1、第四章 三角函数、解三角形 第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.2020 湖南耒阳二中模拟给出下列命题:第二象限角大于第一象限角;不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;若 sin=sin,则 与 的终边相同;若 cos 0,则 是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 2.2020 百校联考已知点 P(cos 300,sin 300)是角 终边上一点,则 sin -cos=()A.32+12 B.-32+12 C.32 12 D.-32 12 3.2019 湖南衡阳三模若 sin 0,则下列三角函数的
2、值恒为负数的是()A.cos B.tan C.cos2 D.tan2 4.2019 全国卷,7,5 分 tan 255=()A.-2-3 B.-2+3 C.2-3 D.2+3 5.2020 山西大同高三调研已知 sin+cos=12,(0,),则 1-tan1+tan=()A.-7 B.7 C.3 D.-3 6.2019 河南郑州三测已知 cos(20192+)=12,(2,),则 cos=()A.12 B.-12 C.-32 D.32 7.2019 北京,8,5 分如图 4-1-1,A,B 是半径为 2 的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,APB 是锐角,大小为.图中阴影区域的面积的最大值为
3、()A.4+4cos B.4+4sin C.2+2cos D.2+2sin 8.2018 全国卷,11,5 分已知角 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且 cos 2=23,则|a-b|=()A.15 B.55 C.255 D.1 考法 1 三角函数定义的应用 1 已知角 的终边上一点 P(-3,m)(m0),且 sin=24,则 cos=,tan=.由 sin=24,结合三角函数的定义建立关于参数 m 的方程,求出 m 的值,再根据定义求 cos,tan的值.设 P(x,y).由题设知 x=-3,y=m,所以 R2=OP2=(-3)2+m
4、2(O 为原点),即 R=3+2,所以 sin=24=22,所以 R=3+2=22,即 3+m2=8,解得 m=5.当 m=5时,cos=-322=-64,tan=-153;当 m=-5时,cos=-322=-64,tan=153.2 如图 4-1-3,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为 .求解本题的关键是确定点 P 转过的弧长,可借助三角函数的定义寻找点 P 的坐标,进而得 的坐标.如图 4-1-4 所示,设滚动后的圆的圆心为 C,点 P 的坐标为(xP,
5、yP),过点 C 作 x 轴的垂线,垂足为 A,过点 P 作 x 轴的垂线与过点 C 所作 y 轴的垂线交于点 B.图 4-1-4 因为圆心移动的距离为 2,所以劣弧=2,即圆心角PCA=2,则PCB=2-2,所以 PB=sin(2 -2)=-cos2,CB=cos(2 -2)=sin2,所以 xP=2-CB=2-sin2,yP=1+PB=1-cos2,所以=(2-sin2,1-cos2).1.(1)2019 四川攀枝花三诊已知角=83,且角 的终边经过点 P(x,23),则 x 的值为()A.2 B.2 C.-2 D.-4(2)2017 北京,12,5 分理在平面直角坐标系 xOy 中,角
6、与角 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称.若 sin=13,则 sin=.考法 2 同角三角函数关系的应用 命题角度 1 公式的应用 3 已知sin+3cos3cos-sin=5,则 sin2-sin cos=.解法一 由已知可得 sin+3cos=5(3cos-sin),即 6sin=12cos,也就是 sin=2cos,代入 sin2+cos2=1,得 cos2=15,.(运用平方关系:sin2+cos2=1)从而 sin2-sincos=4cos2-2cos2=2cos2=25.解法二 由已知可得sin+3cos3cos-sin=sin+3coscos3cos-sincos=
7、tan+33-tan=5,.(弦化切)整理得 tan=2.从而 sin2-sincos=sin2-sincossin2+cos2=.(利用 sin2+cos2 代换分母 1)sin2-sincoscos2sin2+cos2cos2=tan2-tantan2+1=22-222+1=25.命题角度 2 sin cos 与 sin cos 关系的应用 42019 四川成都二诊已知 为第二象限角,且 sin+cos=15,则 cos -sin=A.75 B.-75 C.75 D.-15 观察已知式 sin+cos=15与待求式 cos-sin 的特征,可以求出 sincos 的值,整体代入求解即可;或
8、利用换元法,令 cos-sin=t,结合已知条件和同角三角函数的基本关系求解;或根据 sin2+cos2=1 及sin+cos=15求出 sincos=-1225,结合方程的根与系数的关系求出 sin,cos 的值,从而使问题得解.解法一(整体代入法)由 sin+cos=15两边同时平方,得 1+2sincos=125,则 2sincos=-2425,所以(cos-sin)2=1-2sincos=1+2425=4925.(配凑出关于 sincos 的式子,整体代入)因为 为第二象限角,所以 cos-sin=-75.(三角函数值的符号由角 所在的象限决定)故选 B.解法二(换元法)已知 sin+
