|a|4=7-5,所以|a|=8,因此焦点F到准线l的距离是|a|2=4,故选C.2.C利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.yP=26.SPOF=12|OF|yP|=23.故选C.3.C抛物线x2=12y的焦点为0,18,准线为y=-18,过M,N分别作准线的垂线
7、,则|MM|=|MF|,|NN|=|NF|,所以|MM|+|NN|=|MF|+|NF|=32,所以中位线|PP|=|MM|+|NN|2=34,所以中点P到x轴的距离为|PP|-18=34-18=58.故选C.4.A设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由QFKQPM,得|FK|MP|=|QF|QP|,即1|MP|=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=32,所以|PQ|=|PF|+|QF|=92.故选A.5.BC如图,可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点,过P作准线的垂线,垂足为H,根据抛物线的定义,可得MN=NH,故PMN的周长l=
8、NH+NP+MP=PH+4,由x2=4y,x2+(y-1)2=16,得B(23,3).易知PH长的取值范围为(4,6).则PMN的周长PH+4的取值范围为(8,10),选项B,C满足条件.故选BC.6.C如图,圆C:x-p22+y2=4的圆心Cp2,0是抛物线E:y2=2px(p0)的焦点.圆C:x-p22+y2=4的半径为2,|NC|=2,根据抛物线定义可得:|NA|=|NC|=2.A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,点A,N关于直线x=p2对称,即xN+xA=p22=p,xN=32p,|NA|=32p-p2=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x.故选C.7.D直线l:3x-y-3=0经
9、过点F(1,0),可得p=2,即抛物线C:y2=4x,准线方程为x=-1,联立直线3x-y-3=0和抛物线C:y2=4x,可得3x2-10x+3=0,可得A(3,23),B13,-233,即有|AB|=3-132+23+2332=163,由M(-1,23),N-1,-233,F(1,0),可得kNFkMF=233223-2=-1,则MFNF,即MFN=90,线段AB的中点为53,233,则线段AB的中点到y轴的距离为53.综上可得A,B,C正确,D错误.故选D.8.(0,1)y=-1根据题意,抛物线的方程为x2=4y,其焦点在y轴正半轴上,且p=2,则其焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1
10、.9.18+42由题知,F(1,0),准线l的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x,消去y,得x2=-6x+1=0.因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是4,所以|CD|=|AB|sin4=822=42,所以四边形ABCD的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+42=18+42.10.215x2=2py,23x-6y+3p=012y2-20py+3p2=0.因为直线23x-6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依
11、次相交于P,Q,R,S,所以yP=p6,yS=32p.由直线23x-6y+3p=0过抛物线C:x2=2py(p0)的焦点F,所以|RS|=|SF|-p4=yS+p2-p4=yS+p4,|PQ|=|PF|-p4=yP+p2-p4=yP+p4,|RS|PQ|=|SF|-p4|PF|-p4=3p2+p4p6+p4=74512=215.11.A抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则该点到直线的距离为d1+d2最小值,如图所示;由F(1,0),直线4x-3y+11=0,所以d1+d2=|4-0+11|42+32=3,故选A.12.A圆C2:x2+y
12、2-12x+11=0可化为(x-6)2+y2=52,故圆心为(6,0),半径为5,由于BCx轴和线段BC恰为圆C2的一条直径,故B(6,-5),C(6,5).将B点坐标代入抛物线方程得25=12p,故p=2512,抛物线方程为y2=256x.联立方程y2=256x,x2+y2-12x+11=0,消去y得x2-476x+11=0,解得x=116或x=6(舍去),故A点横坐标为116.故选A.13.2x-y-2=0抛物线方程为y2=4x,抛物线焦点为F(1,0),准线为l:x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),P在第一象限,直线AB的斜率k0,设直线AB方程为y=k(x-1),代入抛物线
13、方程消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P,设P点的坐标为(x0,y0),可得y0=12(y1+y2),y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),y1+y2=k(x1+x2)-2k=k2k2+4k2-2k=4k,得到y0=2k,x0=1k2,可得P1k2,2k.|PF|=32,1-1k22+4k2=32,解得k2=2,k=2,直线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.14.解(1)设抛物线方程为x2=2py(p0).以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,p=2,该抛物线的标准方程为x2
14、=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由y=kx+6,x2=4y消去y整理得x2-4kx-24=0,显然,=16k2+960.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-24.由x2=4y,得y=x4,y=x2.抛物线在点Px1,x124处的切线方程为y-x124=x12(x-x1),令y=-1,得x=x12-42x1,可得点Rx12-42x1,-1,由Q,F,R三点共线得kQF=kFR,x224-1x2=-1-1x12-42x1,即(x12-4)(x22-4)+16x1x2=0,整理得(x1x2)2-4(x1+x2)2-2x1x2+16+16
15、x1x2=0,(-24)2-4(4k)2-2(-24)+16+16(-24)=0,解得k2=14,即k=12,所求直线m的方程为y=12x+6或y=-12x+6.15.C由题P为C上的一点,设Py24,y,P到直线l:4x-3y+6=0的距离d1=|y2-3y+6|32+42.又因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离与到准线的距离相等,所以P到C的焦点距离d2=y24+1,则|y2-3y+6|32+42=y24+1.当y2-3y+632+42=y24+1,即y2+12y-4=0时,0,方程有两个不相等的实数根,即P点有两个;当-(y2-3y+6)32+42=y24+1,即9y2-12y+44=0时
16、,0,方程无实根,所以P点不存在.综上,点P有2个,故选C.16.解(1)设点P的坐标为(x0,y0),则x02=4y0,所以,点P到直线l的距离d=|x0+y0+2|2=x0+x024+22=|(x0+2)2+4|4222,当且仅当x0=-2时取得最小值,此时P点坐标为(-2,1).(2)抛物线C的焦点F的坐标为(0,1),设线段AB的中点为Q(x0,y0),由三角形重心的性质知PF=2FQ.又P(-2,1),所以(2,0)=2(x0,y0-1),解得x0=1,y0=1,即Q的坐标为(1,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,且x12=4y1,x22=4y2,以上两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=4(y1-y2),所以kAB=y1-y2x1-x2=x1+x24=12,故直线m的方程为y-1=12(x-1),经检验,符合题意,即直线m的方程为y=12x+12,联立抛物线C:x2=4y得x2-2x-2=0,所以|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=15,且点P到直线m的距离为|-2-2+1|5=35,所以ABP的面积为S=121535=323.