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2021-2022学年数学北师大版必修五课件:第三章 1 不 等 关 系 .ppt

1、第三章 不等式 1 不等关系 必备知识自主学习 1.不等关系 在数学意义上,不等关系可以体现为以下几种:(1)_与_之间的不等关系.(2)_与_之间的不等关系.(3)_与_之间的不等关系.(4)一组_之间的不等关系.导思1.如何比较实数大小?2.不等式性质有哪些?常量 常量 变量 常量 函数 函数 变量【思考】表示不等关系的数学不等号有哪些?提示:表示不等关系的数学不等号有,0,那么_.(2)如果a-bb abbb,bcac;同加性:aba+cb+c;同乘性:ab,c0acbc;ab,c0acb+d;累乘性:对于同向不等式 acbd;不等式的乘方:ab0anbn(nN,且n2);不等式的开方:

2、ab0 (nN,且n2).abcd ab0cd0 nna b【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)对于实数a与b,a2+b22ab.()(2)对于实数a与b,若ab,则a2b2.()(3)对于实数a与b,若ab,则a3b3.()(4)若ab,则acbc.()(5)a2一定大于a.()提示:(1).对于实数a与b,(a-b)20,所以a2+b22ab.(2).对于实数a与b,若ab0,则a2b2;若a0b,则a2b2不一定成立.(3).对于实数a与b,若ab0,则a3b3;若a0b,则a30b3;若0ab,则0-a-b,(-a)3(-b)3,即-a3b3.综上所述,对于实数a

3、与b,若ab,则a3b3.(4).当c=0时,ac=bc;当c0时,acbc.(5).当0a1时,a2a.2.(2020上海高一检测)若a0b C.a2b2 D.a3b3【解析】选D.因为a0 ab3.(教材二次开发:例题改编)比较大小(用“”“0,知a+6a-1.答案:(2)由(a2-a)-(a-2)=a2-2a+2=(a-1)2+10,知a2-aa-2.答案:关键能力合作学习 类型一 用不等式表示不等关系(数学抽象)【题组训练】1.今天的天气预报说:明天早晨最低温度为9,白天的最高温度为16,那么明天白天的温度t满足的不等关系为 .2.如图,在一个面积为350m2的矩形地基上建造一个仓库,

4、四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍,上述不等关系可用W表示为 .3.某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的售价设为x元,用不等式表示销售的总收入不低于20万元为 .【解析】1.白天的温度介于最低温度与最高温度之间,故9t16.答案:9t16 2.仓库的长L=,所以 4W.答案:4W 35010W+10 35010W+10 35010W+10 3.售价为x元时的销量为,故销售总收入不低于20万元表示为 ()x20.答案:()x20 x2.580.20.1x2.580.20.1x2.580.2,0.1

5、【解题策略】(1)常见的文字语言与数学符号之间的转换 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号大于至多小于b0,cd0,e0,求证:四步内容理解 题意分式证明可借助不等式性质.思路 探求依据已知条件得出a-c与b-d的大小,从而得到 与 的大小,再利用e0得出结论.ee.acbd1ac1bd四步内容书写 表达因为cd-d0,又因为ab0,所以a+(-c)b+(-d)0,即a-cb-d0,所以0 .又因为e .题后 反思在利用不等式的性质,解决与不等式有关的问题时,经常 利用核心素养中的逻辑推理,通过对其条件与结论的分析,利用不等式的性质,探索论证的思路,选择合理的论证方 法予以证明.1a c1b

6、 dea ceb d【解题策略】利用不等式的性质证明不等式(1)不等式的性质是证明不等式的基础,对任意两个实数a,b,有a-b0ab;a-b=0a=b;a-b0ab,cd,则acbd B.若ab0,bc-ad0,则 C.若ab,cd,则a-db-c D.若ab,cd0,则 cd dc【解析】选C.若a0b,0cd,则ac0,bc-ad0,则 化简得 故B错;若cd,则-d-c,又ab,则a-db-c,故C对;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则 故D错.bcad 0,abcd 0,ababab=1,=1,=1,dcdc2.已知1a4,2b8.试求2a+3b与a-b的取值范围.【解析】因为1

7、a4,2b8,所以22a8,63b24,所以82a+3b32.因为2b8,所以-8-b-2.又因为1a4,所以1+(-8)a+(-b)4+(-2),即-7a-b0,b0,且ab,比较 与a+b的大 小.【思路导引】将 与a+b进行作差、化简,然后利用a0,b0,ab判断式 子的正负,即可得出大小关系.22ab+ba22ba+ab【解析】因为a0,b0,ab,所以(a-b)20,a+b0,ab0,所以 故 2233222bab+aa bababa+b+a+b=.ababab()()()()2aba+b 0ab()(),22ab+a+b.ba【变式探究】已知xR,比较x3-1与2x2-2x的大小.

