1、9.5 椭圆最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 1椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的 椭圆焦点焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若，则集合P为椭圆；(2)若，则集合P为线段；(3)若，则集合P为空集 acacac2椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点 P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点 P(x0，y0)在椭圆内x20a2y20b21.【
2、思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(5)y2a2x2b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆()(6)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相同()1(教材改编)椭圆x210m y2m21 的焦距为 4，则 m 等于()
3、A4 B8C4 或 8 D12【解析】当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.【答案】C 2(2015广东)已知椭圆x225y2m21(m0)的左焦点为 F1(4，0)，则 m()A2B3C4 D9【解析】利用椭圆的标准方程及性质求解 由左焦点为F1(4，0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.【答案】B【解析】PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c10616.【答案】16 3(教材改编)设 P 是椭圆x225y2161 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则PF1F2 的周长
4、为_4已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的两焦点为 F1，F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_【解析】设过左焦点 F1 的正三角形的边交椭圆于 A，则|AF1|c，|AF2|3c，有 2a(1 3)c，eca21 3 31.【答案】31题型一 椭圆的定义及标准方程【例1】(1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线D抛物线(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点 P(3，0)，则椭圆的方程为_(3)已知椭圆的中
5、心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)、P2(3，2)，则椭圆的方程为_【思维点拨】(1)主要考虑椭圆的定义(2)要分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况(3)可以用待定系数法求解【解析】(1)点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA|PN|，又 AM 是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆(2)若焦点在 x 轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)，椭圆过 P(3，0)，32a202b21，即 a3.又 2a32b，b1，方程为x29y21.若焦点在 y 轴上，设方程为y2a2x2b21(ab0)椭圆过点 P(3，0)02a
6、232b21，即 b3.又 2a32b，a9，方程为y281x291.所求椭圆的方程为x29y21 或y281x291.(3)设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0 且 mn)椭圆经过点 P1、P2，点 P1、P2 的坐标适合椭圆方程 则6mn1，3m2n1，、两式联立，解得m19，n13.所求椭圆方程为x29y231.【答案】(1)B(2)x29y21 或y281x291(3)x29y231【思维升华】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数 法，利 用 椭 圆 的 定 义 定 形 状 时，一 定 要 注 意 常 数2a|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过
7、程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式 跟踪训练 1(1)过点(3，5)，且与椭圆y225x291 有相同焦点的椭圆的标准方程为_(2)(2014安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0bb0)c216，且 c2a2b2，故 a2b216.又点(3，5)在所求椭圆上，（5）2a2（3）2b21，即 5a2 3b21.由得 b24，a220，所求椭圆的标准方程为y220 x241.(2)设点 B 的坐标为(x0，y0)x2y2
8、b21，F1(1b2，0)，F2(1b2，0)AF2x 轴，A(1b2，b2)|AF1|3|F1B|，AF1 3F1B，(2 1b2，b2)3(x0 1b2，y0)x053 1b2，y0b23.点 B 的坐标为53 1b2，b23.将 B53 1b2，b23 代入 x2y2b21，得 b223.椭圆 E 的方程为 x232y21.【答案】(1)y220 x241(2)x232y21题型二 椭圆的几何性质【例 2】(2014江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，顶点 B 的坐标为(0，b)，连接 BF2 并延长交椭圆于点 A，过
9、点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C.(1)若点 C 的坐标为43，13，且 BF2 2，求椭圆的方程；(2)若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值【思维点拨】(1)根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出 a、b 的值(2)求出 C 的坐标，利用 F1CAB 建立斜率之间的关系，解方程即可求出 e 的值【解析】设椭圆的焦距为 2c，则 F1(c，0)，F2(c，0)(1)因为 B(0，b)，所以 BF2 b2c2a.又 BF2 2，故 a 2.因为点 C43，13 在椭圆上，所以169a219b21，解得 b21.故所求椭圆的方程为x22y21.(2)因为 B(0，b)，F2
