1、高二下学期尖子生竞赛考试数学（文）试题第卷（选择题 共60分）一 选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2. 若，则z的共轭复数的虚部为（ ）A .i B.-i C.1 D.-13.已知向量和的夹角为1200，则（ ）A. B. C. 4 D.4.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（ ）A. B.2 C. D.35.设等差数列的前n项和为，若，则( )A. 9 B. C.2 D.6.已知函数满足，其图像与直线y=0的某两个交点的横坐标分别为、,的最小值为，则（ ）A . B.
2、 C. D.8.已知O为坐标原点，点A（1,0），若点M（x,y）为平面区域内的一个动点，则的最小值为( )A.9 B. C. D.9.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为（ ）A18 B.36 C.9 D.10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时（m为常数）,则的值为（ ）A. B.6 C.4 D.11、斜率为2的直线L经过抛物线的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（ ）A.1 B. C. D.12.若定义在R上的函数f(x)满足：f(4)= ，且对任意满足，则不等式的解集为（ ）A B. C. D.第卷（非选择题 共9
3、0分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上）13.已知为第二象限角，,则=_15.已知圆C的圆心与点M（1，）关于直线对称，并且圆C与相切，则圆C的方程为_16.已知ABC中，ABC=600，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为_三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分） 设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求角A的大小 （2）若，求ABC的周长L的取值范围。18.（本小题满分12分）某县为增强市民的环境保护意识，面向全县征召义务宣传
4、志愿者，先从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组第2组第3组第4组第5组得到的频率分布直方图如图所示,()分别求第3，4，5组的频率。（）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者。（）在（）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率。3520025304045年龄0.010.020.040.060.07频率组距19. （本小题满分12分）已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AD=A A1，点F为棱BB1的中点，点M为线段A
5、C1的中点。（1） 求证： MF平面ABCD（2） 求证：平面AFC1平面ACC1A1D1A111ABCDB1 C1FM 20. （本小题满分12分）已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m,0）()倾斜角为的直线L交椭圆与C、D两点。（1）求椭圆的方程（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围。21. （本小题满分12分）已知是实数，函数（1）若，求的值及曲线在点处的切线方程。（2）求在上的最大值。请考生在第2224三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10分）NPABCMO如图O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM
6、的延长线交O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P（）求证：（）若O的半径为，OA=OM,求MN的长23. （本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t是参数）（）将曲线C的极坐标方程和直线L参数方程转化为普通方程（）若直线L与曲线C相交于M、N两点，且，求实数m的值24. （本小题满分10分）设全集（1）解关于x的不等式20132014学年度下学期省五校高二尖子生竞赛数学试题答案（文科）三解答题17.解：（） （2分） （4分） （ 6分） ，由正弦定理得 （8分） （10分） 即 ABC的周长L的取值
7、范围为 （12分）18.解：（）由题设可知，第3组的频率为，第4组的频率为，第5组的频率为. （3分）（）第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为。因为第3,4,5组共有60名志愿者，若利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，则每组抽取的人数分别为：第3组为，第4组为，第5组为.所以应从第3,4,5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者。 （6分）（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的一名志愿者为C。其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被抽中的可能情况有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1）
8、，（A3，B2），（B1，B2），（B1，C）（B2，C），共9种。 （10分）所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 （12分）19.（）延长C1F交CB的延长线于点N，连接ANF是BB1的中点，F为C!N的中点，B为CN的中点，又因为M为线段AC！的中点，MFAN，又平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD。 （6分）（2）连接BD，由题知平面AB-CD，又平面ABCD，.四边形ABCD为菱形，.又,平面,平面,平面.在四边形DANB中，DABN,且DA=BN,，四边形DANB为平行四边形，BD，平面。又平面，平面平面。 （12分）20.（）圆经过点F、B，故椭圆的方程为 （4分）（）设
9、直线L的方程为由消去得由解得。又 （6分）设则 （8分） （10分）点F在圆E内部，即解得0m3m的取值范围是. （12分）21.解：（），因为 （2分） 又当时所以曲线在处的切线方程为 （4分）（）令，解得，当即时，在上单调递增，从而。（6分）当即时，在上单调递减，从而（8分）22.解：（）连结ON，则ONPN，且OBN为等腰三角形，则OBN=ONB，PMN=OMB=900-OBN，PNM=900-ONBPMN=PNM, PM=PN (3分)由条件，根据切割线定理，有所以 （5分）（）OM=2，在RtBOM中，延长BO交O于点D，连接DN由条件易知BOMBND，于是即，得BN=6 （8分）所以MN=BN-BM=6-4=2 （10分）23.解：（）曲线C的普通方程为 （2分） 直线L的普通方程为x-y-m=0 (4分)（）因为曲线C： （6分） 所以，圆心到直线的距离是 （8分）所以m=0或m=4 (10分)24解：（） 当即时，原不等式的解集为R （2分） 当即时，或 或此时原不等式的解集为 （5分）（）（6分）恰有3个元素， （7分）恰有3个元素或或 （9分）