1、(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)下列各命题中为真命题的是()AxR，x0B如果x5，则x2CxR，x21 DxR，x210解析：选D.A中，若x取负数，x0不成立，故A错；B中，若取x45，x2不成立，故B错；C中，xR，x20，故C错；D中，xR，x20，故x210成立“a1”是“函数f(x)x22ax3在区间1，)上递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.函数f(x)x22ax3的对称轴为直线xa，若函数在区间1，)上递增，则a1，所以“a1”是“函数f(
2、x)x22ax3在区间1，)上递增”的充分不必要条件已知命题p：x(，0)，2xsinx，则下列命题为真命题的是()Apq Bp(q)Cp(q) D(p)q解析：选D.因为当x(，0)时，2x3x，所以命题p为假命题，命题q为真命题，所以p为真命题，所以(p)q为真命题以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D.双曲线1即1的焦点为(0，4)，顶点为(0，2)所以对椭圆1(ab0)而言，a216，c212.b24，因此方程为1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A. B.C. D.解析：选D.渐近线方程为：y
3、x，又a2b2c2，e.故选D.已知椭圆1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A椭圆 B圆C双曲线的一支 D线段解析：选A.P为MF1的中点，O为F1F2的中点，|OP|MF2|，又|MF1|MF2|2a，|PF1|PO|MF1|MF2|a.P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆下列四个命题：“若x2y20，则实数x，y均为0”的逆命题；“相似三角形的面积相等”的否命题；“ABA，则AB”的逆否命题；“末位数不是0的数能被3整除”的逆否命题其中真命题为()A BC D解析：选C.的逆命题为“若实数x、y均为0，则x2y20”，是正确的；“ABA，则AB”
4、是正确的，它的逆否命题也正确抛物线y24x的焦点为F，点M是准线l上的点，且|MF|4(如图)，则线段MF与抛物线的交点的横坐标为()A3 B.C. D.解析：选B.易得MFO60，那么直线MF的方程为y(x1)，代入y24x得3x210x30，则x，或x3(由题图舍去)正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CC1的中点，则AE、BF所成角的余弦值是()A B.C. D.解析：选B.取DD1的中点H，连接AH，设正方体的棱长为2，则在AEH中，AHAE，HE2，所以cosEAH.已知点M是抛物线yx2上一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x1)2(y4)21上，则|MA|MF|
5、的最小值为()A2 B3C4 D5解析：选C.由题意可知，焦点坐标为F(0，1)，准线方程为l：y1.过点M作MHl于点H，由抛物线的定义，得|MF|MH|.|MA|MF|MH|MA|，当C、M、H、A四点共线时，|MA|MC|1，|MH|MC|有最小值，于是，|MA|MF|的最小值为4(1)14.故选C.在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选D.OP平面ABC，OAOC，ABBC，OAOB，OAOP，OBOP.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设ABa，
6、则A，B，C.设OPh，则P(0，0，h)，PA2a，haa.可以求得平面PBC的法向量n，cos，n.设OD与平面PBC所成的角为，则sin|cos，n|.设F1，F2是双曲线x24y24a(a0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：0，|2，则a的值为()A2 B.C1 D.解析：选C.双曲线方程化为1(a0)，0，PF1PF2.|2|24c220a，由双曲线定义|4，又|2，由得：20a2216a，a1.二、填空题(本大题共4小题把答案填在题中横线上)条件甲：“k”；条件乙：“kx22x6k0对xR恒成立”，则要使甲是乙的充要条件，命题甲的条件中需删除的一部分是_解析：当k0时，kx22
7、x6k2x，不满足题意，当k0时，若kx22x6k0对xR恒成立，则需满足解得k.答案：k已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦如果PF2Q90，则双曲线的离心率是_解析：由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，即2c，2，即10.e22e10，解得e1或e1(舍去)答案：1设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60，则|为_解析：根据题意知A点为直线y与抛物线y22px的两个交点中横坐标较大的那个，联立方程组求出x1p，x2p，故点A坐标为，则|p.答案：p在棱长为1的正
8、方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_解析：建系如图，则M(1，1)，N(1，1，)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，(0，1)，(1，0，)cos，.即直线AM与CN所成角的余弦值为.答案：三、解答题(本大题共6小题解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)已知p：方程1表示双曲线，q：过点M(2，1)的直线与椭圆1恒有公共点，若pq为真命题，求k的取值范围解：由p得：(k4)(k6)0，4k5.又pq为真命题，则5k0)，若q是p的必要而不充分条件，求实数m的取值范围解：由p得3x9，由q得m1xm1，q是p的必要
9、而不充分条件，得m8.又因为m8时命题成立实数m的取值范围是m8.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为DD1、BD、BB1的中点(1)求证：EF平面AB1C；(2)求EF与CG所成的角的余弦值解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(0，0，1)，F(1，1，0)，G(2，2，1)(1)证明：(1，1，1)，(2，2，0)，(0，2，2)，0，EFAC，0，EFAB1，又ACAB1A，EF平面AB1C.(2)(2，0，1)，cos，所以EF与CG所成的角的余弦值为.已知抛物线C：y2ax的焦点与双曲线1
10、的右焦点重合(1)求抛物线C的方程；(2)过点A(2，0)作倾斜角为的直线，与抛物线C交于M、N两点，判断MON是否为直角若MON为直角，请给出证明；若不是直角，请说明理由解：(1)双曲线1的右焦点为(2，0)，可知抛物线的焦点为(2，0)，故2，a8.抛物线C的方程为y28x.(2)依题意，直线的斜率为tan1，直线方程为yx2，联立方程，消去y得x212x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则可知x1x212，x1x24.又x1x2y1y2x1x2(x12)(x22)2x1x22(x1x2)412，0，OMON不成立，即MON不是直角如图，正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，M
11、是CE和AD的交点，且ACBC，ACBC.(1)求证：AM平面EBC；(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；(3)求锐二面角ABEC的大小解：依题可知，CA，CB，CD两两垂直，故可建立如图空间直角坐标系Cxyz，设正方形边长为1，则ACBC1.C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，0，1)，E(1，0，1)，M.(1)证明：，(0，1，0)，(1，0，1)，0，0，AMCB，AMCE且CBCEC，AM平面EBC.(2)由(1)知为平面EBC的一个法向量，(1，1，0)，设所求角大小为，则sin|cos，|，直线AB与平面EBC所成的角的大小为30.(3)设m(x，
12、y，z)为平面AEB的一个法向量，则取m(1，1，0)，则|cos，m|，所以锐二面角ABEC的大小为60.已知椭圆1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：ykxm交椭圆于不同的两点A，B.(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意得解得c.由a2b2c2，得b1.所求椭圆方程为y21.(2)由已知，可得m2(k21)将ykxm代入椭圆方程，整理得(13k2)x26kmx3m230.(6km)24(13k2)(3m23)0，(*)x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)3334(k0)当且仅当9k2，即k时等号成立，此时|AB|2.经检验，k满足(*)式当k0时，|AB|.综上可知|AB|max2，当|AB|最大时，AOB的面积取最大值S2.