10、(c，0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为xcyb1.解方程组xcyb1，x2a2y2b21，得x1 2a2ca2c2，y1b（c2a2）a2c2，x20，y2b.所以点 A 的坐标为2a2ca2c2，b（c2a2）a2c2.又 AC 垂直于 x 轴，由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为2a2ca2c2，b（a2c2）a2c2.因为直线 F1C 的斜率为b（a2c2）a2c202a2ca2c2（c）b（a2c2）3a2cc3，直线 AB 的斜率为bc，且 F1CAB，所以b（a2c2）3a2cc3 bc 1.又 b2a2c2，整理得 a25c2.故 e215，因此 e 55.【思维升
11、华】求椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a、c来求解e，通过已知条件列方程组，解出a、c的值(2)构造a、c的齐次式，解出e，由已知条件得出a、c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率 跟踪训练 2(2016河北唐山一模)已知圆 O：x2y24，点 A(3，0)，以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O，记点 B 的轨迹为.(1)求曲线 的方程；(2)直线 AB 交圆 O 于 C，D 两点，当 B 为 CD 的中点时，求直线 AB 的方程【解析】(1)设 AB 的中点为 M，切点为 N，连接 OM，MN，则|OM|MN|ON|2，取 A 关于
12、 y 轴的对称点 A，连接 AB，故|AB|AB|2(|OM|MN|)4.所以点 B 的轨迹是以 A，A 为焦点，4 为长轴长的椭圆 其中，a2，c 3，b1，则曲线 的方程为x24y21.(2)因为 B 为 CD 的中点，所以 OBCD，则OB AB.设 B(x0，y0)，则 x0(x0 3)y200.又x204y201，解得 x0 23，y0 23.则 kOB 22，所以 kAB 2，则直线 AB 的方程为 2xy 60 或 2xy 60.题型三 直线与椭圆位置关系的相关问题【例 3】(2015天津)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的上顶点为 B，左焦点为 F，离心率为 55.(1)求
13、直线 BF 的斜率；(2)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B)，过点 B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B)，直线 PQ 与 y 轴交于点M，|PM|MQ|.求 的值；若|PM|sinBQP7 59，求椭圆的方程【思维点拨】(1)利用方程思想先求解a，b，c的关系，再进一步求解直线的斜率(2)先联立直线与椭圆方程求得点P的横坐标，再进一步借助点Q的横坐标求解字母的值在此基础上，结合上一问的结果求解椭圆的方程【解析】(1)设 F(c，0)由已知离心率ca 55 及 a2b2c2，可得 a 5c，b2c.又因为 B(0，b)，F(c，0)，所以直线 BF 的斜率 k
14、b00（c）2cc 2.(2)设点 P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)由(1)可得椭圆的方程为 x25c2 y24c21，直线 BF 的方程为 y2x2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去 y，整理得 3x25cx0，解得 xP5c3.因为 BQBP，所以直线 BQ 的方程为 y12x2c，与椭圆方程联立，消去 y，整理得 21x240cx0，解得 xQ40c21.又因为|PM|MQ|及 xM0，可得|xMxP|xQxM|xP|xQ|78.由有|PM|MQ|78，所以|PM|PM|MQ|778 715，即|PQ|157|PM|.又因为|PM|sinBQP7 59，所以|BP|P
15、Q|sinBQP157|PM|sinBQP5 53.又因为 yP2xP2c43c，所以|BP|05c322c4c325 53 c，因此5 53 c5 53，得 c1.所以椭圆的方程为x25y241.【思维升华】(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|（1k2）（x1x2）24x1x2 11k2（y1y2）24y1y2(k 为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长
16、是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式跟踪训练 3(2014课标全国)设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.【解析】(1)根据 c a2b2及题设知 Mc，b2a，b2a2c34，2b23ac.将 b2a2c2 代入 2b23ac，解得ca12，ca2(舍去)故 C 的离心率为12.(2)由题意，得原点 O 为 F1F2 的中点，MF2
17、y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0，2)是线段 MF1 的中点，故b2a 4，即 b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y1b0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_(2)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点 P 使asinPF1F2csinPF2F1，则椭圆的离心率的取值范围为_【思维点拨】(1)利用点差法得出关于 a，b 的方程(2)由正弦定理将已知等式转化为|PF1|、|PF2|的等量关系【解析】(1)设 A(x1
18、，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，（x1x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca 22.(2)依题意及正弦定理，得|PF2|PF1|ac(注意到 P 不与 F1F2 共线)，即|PF2|2a|PF2|ac，2a|PF2|1ca，2a|PF2|ca1 2aac，即 e1 21e，(e1)22.又 0e1，因此 21e0，n0，且 mn)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为 Ax2By21(A0，B0，且 AB)，这种形式在解题中更简便3讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得 a，c 的值，直接代入公式 eca求得；(2)列出关于 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据 b2a2c2，消去 b，转化成关于 e 的方程(或不等式)求解失误与防范1判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小2注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2y2b21(ab0)上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因