9、cos=15,令 cos-sin=t.(整体换元)由2+2,得 2sin2+2cos2=125+t2,即 2=125+t2,.(利用同角三角函数的平方关系求值)整理得 t2=2-125=4925,解得 t=75.因为 为第二象限角,所以 cos-sin0,故 cos-sin=-75.(检验,舍去不满足题意的值)故选 B.解法三(列方程法)由 sin+cos=15两边同时平方,得 1+2sincos=125,则 2sincos=-2425,即 sincos=-1225.所以 sin,cos 是方程 x2-15x-1225=0 的两根,解方程得 x1=-35,x2=45.因为 是第二象限角,所以
10、sin=45,cos=-35,所以 cos-sin=-75.故选 B.B 2.(1)2017 全国卷,4,5 分已知 sin -cos=43,则 sin 2=()A.-79 B.-29 C.29 D.79(2)2016 全国卷,5,5 分理若 tan=34,则 cos2+2sin 2=()A.6425 B.4825 C.1 D.1625 考法 3 诱导公式的应用 5(1)2016 四川,11,5 分 sin 750=.(2)已知 cos(6-)=33,则 cos(56+)-sin2(-6)=.(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得出结论;(2)利用(6-)+(56+)=和 -6=-(6-
11、),将待求式中的角进行转化即可求解.(1)sin750=sin(2360+30)=sin30=12.(2)因为 cos(56+)=cos-(6-)=-cos(6-)=-33,sin2(-6)=sin2-(6-)=sin2(6-)=1-cos2(6-)=1-(33)2=23,所以 cos(56+)-sin2(-6)=-33 23=-2+33.3.(1)2017 全国卷,6,5 分函数 f(x)=15sin(x+3)+cos(x-6)的最大值为()A.65 B.1 C.35 D.15(2)设 f()=2sin(+)cos(-)-cos(+)1+sin2+cos(32+)-sin2(2+)(1+2s
12、in 0),则 f(-236)=.考法 4 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 6 2016 全国卷,14,5 分已知 是第四象限角,且 sin(+4)=35,则 tan(-4)=.解法一 因为 sin(+4)=35,所以 cos(-4)=sin2+(-4)=sin(+4)=35.因为 为第四象限角,所以-2+2k2k,kZ,所以 -34+2k-42k-4,kZ,所以 sin(-4)=-1-(35)2=-45,所以 tan(-4)=sin(-4)cos(-4)=-43.解法二 因为 是第四象限角,且 sin(+4)=35,所以+4为第一象限角,所以 cos(+4)=45,所以 tan(-
13、4)=sin(-4)cos(-4)=-cos2+(-4)sin2+(-4)=-cos(+4)sin(+4)=-43.4.已知 tan=2,则 cos(52+2)=()A.35 B.45 C.-35 D.-45 易错三角函数求值时忽略隐含条件致错 7 已知(0,),sin+cos=3-12,则 tan 的值为 .解法一 将 sin+cos=3-12 两边同时平方,得 1+2sincos=1-32,即 sincos=-34,易知 2.故 sincos=sincossin2+cos2=tantan2+1=-34,解得 tan=-3或 tan=-33.(0,),sincos=-34 0 可知 sin-
14、cos,即|sin|cos|,故(2,34),则 tan-1,tan=-3.解法二(本题若利用 sincos 与 sincos 之间的关系,就会得到更为便捷的解法)由 sin+cos=3-12 ,得 sincos=-34 0,cos0.又(sin-cos)2=1-2sincos=1+32=(3+1)24,sin-cos=3+12 .联立,解得sin=32,cos=-12,tan=-3.素养探源 核心素养 考查途径 素养水平 逻辑推理 弦切互化,角的限制条件的挖掘,判断三角函数值的符号.二 数学运算 求三角函数值.一 易错警示 本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sin|cos|”的挖掘,从而得到
15、错误答案:tan=-3或 tan=-33.有些关于三角函数的条件求值问题,表面上角的范围不受条件限制,实际上只要对已知式稍加变形,就会推出三角函数值间的限制关系,这种限制关系本身就隐含了角的取值范围.解题时,如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘,就很可能出错.5.2019 安徽师大附中模拟已知角 终边上一点 P 的坐标为(sin 10,cos 9 10),则角 是()A.10 B.25 C.-10 D.-25 思想方法 分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用 8 在ABC 中,若 sin(2-A)=-2sin(-B),3cos A=-2cos(-B),则 C=.利用同角三角函数基本
16、关系式的平方关系时,要对开方的结果进行分类讨论.由已知得-sin=-2sin,3cos=2cos,2+2,得 2cos2A=1,即 cosA=22.当 cosA=22 时,cosB=32,又 A,B 是三角形的内角,所以 A=4,B=6,所以 C=-(A+B)=712.当 cosA=-22 时,cosB=-32,又 A,B 是三角形的内角,所以 A=34,B=56 不符合题意,舍去.综上可得 C=712.素养探源 核心素养 考查途径 素养水平 逻辑推理 利用同角三角函数的基本关系和诱导公式恒等变形,分类讨论.二 数学运算 三角恒等变换,求角 A,B 和 C.二 解后反思 (1)本题在三角函数的