8、【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),因为x2-x+1=所以当x1时,(x-1)(x2-x+1)0,即x3-12x2-2x;当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;当x1时,(x-1)(x2-x+1)0,即x3-10244(),角度2 作商法比较大小 【典例】若m2,则mm与2m的大小关系是 .【思路导引】比较mm与2m大小,如果作差,则不能再变形化简,可尝试作商再变形 化简,与1比较大小即可得出结论.【解析】因为 又m2,所以,所以 又2m0,故mm2m.答案:mm2

9、m mmmmm=22(),m 12,mm12(),【解题策略】比较大小的方法(1)作差法:比较两个代数式的大小,可以根据它们的差的符号进行判断,一方面注意题目本身提供的字母的取值范围,另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘,或通过配方转化为几个非负实数之和,然后判断正负.作差法的一般步骤:作差变形判号定论.(2)作商法:作商比较通常适用于两代数式同号的情形,然后比较它们的商与1的大小.作商法的一般步骤:作商变形与1比较大小定论.(3)单调性法:利用函数单调性比较大小,通常先构造一个函数,再利用单调性.提醒:在用“比较法”时,有时可先将原数或式变形后再作差或作商进行比较,若是选

10、择题还可用特殊值法比较大小.【题组训练】1.已知0a ,且M=,N=,则M,N的大小关系是 .【解析】因为0a0,1+b0,1-ab0,所以M-N=,即MN.答案:MN 11+1+a1+bab+1+a1+b1b1 a1 b22ab+=01+a1+b1+a1+b()()1b2.若ab0,比较aabb与abba的大小.【解析】=aa-bbb-a=()a-b,因为ab0,所以 1,a-b0,所以()a-b1,即 1,又因为ab0,所以aabbabba.abbaa ba bababababbaa ba b3.(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中xR.(2)设x,y,zR,比较5x2+y2+z2与

11、2xy+4x+2z-2的大小.【解析】(1)因为x6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1)0.所以当x=1时,x6+1=x4+x2;当x1时,x6+1x4+x2.综上所述,x6+1x4+x2,当且仅当x=1时取等号.(2)因为(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)20,所以5x2+y2+z22xy+4x+2z-2,当且仅当x=y=且z=1时取等号.12【补偿训练】(2020济南高一检测)已知aR,且

12、a1,比较a+2与 的大小.【解析】因为 恒成立,所以当a-10,即a1时(a+2);当a-10,即a1时,a+2 ;当a1时,a+2024()301a 30.1a 31a31a1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中,同一车道 上的车间距d不得小于100 m,用不等式表示为()A.v120或d100 B.C.v120 D.d100【解析】选B.最大限速与车距是同时的.课堂检测素养达标 v120d100 2.若实数a,b满足0a1,-1b1,则a+2b的取值范围是()A.(-2,3)B.(-3,2)C.(2,3)D.(-2,2)【解析】选A.因为-1b1,所以-2

13、2b2,又因为0a1,所以-2a+2bb0,cR,则下列不等式恒成立的是 ()A.acbc B.C.D.acbc【解析】选C.当c0时,不等式acbc不成立,A错误;故B错误C正确;当c0时,不等式acbc不 成立,D错误.b+1b0,a+1aaa+1aa+1()()b+1ba+1a4.某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持工厂正常生产,甲、乙两种材料总量至少需要120吨,则x,y应满足的不等关系是 .【解析】两种总量至少120吨,用不等式表示为x+y120.答案:x+y120 5.(2020德阳高一检测)已知x,yR,求证:x2+2y22xy+2y-1.【证明】x2+2y2-(

14、2xy+2y-1)=x2-2xy+y2+y2-2y+1=(x-y)2+(y-1)20,所以x2+2y22xy+2y-1成立.课时素养评价 十六 不 等 关 系【基础通关】(20分钟 35分)1.设xa0,则下列不等式一定成立的是()A.x2axaxa2 C.x2a2a2ax【解析】选B.因为x2-ax=x(x-a)0,所以x2ax.又ax-a2=a(x-a)0,所以axa2,所以x2axa2.【补偿训练】已知ab B.ab1 D.a2b2【解析】选D.由ab|a|,可知0|b|a|,由不等式的性质可知|b|2b2.1b1aab2.(2020九江高一检测)如果ab0,那么下列不等式成立的是()A

15、.B.abb2 C.-ab-a2 D.-【解析】选D.由于ab ,故A不正确.可得ab=2,b2=1,所以abb2,故B不正确.可得-ab=-2,-a2=-4,所以-ab-a2,故C不正确.对于D,由ab-b0,故-成立.1b1a1b1a1a121b1b1a1a1b3.(2020北京高一检测)若-1xy1,则x-y的取值范围为()A.-2,2 B.-2,0)C.(0,2 D.(-2,2)【解析】选B.因为-1xy1,所以-1-y1,所以-2x-y2,又因为xy,所以x-y0,所以-2x-y2时,x2与2x的大小关系为 .【解析】x2-2x=x(x-2),因为x2,故x(x-2)0,即x22x.

