1、第五章 第 7 讲 A 级 基础达标1在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A，C两点之间的距离为()A 6 kmB 2 kmC 3 kmD2 km【答案】A2如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量 A，C，b；测量 a，b，C；测量 A，B，a.其中一定能确定 A，B 间的距离的方案为()A B C D【答案】D3一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30分钟后到达
2、 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A10 2海里 B10 海里C20 海里 D20 海里【答案】A4(2019 年深圳模拟)一架直升机在 200 m 高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是 30和 60，则塔高为()A4003m B400 33mC200 33m D2003m【答案】A5如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于()A240(31)mB180(31)mC120(31)mD3
3、0(31)m【答案】C【解析】如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在 RtACD 中，CDADtanACD60tan 3060 3(m)，在 RtABD 中，BDADtanABD60tan 75602 360(2 3)(m)，所以 BCCDBD60 360(2 3)120(31)(m).6如图，在ABC 中，B45，D 是 BC 边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB_.【答案】5 62 【解析】在ACD 中，由余弦定理可得 cos C49925273 1114，则 sin C5 314.在ABC 中，由正弦定理可得 ABsin C ACsin B，则 ABACsin Csin B
4、75 314225 62.7如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿DC 走到 C 用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米【答案】50 7【解析】连接 OC，由题意知 CD150 米，OD100 米，CDO60.在COD 中，由余弦定理得 OC2CD2OD22CDODcos 60，即 OC50 7.8我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中
5、斜一十四里，大斜一十五里里法三百步，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为 13 里、14里、15 里，假设 1 里按 500 米计算，则该沙田的面积为_平方千米【答案】21【解析】设在ABC 中，a13 里，b14 里，c15 里，所以 cos C13214215221314 513，所以 sin C1213，故ABC 的面积为1213141213500211 000221(平方千米)9如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45
6、，则山顶的高度为多少米？(取 214，317)解：如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知A15，DBC45，所以ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC 中，BCsin AABsinACB，所以 BC21 00012sin 1510 500(6 2)因为 CDAD，所以 CDBCsinDBC10 500(6 2)2210 500(31)7 350(m)故山顶的高度为 10 0007 3502 650(m)10如图，在四边形 ABCD 中，DAB3，ADAB23，BD 7，ABBC(1)求 sinABD 的值；(2)若BCD23，求 CD 的长【答案】解：(1)因
7、为 ADAB23，所以可设 AD2k，AB3k(k0)又 BD 7，DAB3，所以由余弦定理，得(7)2(3k)2(2k)223k2kcos3，解得 k1所以 AD2，AB3，sinABDADsinDABBD2 327 217.(2)因为 ABBC，所以 cosDBCsinABD 217.所以 sinDBC2 77.所以BDsinBCDCDsinDBC.所以 CD72 77324 33.B 级 能力提升11(2020 年衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在 C 处(点 C 在水平地面下方，O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点)进行该仪器的垂直
8、弹射，水平地面上两个观察点 A，B 两地相距 100 米，BAC60，其中 A 到 C的距离比 B 到 C 的距离远 40 米A 地测得该仪器在 C 处的俯角为OAC15，A 地测得最高点 H 的仰角为HAO30，则该仪器的垂直弹射高度 CH 为()A210(6 2)米 B140 6米C210 2米 D20(6 2)米【答案】B【解析】由题意，设 ACx 米，则 BC(x40)米，在ABC 内，由余弦定理得，BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)2x210 000100 x，解得 x420(米)在ACH 中，AC420 米，CAH301545，CHA903060，由正弦定理CH
