1、2016-2017学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1集合A=xN+|1x4，B=x|x24，则AB=（）A0，1，2B1，2C1，2，3D0，1，2，32设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A若m，=n，则 mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若m，n，则mn3若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A4B4CD4在空间直角坐标系Oxyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则
2、二面角COAB的大小为（）A30B45C60D905已知倾斜角60为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y4=0，则直线l的方程为（）A xy+2=0B x+y+2=0C xy+2=0D xy+2=06已知函数f（x）=，若a=f（log3），b=f（2），c=f（3），则（）AcbaBcabCacbDabc7如果实数x，y满足（x2）2+y2=2，则的范围是（）A（1，1）B1，1C（，1）（1，+）D（，11，+）8已知函数f（x）=（aA），若f（x）在区间（0，1上是减函数，则集合A可以是（）A（，0）B1，2）C（1，5D4，69圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三
3、视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4+8B8+16C16+16D16+4810由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A1125B3375C450D90011设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4x），且对任意x1，x2（0，+），都有（x1x2）f（x1+2）f（x2+2）0，则满足f（2x）=f（）的所有x的和为（）A3B5C8D812已知点P（t，t1），tR，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|PE|的最大值为（）A
4、2BC3D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13满足42x1（）x4的实数x的取值范围为14已知直线l1：ax+4y1=0，l2：x+ay=0，若l1l2，则实数a=15若函数f（x）=，则f（）+f（）+f（1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）=16方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17在平面直角坐标系中，ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，3），C（2，1）（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求DBC的面积18已知函数f（x）=+（1）求f
5、（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为1.5，当xA时，求函数g（x）的值域19在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点（1）求证：DE平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值20已知f（x）=3x+m3x为奇函数（1）求函数g（x）=f（x）的零点；（2）若对任意tR的都有f（t2+a2a）+f（1+2at）0恒成立，求实数a的取值范围21在四棱锥PABCD中，ABC为正三角形，ABAD，ACCD，PA平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45（
6、1）若E为PC的中点，求证：PD平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离22已知圆心在直线x+y1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x4y+5=0相切，其半径小于5（1）若C2圆与圆C1关于直线xy=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程2016-2017学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1集合A=xN+|1x4，B=x|x24，则AB=（）A0，1
7、，2B1，2C1，2，3D0，1，2，3【考点】交集及其运算【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出运算结果即可【解答】解：集合A=xN+|1x4=0，1，2，3，B=x|x24=x|2x2，则AB=0，1，2故选：A2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A若m，=n，则 mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若m，n，则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若m，=n，则m与n平行或异面，故A错误；若m，mn，则n与关系不确定，故B错误；根据线面垂直的性质定理，可得C正确；若m，n，则m与n关系不确
8、定，故D错误故选C3若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A4B4CD【考点】两条直线的交点坐标【分析】联立y=3x，x+y=4，解得（x，y），由于三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，把点代入ax+y+1=0，即可解得a的值【解答】解：联立y=3x，x+y=4，解得，三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，把点（1，3）代入ax+y+1=0，可得a+3+1=0，解得a=4故选：B4在空间直角坐标系Oxyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角COAB的大小为（）A30B
9、45C60D90【考点】二面角的平面角及求法【分析】设C在平面xoy上的射影为D，则可得OA平面ACD，故CAD为所求二面角的平面角【解答】解：设C在平面xoy上的射影为D（2，2，0），连接AD，CD，BD，则CD=2，AD=OA=2，四边形OBDA是正方形，OA平面ACD，CAD为二面角COAB的平面角，tanCAD=，CAD=60故选C5已知倾斜角60为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y4=0，则直线l的方程为（）A xy+2=0B x+y+2=0C xy+2=0D xy+2=0【考点】直线与圆的位置关系【分析】倾斜角60的直线方程，设为y=x+b，利用直线平分圆的方程，求出结果即可
