1、第32讲等差数列及其前n项和【课程要求】1掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等2掌握等差数列的判断方法3掌握等差数列求和的方法对应学生用书p87【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(5)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()答案 (1)(2)(3)(4)(
2、5)2必修5p46A组T2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31 B32 C33 D34解析 由已知可得解得S88a1d32.答案 B3必修5p39T5在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a1a9_解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a1a92a5180.答案 1804一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()Ad BdC.d D.d解析 由题意可得即所以0，a7a100，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最_小_值对应学生用书p88等差数列基本量的
3、计算例1(1)(2017全国卷理)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8解析 设an的公差为d，由得解得d4.故选C.答案 C(2)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是()A5 B4 C3 D2解析 写出数列的第1、3、5、7、9项的和，写出数列的第2、4、6、8、10项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果由此得解得d3.答案 C小结等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n
4、项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题1已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a7a54，a1121，Sk9，则k_解析 a7a52d4，d2，a1a1110d21201，Skk2k29.又kN*，故k3.答案 3等差数列的性质及应用例2(1)在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11()A18 B99 C198 D297解析 因为a3a927a6，2a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以S11(a1a11)11a699.答案 B(2)已知an为等差数列，若a1a2a35，a7a8a910，
5、则a19a20a21_解析 法一：设数列an的公差为d，则a7a8a9a16da26da36d518d10，所以18d5，故a19a20a21a712da812da912d1036d20.法二：由等差数列的性质，可知S3，S6S3，S9S6，S21S18成等差数列，设此数列公差为D.所以52D10，所以D.所以a19a20a21S21S1856D51520.答案 20(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12017，6，则S2021_解析 由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为d，则6d6，d1.故2020d201720203，S2021320216063.答案 6063小结等差数列
6、的常用性质(1)项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.2已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_解析 因为an，bn都是等差数列，所以2a3a1a5，2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2159(a5b6)，解得a5b621.答案 213等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于()A. B. C. D.解析 .答案 A等差数列的判定与证明例3若数列an的前n项
7、和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求数列an的通项公式解析 (1)当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an小结等差数列的判定与证明方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.(3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列4已知数
8、列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式解析 (1)由已知nan1(n1)an2n22n，得2，即2，所以数列是首项1，公差d2的等差数列(2)由(1)知12(n1)2n1，所以an2n2n.等差数列前n项和的最值问题例4设数列an的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意nN*，Sn是a和an的等差中项(1)求证：数列an为等差数列；(2)设数列bn满足bn(1)n1anan1，且数列bn前n项和为Tn，若Tntn2，对nN*恒成立，求实数t取值范围解析 (1)由已知可得2Snaan，且an0，当n1时，2a1aa1，解得a
9、11.当n2时，有2Sn1aan1，所以2an2Sn2Sn1aaanan1，所以aaanan1，即(anan1)(anan1)anan1，因为anan10，所以anan11(n2)故数列an是首项为1，公差为1的等差数列(2)由(1)可知bnn.当n为偶数时，Tnb1b2b3b4bn1bnn(n2)tn2，即t对任意偶数都成立，t1；同理当n为奇数时，Sn(n1)20，对t1时，Sntn2恒成立，综上：t1.小结等差数列前n项和SnAn2Bn，可以从二次函数的角度求最值，对于含有(1)n结构的数列问题一般要进行奇偶性讨论5在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取
10、何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解析 a120，S10S15，1020d1520d，d.法一：由an20(n1)n，得a130.即当n12时，an0，当n14时，an0.当n12或n13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S131220130.法二：Sn20nn2n.nN*，当n12或n13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.法三：由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或n13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.对应学生用书p891(2019全国卷理)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n
11、5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n解析 由题知，解得an2n5，Snn24n，故选A.答案 A2(2019全国卷理)记Sn为等差数列an的前n项和，a10，a23a1，则_解析 设等差数列an的公差为d，因为a23a1，所以a1d3a1，即2a1d，所以4.答案 43(2018全国卷理)设Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C10 D12解析 法一：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24(3)10.法二：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1dd，a12，d3，a5a14d24(3)10.答案 B