1、第六节定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.(2)了解微积分基本定理的含义.1.定积分的定义如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式i=1nf(i)x=i=1nb-anf(i),当n时,上述和式无限接近某个常数,那么这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作ab f(x)dx,即ab f(x)dx=limni=1nb-anf(i).这里,a和b分别叫做积分下限和积分上限,区间a,b叫做积分区间,函数f(x)
2、叫做被积函数,x叫做积分变量, f(x)dx叫做被积式.2.定积分的运算性质(1)ab kf(x)dx=kab f(x)dx(k是不为0的常数).(2)ab f1(x)f2(x)dx=ab f1(x)dxab f2(x)dx.(3)ab f(x)dx=ac f(x)dx+cb f(x)dx(acb).3.微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么ab f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.可以把F(b)-F(a)记为F(x)ab,即ab f(x)dx=F(x)ab=F(b)-F(a).4.常见被积函
3、数的原函数(1)ab cdx=cxab;(2)ab xndx=xn+1n+1ab(n-1);(3)ab sin xdx=-cos xab;(4)ab cos xdx=sin xab;(5)ab 1|x|dx=ln|x|ab;(6)ab exdx=exab.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)定积分一定是曲边梯形的面积.()(2)若f(x)是偶函数,在闭区间-a,a上连续,则-aaf(x)dx=20a f(x)dx.()(3)若f(x)是奇函数,在闭区间-a,a上连续,则-aaf(x)dx=0.()(4)曲线y=x2与直线y=x所围成的区域的面积是01x-x2)dx.()(5)若a
4、bf(x)dx0,则由y=f(x),x=a,x=b的图象以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.-22 (1+cos x)dx等于()A. B.2C.-2D.+2答案D3.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.22B.42C.2D.4答案D4.若s1=12x2dx,s2=121xdx,s3=12exdx,则s1,s2,s3的大小关系为()A.s1s2s3B.s2s1s3C.s2s2s1D.s3s21),则a的值是.答案26.01 1-x2+12xdx=.答案+14解析011-x2+12xdx=011-x2dx+0112xdx,
5、0112xdx=14,011-x2dx表示四分之一单位圆的面积,即4,所以结果是+14.7.汽车以36 km/h的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以减速度a=2 m/s2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是m.答案25解析t=0时,v0=36 km/h=10 m/s,刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v0-at=10-2t,由v(t)=0得t=5s,所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为05v(t)dt=0510-2t)dt=(10t-t2)|05=25(m).定积分的计算典例1计算下列定积分:(1)01x2+2x)dx;(2) 0(sinx-cosx)dx;(3)12e2x+1xd
6、x;(4)021-sin2xdx;(5)011-(x-1)2dx;(6)-11x2tanx+x3+1)dx;(7)若f(x)=x+201f(t)dt,求f(x).解析(1)01x2+2x)dx=01x2)dx+012dx=-13x3|01+x2|01=-13+1=23.(2) 0(sinx-cosx)dx= 0sinxdx- 0cosxdx=(-cosx)|0-sinx|0=2.(3)12e2x+1xdx=12e2xdx+121xdx=12e2x|12+lnx|12=12e4-12e2+ln2-ln1=12e4-12e2+ln2.(4)021-sin2xdx=02sinx-cosx|dx=04
7、cosx-sinx)dx+42sinx-cosx)dx=(sinx+cosx)|04+(-cosx-sinx)|42=2-1+(-1+2)=22-2.(5)根据定积分的几何意义,可知011-(x-1)2dx表示的是如图所示的阴影部分的面积,即圆(x-1)2+y2=1的面积的14,故01 1-(x-1)2dx=4.(6)f(x)=x2tan x+x3是奇函数,-11x2tanx+x3+1)dx=0+-111dx=x|-11=2.(7)记a=01f(t)dt,则f(x)=x+2a,故01f(x)dx=01x+2a)dx=12x2+2ax|01=12+2a,所以a=12+2a,a=-12,故f(x)=x-1.方法技巧计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数的和或差.(2)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(3)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.1-1-55 (3x3+4sin x)dx=.答案01-2021-x|dx=