10、【解答】解：倾斜角60的直线方程，设为y=x+b圆：x2+y2+2x+4y4=0化为（x+1）2+（y+2）2=9，圆心坐标（1，2）因为直线平分圆，圆心在直线y=x+b上，所以2=+b，解得b=2，故所求直线方程为xy+2=0故选C6已知函数f（x）=，若a=f（log3），b=f（2），c=f（3），则（）AcbaBcabCacbDabc【考点】分段函数的应用【分析】由分段函数运用对数函数的单调性求出a1，运用指数函数的单调性，判断0cb1，进而得到a，b，c的大小【解答】解：函数f（x）=，则a=f（log3）=1log3=1+log321，b=f（2）=f（）=2（0，1），c=f（3
11、）=2（0，1），由y=2x在R上递增，可得22，则cba，故选：D7如果实数x，y满足（x2）2+y2=2，则的范围是（）A（1，1）B1，1C（，1）（1，+）D（，11，+）【考点】直线与圆的位置关系【分析】设=k，求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围，由数形结合法，易得答案【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率所以求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角EOC的正切值易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=，于是可得到k=1，即
12、为的最大值同理，的最小值为1，故选B8已知函数f（x）=（aA），若f（x）在区间（0，1上是减函数，则集合A可以是（）A（，0）B1，2）C（1，5D4，6【考点】函数单调性的性质【分析】根据f（x）在区间（0，1上是减函数，对a进行讨论，依次考查各选项即可得结论【解答】解：由题意，f（x）在区间（0，1上是减函数函数f（x）=（aA），当a=0时，函数f（x）不存在单调性性，故排除C当a0时，函数y=在（0，1上是增函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1上是减函数，故A对当1a2时，函数y=在（0，1上是减函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1上是增函数，故B不对当4a6时
13、，函数y=在（0，1上可能没有意义故D不对故选A9圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4+8B8+16C16+16D16+48【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，分别计算体积可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为： =8，四棱锥的底面面积为：44=16，高为3，故体积为：16，故组合体的体积V=8+16，故选：B10由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，
14、ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A1125B3375C450D900【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】该几何体是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD是正方形，边长为15，从而求出该几何体的外接球的半径R=，由此能求出该几何体的外接球的体积【解答】解：该几何体的直观图如图所示，这个是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD是正方形，边长为15，BO=，EO=，该几何体的外接球的半径R=，该几何体的外接球的体积：V=1125故选：A11设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4x），且对任意x1，x2（0，+），都有（x1x2）f（x1+
15、2）f（x2+2）0，则满足f（2x）=f（）的所有x的和为（）A3B5C8D8【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】确定f（x）在（2，+）上递增，函数关于x=2对称，利用f（2x）=f（），可得2x=，或2x+=4，即x2+5x+3=0或x2+3x3=0，利用韦达定理，即可得出结论【解答】解：对任意x1，x2（0，+），都有（x1x2）f（x1+2）f（x2+2）0，f（x）在（2，+）上递增，又f（x）=f（4x），f（2x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，f（2x）=f（），2x=，或2x+=4，x2+5x+3=0或x2+3x3=0，满足f（2x）=f（）的所有x的和为8，故选
16、C12已知点P（t，t1），tR，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|PE|的最大值为（）A2BC3D4【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】由题意，P在直线y=x1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，1），由此可得|PF|PE|的最大值【解答】解：由题意，P在直线y=x1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，1），F（3，1），|PF|PE|的最大值为|AF|=4，故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13满足42x1（）x4的实数x的取值范围为（2，+）【考点】指、对数不等式的解法【分析】根据
17、指数函数的定义和性质，把不等式化为2（2x1）x+4，求出解集即可【解答】解：不等式42x1（）x4可化为22（2x1）2x+4，即2（2x1）x+4，解得x2，所以实数x的取值范围是（2，+）故选：（2，+）14已知直线l1：ax+4y1=0，l2：x+ay=0，若l1l2，则实数a=2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】利用直线平行的性质求解【解答】解：直线l1：ax+4y1=0，l2：x+ay=0，解得a=2（a=2时，两条直线重合，舍去）故答案为：215若函数f（x）=，则f（）+f（）+f（1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）=7【考点】函数的值【分析】先求出f（x）
18、+f（x）=2，由此能求出f（）+f（）+f（1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）的值【解答】解：函数f（x）=，f（x）+f（x）=+=+=2，f（）+f（）+f（1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）=23+=7故答案为：716方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为0，）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，结合图象可得结论【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，