16、答案:x22x 5.对于实数a,b,c,有下列结论:若ab,则acbc2,则ab;若ababb2;若ab,则a0,bbc2知c0,所以c20,所以ab,故正确.a2ab,abb2,所以a2abb2.故正确.aba-b0,-0 0.因为a-b0,所以b-a0,所以abb,所以a0,bb,则()A.a2b2 B.1 D.【解析】选D.令a=1,b=-2,则a21,故B错误;令 a=2,b=,则a-bb,所以 正确.baab11()()22ba32ab11()()22x1()22.如果a0b且a+b0,那么以下不等式正确的个数是();a3bab3;a3ab2;a2b0b知不正确,正确;a3b-ab3

17、=ab(a+b)(a-b)0,故不正确;a2b-b3=b(a+b)(a-b)b+c,a+cbac B.bcda C.dbca D.cadb【解析】选A.因为a+b=c+d,a+db+c,所以a+d+(a+b)b+c+(c+d),即ac,所以bd.又a+cb,所以abac.4.(2020南昌高一检测)已知实数a,b满足1a-b2,2a+b4,则4a-2b的取 值范围是()A.3,12 B.(3,12)C.(5,10)D.5,10【解析】选D.设4a-2b=m(a-b)+n(a+b),所以 ,解得 ,因为1a-b2,2a+b4,所以33(a-b)6,所以53(a-b)+(a+b)10,即54a-2

18、b10.m3n1 4mn2mn 【误区警示】本题容易犯的错误是将条件式子中a,b范围求出,进而求4a-2b范围.5.已知c1,a=,b=,则正确的结论是()A.ab B.a1,显然 0,所以 ,即ab.1c 1cc 1c c1c cc 11cc 1cc 1 c 1ccc 1 11c 1ccc 1【光速解题】设函数f(x)=,则f(x)=为减函数,故f(c)f(c-1),即ab,下列不等式:a3b3;3a3b;lg alg b.其中恒成立的是 (填序号).2211ab【解析】a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)=(a-b)0;a=-1,b=-2时,=1,结论不成立;因为y=3x是增函数,a

19、b,所以3a3b;当a,b至少有一个是非正值时,lg alg b,显然不成立.答案:21a211=b422b3(a)b 24【补偿训练】已知a,bR,且ab0,则ab-a2 b2(填“”或“=”).【解析】因为ab-a2-b2=0,所以ab-a2b2.答案:22b3(a)b247.如果30 x36,2y6,则x-2y的取值范围为 .【解析】因为2y6,所以-12-2y-4,又因为30 x36,所以30-12x-2y36-4,即18x-2y0,所以乙 先到教室.答案:乙 sssasb2a2b2ab2sabsasb2s2ababab2()2abab2(ab)2ab(ab)三、解答题(每小题10分,

20、共20分)9.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说:“你们买团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.【解析】设该单位有职工n人(nN*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需 花y2元,则y1=x+x(n-1)=x+xn,y2=xn,所以y1-y2=x+xn-xn=x-xn=x .当n=5时,y1=y2;当n5时,y1y2;当0ny2.因此,当单位人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.34143445143

21、4451412014n(1)510.甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食,且两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购粮1 000 kg,乙每次购粮用去 1 000元钱,谁的购粮方式更合算?【解析】设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg,且ab.则甲采购员两次购 粮的平均单价为 元/kg,乙采购员两次购粮的平均单价为 元/kg.因为 ,又a+b0,ab,(a-b)20,所以 0,即 .所以乙采购员的购粮方式更合算.1 000(ab)ab2 1 00022 1 0002ab10001 000abab22ab2ab(ab)4ab(ab)2ab2(ab)2(ab)2

22、(ab)2(ab)ab2ab2ab【创新迁移】1.(2020北京高一检测)如图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时 段,单位时间进出路口A,B,C,的机动车辆数如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该 时段单位时间通过路段 ,的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路 段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则()A.x1x2x3 B.x1x3x2 C.x2x3x1 D.x3x2x1 CAABBC【解题指南】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系,即可比较出大小.【解析】选C.依题意,有x1=50+x3-55=x3-5,所以x1x3,同理,x2=30+x1-20=x1+10,所以x1x2,同理,x3=30+x2-35=x2-5,所以x3x2,所以x1x30,a1,t0,比较 logat与loga 的大小.12t12【解析】logat=loga ,因为 ,所以当t=1时,;当t0且t1时,.因为当a1时,y=logax是增函数,所以当t0且t1时,loga loga =logat.当t=1时,loga logat.12t2t1t2 t1(t1)t222t1t2t1t2t12t12t1122因为当0a0且t1时,loga 0且t1时,若a1,则loga logat,若0a1,则loga logat.t1122t12t12t1122t1122t1122

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