17、化简求值过程中,应用了分类讨论思想,即使讨论的某种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,需提升数学思维的严谨性.(2)求解三角形中的三角函数问题时,要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用.6.已知 A=sin(+)sin+cos(+)cos(kZ),则 A 的值构成的集合是 .282 1.A 举反例:第一象限角 370不小于第二象限角 100,故错;易知正确;由于 sin 6=sin 56,但6与56 的终边不相同,故错;当=时,cos=-1,此时 既不是第二象限角,也不是第三象限角,故错.综上可知只有正确.2.D 由点 P(cos 300,sin 300)是角 终边上一点,可得 si
18、n -cos=sin 300-cos 300=-32 12.3.D 由 sin 0,得 2k+2k+2(kZ),故 k+2 2k+(kZ),即2是第二或第四象限角,所以 tan20.易知 cos,tan,cos 2均不恒小于 0,故选 D.4.D 由正切函数的周期性可知,tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(30+45)=33+11-33=2+3,故选 D.5.A sin+cos=12等号两边同时平方得 1+2sin cos=14,所以 sin cos=-380,则 cos 0.因为(sin -cos)2=1-2sin cos=74,所以 sin -cos=72.所以1
19、-tan1+tan=1-sincos1+sincos=cos-sincos+sin=-7212=-7,故选 A.6.C 由题意知,cos(20192+)=cos(32+)=sin=12,又(2,),所以 cos=-1-sin2=-32.故选 C.7.B 如图 D 4-1-1,设点 O 为圆心,连接 PO,OA,OB,AB,在劣弧 上取一点 C,图 D 4-1-1 则阴影区域面积为ABP 和弓形 ACB 的面积和.因为 A,B 是圆周上的定点,所以弓形 ACB 的面积为定值,故当ABP 的面积最大时,阴影区域面积最大.又 AB 的长为定值,故当点 P 为优弧 的中点时,点 P 到弦 AB 的距离
20、最大,此时ABP 面积最大,即当点 P 为优弧 的中点时,阴影区域面积最大.下面计算当点 P 为优弧的中点时阴影区域的面积.因为APB为锐角,且APB=,所以AOB=2,AOP=BOP=180-,则阴影区域的面积S=SAOP+SBOP+S扇形 OAB=21222sin(180-)+1222 2=4+4sin,故选 B.8.B 由题意知 cos 0.因为 cos 2=2cos2-1=23,所以 cos=56,sin=16,则|tan|=55.由题意知|tan|=|-1-2|,所以|a-b|=55.1.(1)C 由题意知 tan=tan83=tan(2+23)=tan 23=tan(-3)=-ta
21、n3=-3.因为角 的终边经过点 P(x,23),所以 tan=23.所以-3=23,解得 x=-2.故选 C.(2)-79 解法一 因为角 与角 的终边关于 y 轴对称,所以+=2k+,kZ,所以 cos(-)=cos(2k+-2)=-cos 2=-(1-2sin2)=-1-2(13)2=-79.解法二 因为 sin=130,所以角 为第一象限角或第二象限角.当角 为第一象限角时,可取其终边上一点(22,1),则 cos=223,又点(22,1)关于 y 轴对称的点(-22,1)在角 的终边上,所以 sin=13,cos=-223,此时 cos(-)=cos cos+sin sin=223(
22、-223)+13 13=-79;当角 为第二象限角时,可取其终边上一点(-22,1),则 cos=-223,因为点(-22,1)关于 y 轴对称的点(22,1)在角 的终边上,所以 sin=13,cos=223,此时 cos(-)=cos cos+sin sin=(-223)223+13 13=-79.综上可得,cos(-)=-79.2.(1)A 将 sin -cos=43的两边同时平方,得 sin2-2sin cos+cos2=169,即 sin 2=-79,故选 A.(2)A 解法一 由 tan=sincos=34,cos2+sin2=1,得sin=35,cos=45或sin=-35,co
23、s=-45,则 sin 2=2sin cos=2425,则cos2+2sin 2=1625+4825=6425.故选 A.解法二 cos2+2sin 2=cos2+4sincoscos2+sin2=1+4tan1+tan2=1+31+916=6425.故选 A.3.(1)A 因为 cos(x-6)=cos(x+3)-2=sin(x+3),所以 f(x)=65sin(x+3),于是 f(x)的最大值为65,故选 A.(2)3 因为 f()=(-2sin)(-cos)+cos1+sin2+sin-cos2=2sincos+cos2sin2+sin=cos(1+2sin)sin(1+2sin)=1t
24、an,所以 f(-236)=1tan(-236)=1tan(-4+6)=1tan6=3.4.D 由诱导公式可得,cos(52+2)=cos2+(2+2)=cos(2+2)=-sin 2=-2sincossin2+cos2=-2sincoscos2sin2+cos2cos2=-2tantan2+1=-2222+1=-45.故选 D.5.D 本题考查三角函数的定义.角 终边上一点 P 的坐标为(sin10,cos910),且 sin10=cos(2 10)=cos25=cos(-25),cos910=cos(-10)=-cos10=-sin(2 10)=sin(-25),即 P(cos(-25),sin(-25),则角 是-25,故选 D.6.2,-2 当 k 为偶数时,A=sinsin+coscos=2;当 k 为奇数时,A=-sinsin coscos=-2.所以 A 的值构成的集合是2,-2.