1、 1/15 第四节 二次函数与幂函数 (1)了解幂函数的概念.(2)结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=1,y=12的图象,了解它们的变化情况.1.二次函数(1)二次函数的定义:形如 f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式:(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).(3)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质:a0 a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0 且 0”.(2)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的
2、充要条件是“a0 且 0 时,幂函数 y=x 有下列性质:a.图象都经过点(0,0)、(1,1).b.在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大.(ii)当 0 时,幂函数 y=x 有下列性质:a.图象都经过点(1,1).b.在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小.(3)五种常见幂函数的图象:3/15 (4)五种常见幂函数的性质:函数 特征 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x12 y=x-1 定义域 R R R 0,+)x|xR 且 x0 值域 R 0,+)R 0,+)y|yR 且 y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 单调性 增 x0,+)时,增,x(-,0 时,减 增 在0,+)
3、上增 x(0,+)时,减,x(-,0)时,减 定点 (0,0),(1,1)(1,1)4/15 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数 y=212是幂函数.()(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(3)当 n0 时,幂函数 y=xn 是定义域上的减函数.()(4)二次函数 y=ax2+bx+c(a0),xa,b的最值一定是4-24.()(5)幂函数 f(x)=23是偶函数.()(6)在 y=ax2+bx+c(a0)中,a 决定了图象的开口方向.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.幂函数 f(x)=x(R)的图象过点(2,14),则 f(x)的一个单
4、调递减区间是()A.0,+)B.(0,+)C.(-,0 D.(-,0)答案 B 3.(教材习题改编)下图是y=xa;y=xb;y=xc 在第一象限内的图象,则 a,b,c 的大小关系为()A.cba B.abc C.bca D.ac0;若在(0,+)上单调递减,则 0.1-1 幂函数 y=f(x)的图象经过点(3,33),则 f(x)是()A.偶函数,且在(0,+)上是增函数 B.偶函数,且在(0,+)上是减函数 C.奇函数,且在(0,+)上是增函数 D.非奇非偶函数,且在(0,+)上是减函数 答案 C 1-2 若(a+1)12(3-2a)12,则实数 a 的取值范围是 .答案-1,23)6/
5、15 解析 易知函数 y=12的定义域为0,+),在定义域内为增函数,所以+1 0,3-2 0,+1 3-2,解得-1a4ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即 b24ac,正确;因为对称轴为直线 x=-1,即-2=-1,所以 2a-b=0,错误;结合图象可知,当 x=-1 时,y0,即 a-b+c0,错误;由对称轴为直线 x=-1 知 b=2a,又函数图象开口向下,所以 a0,所以 5a2a,即 5ab,正确,故选 B.命题方向二 二次函数的单调性 典例 4 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.(1)求使 y=f(x)在-4,6上是单调函数的实数 a 的取值范围;(2)
6、当 a=-1 时,求 f(|x|)的单调区间.解析(1)函数 f(x)=x2+2ax+3 的图象的对称轴为直线 x=-22=-a,要使 f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4 或-a6,解得 a4 或 a-6.故 a 的取值范围是(-,-64,+).(2)当 a=-1 时,f(|x|)=x2-2|x|+3=2+2x+3=(x+1)2+2,-4 x 0,2-2x+3=(x-1)2+2,0 x 6,f(|x|)的单调递减区间是-4,-1)和0,1),单调递增区间为-1,0)和1,6.探究 1(变条件)若函数 f(x)=x2+2ax+3 在-4,+)上为增函数,求 a 的取值范围.解析 f(x
7、)=x2+2ax+3 在-4,+)上为增函数,且其图象的对称轴为直线 x=-a,-a-4,即 a4.探究 2 若函数 f(x)=x2+2ax+3 的单调增区间为-4,+),则 a 为何值?解析 f(x)=x2+2ax+3 的单调增区间为-4,+),且其图象的对称轴为直线 x=-a,-a=-4,即 a=4.命题方向三 二次函数的最值问题 典例 5 已知函数 f(x)=x2+(2a-1)x-3.9/15 (1)当 a=2,x-2,3时,求函数 f(x)的值域;(2)若函数 f(x)在1,3上的最大值为 1,求实数 a 的值.解析(1)当 a=2 时,f(x)=x2+3x-3=(+32)2-214,
8、又 x-2,3,所以 f(x)min=f(-32)=-214,f(x)max=f(3)=15,所以函数 f(x)的值域为-214,15.(2)由题意可知,函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x=-2-12.当-2-12 1,即 a-12时,f(x)max=f(3)=6a+3,即 6a+3=1,解得 a=-13,满足题意;当-2-12 3,即 a-52时,f(x)max=f(1)=2a-3,即 2a-3=1,解得 a=2,不满足题意;当 1-2-12 3,即-52a2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.解析 由题意可知,f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g