19、方程=ax+a有两个不相等的实数根，实数a的取值范围为0，）故答案为0，）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17在平面直角坐标系中，ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，3），C（2，1）（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求DBC的面积【考点】点到直线的距离公式【分析】（1）kBC=，可得BC边上的高所在的直线的斜率为利用点斜式可得BC边上的高所在的直线方程（2）BC边所在的直线方程为：y+3=（x1），化为：4x+3y+5=0可得AC的中点D利用点D到直线BC的距离d又|BC|，可得SDBC=【解答】解：（1）kBC=
20、，BC边上的高所在的直线的斜率为则BC边上的高所在的直线方程为：y4=（x2），化为：3x4y+10=0（2）BC边所在的直线方程为：y+3=（x1），化为：4x+3y+5=0D是AC的中点，D点D到直线BC的距离d=又|BC|=5，SDBC=18已知函数f（x）=+（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为1.5，当xA时，求函数g（x）的值域【考点】二次函数的性质；函数的定义域及其求法；函数零点的判定定理【分析】（1）利用函数有意义，列出不等式组求解即可（2）利用函数的零点求出a，通过函数的对称轴，求解函数的值域即可【解答】解：（1）要使函数有意义，必须：，解
21、得1x3，函数的定义域为：1，3（2）函数g（x）=x2+ax+b的零点为1，5，可得a=（1+5）=4，b=15=5，g（x）=x24x5=（x2）29，当xA时，即x1，3时，x=2函数取得最小值：y=9，x=1或3时，函数取得最大值：8函数g（x）的值域9，819在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点（1）求证：DE平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）取AB中点N，连结EN，DN，则DNAC，从而DN
22、平面ACC1A1，再求出EN平面ACC1A1，从而平面DEN平面ACC1A1，由此能证明DE平面ACC1A1（2）作DPAB于P，推导出DEP是直线DE与直线A1M所成角，由此能求出直线DE与直线A1M所成角的正切值【解答】证明：（1）取AB中点N，连结EN，DN，在ABC中，N为AB中点，D为BC中点，DNAC，DN平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，DN平面ACC1A1，在矩形ABB1A1中，N为AB中点，E为A1B1中点，EN平面ACC1A1，又DN平面DEN，EN平面DEN，DNEN=N，平面DEN平面ACC1A1，DE平面DEN，DE平面ACC1A1解：（2）作DPAB于P，直三
23、棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均相等，D为BC的中点，DP平面ABB1A1的所有棱长相等，D为BC的中点，DP平面ABB1A1，且PB=AB，又AM=AB，MP=AB，A1E=EP，A1M=EP，DEP是直线DE与直线A1M所成角，由DP平面ABB1A1，EP平面ABB1A1，得DPEP，设直线三棱柱ABCA1B1C1的棱长为a，则在RtDPE中，DP=，EP=A1M=a，tanDEP=直线DE与直线A1M所成角的正切值为20已知f（x）=3x+m3x为奇函数（1）求函数g（x）=f（x）的零点；（2）若对任意tR的都有f（t2+a2a）+f（1+2at）0恒成立，求实数a的取值范围【考点】
24、函数恒成立问题【分析】（1）根据函数的奇偶性得到f（0）=0，求出m的值，从而求出f（x）的解析式，令g（x）=0，求出函数的零点即可；（2）根据函数的奇偶性和单调性，问题转化为t2+2at+a2a+10对任意tR恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可【解答】解：（1）f（x）是奇函数，f（0）=0，解得：m=1，f（x）=3x3x，令g（x）=0，即3x3x=0，令t=3x，则t=0，即3t28t3=0，解得：t=3或t=，t=3x0，t=3即x=1，函数g（x）的零点是1；（2）对任意tR的都有f（t2+a2a）+f（1+2at）0恒成立，f（t2+a2a）f（1+2at）对任意tR恒
25、成立，f（x）在R是奇函数也是增函数，f（t2+a2a）f（12at）对任意tR恒成立，即t2+a2a12at对任意tR恒成立，即t2+2at+a2a+10对任意tR恒成立，=（2a）24（a2a+1）0，a1，实数a的范围是（，121在四棱锥PABCD中，ABC为正三角形，ABAD，ACCD，PA平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45（1）若E为PC的中点，求证：PD平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可得CD平面PAC，CDAE利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：A
26、E平面PCD，可得AEPD利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得ABPD，进而证明结论（2）设点B的平面PCD的距离为d，利用VBPCD=VPBCD即可得出【解答】（1）证明：PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACDACCD，PAAC=A，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAEPC与平面ABCD所成角为45AC=PA，E是PC的中点，AEPC，又PCCD=C，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，平面PAD平面ABCD，又ABAD，由面面垂直的性质定理可得BA平面PAD，ABPD，又ABAE=A，PD平面ABE（2）解：CD=，可得AC=3，PA平面ABC
27、D，PAAC，PC=3，由（1）的证明知，CD平面PAC，CDPC，ABAD，ABC为正三角形，CAD=30，ACCD，CD=ACtan30=设点B的平面PCD的距离为d，则VBPCD=3d=d在BCD中，BCD=150，SBCD=3sin150=VPBCD=3=，VBPCD=VPBCD，d=，解得d=，即点B到平面PCD的距离为22已知圆心在直线x+y1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x4y+5=0相切，其半径小于5（1）若C2圆与圆C1关于直线xy=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD
28、的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）利用过点A（2，2）的圆C1与直线3x4y+5=0相切， =，求出圆心与半径，可得圆C1的方程，利用C2圆与圆C1关于直线xy=0对称，即可求圆C2的方程；（2）求出四边形PCC2D面积最小值，可得以PC2为直径的圆的方程，即可求直线CD的方程【解答】解：（1）由题意，设C1（a，1a），则过点A（2，2）的圆C1与直线3x4y+5=0相切，=，（a2）（a62）=0半径小于5，a=2，此时圆C1的方程为（x2）2+（y+1）2=9，C2圆与圆C1关于直线xy=0对称，圆C2的方程为（x+1）2+（y2）2=9；（2）设P（a，2a6），圆C2的半径r=2，四边形PCC2D面积S=2=3|PD|，|PD|=，a=3时，|PD|min=，此时面积最小为3，P（3，0）C，D在以PC2为直径的圆上，方程为（x1）2+（y1）2=5，圆C2的方程为（x+1）2+（y2）2=9，两个方程相减，可得CD的方程为4x2y1=02017年3月3日