9、sinCAHACsinAHC，可得 CHACsinCAHsinAHC140 6(米)12地面上有两座塔 AB，CD，相距 120 米，一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的 2 倍，在两塔底连线的中点 O 处测得塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为()A50 米，100 米B40 米，90 米C40 米，50 米D30 米，40 米【答案】B【解析】设高塔高 H，矮塔高 h，在矮塔下望高塔仰角为，在 O 点望高塔仰角为.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍，所以在高塔下望矮塔仰角为2，即 tan H120，tan2 h120，根据倍角公式有 H1202 h1201h12
10、02.在塔底连线的中点 O测得两塔顶的仰角互为余角，所以在 O 点望矮塔仰角为2，即 tan H60，tan2 h60，根据诱导公式有H6060h.联立得 H90，h40，即两座塔的高度分别为 40 米，90 米13(一题两空)如图，在等腰直角ABC 中，C90，点 D，E 分别是 BC 的三等分点，则 tan _，tan _.【答案】13 311【解析】设等腰直角三角形的直角边为 a，点 D，E 分别是 BC 的三等分点，则 CDDEEB13a，所以 tan 13aa 13，tan()tan tan 1tan tan 23aa 23.因为 tan 13，所以 tan 31114(一题两空)(
11、2020 年厦门模拟)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，角 A的平分线AD交BC于D 点若AD2，a3，csin Acos C(2bc)cos Asin C，则 A_，ABC 的面积为_【答案】3 3 32 【解析】因为 csin Acos C(2bc)cos Asin C，所以由正弦定理得sin Csin Acos C(2sin Bsin C)cos Asin C又因为 A，B，C 为三角形内角，所以 sin C0，sin B0.所以 sin Acos C2sin Bcos Asin Ccos Asin B2sin Bcos Acos A12A3.由正弦定理可知 csin
12、 C bsin B asin A 3322 3，所以 c2 3sin C，b2 3sin B，BDsinBADADsin B，得 BD 1sin B.同理有 CD 1sin C，BCBDCD 1sin B 1sin C3，化简得 3sin2B6sin B6 34 0，所以 sinB6 32 或 sinB6 12 3(舍去)，解得B2，C6或B6，C2.所以b2 3c 3或b 3，c2 3.所以 SABC12ac3 32 或 SABC12ab3 32.综上，SABC3 32.15高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水如图所示，B，E，F 为山脚两侧共线的三点，在山顶 A 处测
13、得这三点的俯角分别为 30，60，45，计划沿直线 BF 开通穿山隧道，现已测得 BC，DE，EF 三段线段的长度分别为 3,1,2.(1)求线段 AE 的长度；(2)求隧道 CD 的长度解：(1)由已知得 EF2，F45，EAF604515.sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 2 314.在AEF 中，由正弦定理得 AEsinFEFsinEAF，即AEsin 452sin 15，解得 AE2()31.(2)由已知得BAE180306090.在 RtABE 中，BE2AE4()31，所以隧道长度 CDBEBCDE4 3.16要测量对岸两点 A，B 之
14、间的距离，选取相距 200 m 的 C，D 两点，并测得ADC105，BDC15，BCD120，ACD30，求 A，B 两点之间的距离解：在ACD 中，因为ACD30，ADC105，所以DAC45.由正弦定理得CDsin 45 ADsin 30，又 CD200，所以 AD100 2.在BCD 中，同理可得CBD45.由正弦定理得BDsin 120 CDsin 45，所以 BD100 6.在ABD 中，BDA1051590，由勾股定理得 AB AD2BD2200 2，即 A，B 两点间的距离为 200 2.C 级 创新突破17(2020 年山东)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如
15、图所示O为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC35，BHDG，EF12 cm，DE2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2.【答案】524 【解析】过 A 作 AMEF 交 DG 于点 M，交 BH 于点 P，过 O 作 ONDG 交 DG 于点 N，设 OBOAR.由已知可得 AM5，DM7，所以 MG5.所以AGM45.所以 OAAHR，OH 2R，MNOPAP 22 R.所以 ON
16、5 22 R，DN7 22R.又tanODC35，所以5 22 R7 22 R35，解得R2 2.所以扇形AOB面积S1135360(2 2)23，SAOH122 22 24.半圆孔的面积 S12122，所以阴影部分面积 SS1SAOHS524.18已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶各有一座发射塔 A，B，塔顶 A，B 的海拔高度分别为 AM100 m 和 BN200 m，一测量车在小山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100 3 m 后到达点 Q，在点 Q处测得发射塔顶 B 处的仰角为，且BQA，经测量 tan 2，求两发射塔顶 A，B 之间的距离【答案】解：在 RtAMP 中，APM30，AM100，所以 PM100 3.连接 QM，在PQM 中，QPM60，PQ100 3，故PQM 为等边三角形，则 QM100 3.在 RtAMQ 中，AQ AM2QM2200.在 RtBNQ 中，tan BNNQ200NQ2，所以 NQ100，BQ100 5，cos 55.在BQA 中，BA2BQ2AQ22BQAQcos(100 5)2，所以 BA100 5.所以两发射塔顶 A，B 之间的距离是 100 5 m.