9、(x)=x2-3x+1-m,要使 g(x)0 在-1,1上恒成立,只需使函数 g(x)在-1,1上的最小值大于 0 即可.g(x)=x2-3x+1-m 在-1,1上单调递减,g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-10 得 m-1.因此,满足条件的实数 m 的取值范围是(-,-1).命题方向五 二次方程根的分布问题 典例 7 若关于 x 的方程 klg2x+3(k-1)lg x+2k=0 的两根中一个比 100 大,另一个比 100小,则实数 k 的取值范围是 .10/15 答案 0klg 100=2,t2lg 100=2,令f(x)=kx2+3(k-1)x+2k,易知 k0,则有 kf(
10、2)0,即 k(12k-6)0,解得 0k12.方法技巧 1.二次函数、二次方程与二次不等式常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,解决此类问题首先采用转化的思想,把方程、不等式问题转化为函数问题.借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于使用哪种思路解题,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据:af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min.3-1 已知
11、mZ,一元二次方程 x2+mx+3=0 有两个实数根 x1,x2,且 0 x12x24,则m=.答案-4 解析 因为一元二次方程 x2+mx+3=0 有两个实数根 x1,x2,且 0 x12x24,所以二次函数 f(x)=x2+mx+3 分别在(0,2)和(2,4)内各有一个零点.所以(0)(2)0,(2)(4)0 2+7 0,(2+7)(4+19)02+7 0,解得 -194,即-194 m-72.因为 mZ,所以 m=-4.3-2 已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3 在-1,1上恒小于零,则实数 a 的取值范围是 .答案(-,12)解析 由题意可知,2ax2+2x-30
12、在-1,1上恒成立.当 x=0 时,-30,成立;当 x0 时,a32(1-13)2-16,令 g(x)=32(1-13)2-16,x-1,0)(0,1,11/15 由上式可知,当 x=1 时,g(x)取最小值12,a12.综上,实数 a 的取值范围是(-,12).3-3 已知二次函数 f(x)=x2-4x+3,当 x0,m时,试确定 f(x)的最大值.解析 已知 f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,x0,m,当 0m2 时,函数 f(x)在区间0,m上单调递减,则 f(x)max=f(0)=3;当 2m4 时,函数 f(x)在区间0,2上单调递减,在区间2,m上单调递增,f(0)=3
13、,f(m)=m2-4m+3=m(m-4)+33,则 f(x)max=f(0)=3;当 m4 时,函数 f(x)在区间0,2上单调递减,在区间2,m上单调递增,f(0)=3,f(m)=m2-4m+3=m(m-4)+33,则 f(x)max=f(m)=m2-4m+3.综上所述,f(x)max=3,0 bc 且 a+b+c=0,则函数 f(x)的图象可能是()12/15 答案 D 4.若二次函数 y=kx2-4x+2 在区间1,2上是单调递增函数,则实数 k 的取值范围为()A.2,+)B.(2,+)C.(-,0)D.(-,2)答案 A 二次函数 y=kx2-4x+2 的图象的对称轴为 x=2,当
14、k0 时,要使函数 y=kx2-4x+2 在区间1,2上是增函数,只需21,解得 k2.当 k0 时,20,此时抛物线的对称轴在区间1,2的左侧,函数 f(x)=kx2-4x+2 在区间1,2上是减函数,不符合要求.综上可得实数 k 的取值范围是2,+).5.若函数 f(x)=12x2-x+32的定义域和值域都是1,b,则 b 的值为()A.1 或 3 B.1 或32 C.32 D.3 答案 D 函数 f(x)=12x2-x+32的图象的开口向上,对称轴为 x=1,所以函数 f(x)在1,b上单调递增,所以 f(b)=12b2-b+32=b,解得 b=3 或 b=1(舍去),故选 D.6.如图
15、所示的曲线是幂函数 y=x 在第一象限的图象,已知-4,-14,14,4,则相应曲线C1,C2,C3,C4 对应的 值依次为()13/15 A.-4,-14,14,4 B.4,14,-14,-4 C.-14,-4,4,14 D.4,14,-4,-14 答案 B 7.已知幂函数 f(x)=-12,若 f(a+1)0),易知 x(0,+)时,f(x)为减函数,f(a+1)0,10-2 0,+1 10-2,解得 -1,3,3a5.8.已知关于 x 的二次方程(m-2)x2+3mx+1=0 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),则 m 的取值范围为 .答案-12m 0,(-1)(0)0,(2)(0
16、)0,(-2-1)1 0,(10-7)1 0,所以-12mf(4),则()14/15 A.a0,4a+b=0 B.a0,2a+b=0 D.af(4),所以在(2,+)上 f(x)为减函数,所以 f(x)的图象开口向下,所以 a0,可知函数在 x=12处取得最小值,即 f(12)=a12(12-1)+1=34,解得 a=1,故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x(x-1)+1=x2-x+1.(2)f(x)=x+m 即 x2-x+1=x+m,据此可得 m=x2-2x+1,原问题等价于直线 y=m 与函数 y=x2-2x+1 的图象在区间(-1,2)上有且只有一个交点,函数图象如图所示,15/15
17、 观察可得实数 m 的取值范围是m|m=0 或 1m4.4.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,方程 f(x)=x 的两根分别为-1,2,且 f(3)=-1.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)令 g(x)=f(x)+2(m-1)x.若 g(x1)=g(x2)(x1x2),求 g(x1+x2)的值;求函数 g(x)在区间1,2上的最大值.解析(1)因为方程 f(x)=x 的两根分别为-1,2,所以 f(x)-x=a(x+1)(x-2)(a0),即 f(x)=ax2+(1-a)x-2a,由 f(3)=-1a=-1,所以 f(x)=-x2+2x+2.(2)由(1)可得 g(x)=-x2+2mx+2,由 g(x1)=g(x2)可得,y=g(x)的图象关于直线 x=1+22=m 对称,所以 g(x1+x2)=g(2m)=2.因为 g(x)=-(x-m)2+m2+2,所以 x1,2时,2,()max=g(2)=4m-2,g(x)max=2+1,2.
