1、课时规范练39直线、平面垂直的判定与性质课时规范练A册第26页 基础巩固组1.(2019湖北元月调研,8)已知m,n是两条不重合的直线,是两个不重合的平面.给出下列4个命题:若m,则m;若m,则m;若m,n,则mn;若m,m,则.则其中真命题个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析对于,若m,则m或m,故错;由线面垂直的判定定理可得正确;由线面垂直的性质定理可得正确;对于,若m,m,则或与相交,故错.故选B.2.三棱锥S-ABC中,SABC,SCAB,则S在底面ABC的投影一定在三角形ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心答案C解析过S作SO平面ABC,垂足为O,连接AO并延长交BC
2、于H,连接CO.SOBC,又SABC,SOSA=S,BC平面SAO,又AO平面SAO,BCAO,同理ABCO,O是三角形ABC的垂心.故选C.3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1,E,F为边B1D1上两动点,且|EF|=22,则下列结论中错误的是()A.ACBEB.三棱锥A-BEF的体积为定值C.二面角F-AB-E的大小为定值D.二面角A-EF-B的大小为定值答案C解析根据正方体得出AC面B1D1DB,而BE面B1D1DB,所以有ACBE,故A正确;因为VA-BEF=13dA-BEFSBEF=13dA-BDD1B1SBEF=13AC212BB1EF为定值,故B正确;二面角A-EF
3、-B就是二面角A-B1D1-B,所以其为定值,故D正确;因为F与B1重合,E与D1重合时二面角F-AB-E的大小不同,故C不正确;故选C.4.(2018全国1,文10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.62C.82D.83答案C解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面BCC1B1,连接BC1,则AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,AC1B=30,所以在RtABC1中,BC1=ABtanAC1B=23,又BC=2,所以在RtBCC1中,CC1=(23)2-22=22,所以该长方体体积V=
4、BCCC1AB=82.5.(2019河南九师联盟2月质检)如图,已知圆锥的母线长为8,底面圆的圆心为O,直径AB=8,点Q是母线PA的中点.若点C是底面圆周上一点,且直线OC与QB所成的角为30,M在线段PA上且PA=4MA,则MC与底面所成角的正弦值为.答案32或3926解析由题意知QB=PO=43,连接MO,则MOQB,MOC为异面直线OC与QB所成的角(或其补角),所以MOC=30或MOC=150.过M作MDAO于点D,则MD底面AOC,所以角MCD为直线MC与底面所成的角,PO=43,PA=4MA,所以MD=3.当MOC=30时,MC=OM2+OC2-2OMOCcos30=2,所以si
5、nMCD=MDMC=32,当MOC=150时,MC=OM2+OC2-2OMOCcos150=213,所以sinMCD=MDMC=3213=3926,综上,MC与底面所成角的正弦值为32或3926.6.(2019北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD平面PAC;(2)若ABC=60,求证:平面PAB平面PAE;(3)略.解(1)证明:因为PA平面ABCD,所以PABD.又因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.所以BD平面PAC.(2)证明:因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.因为底面ABCD为菱形,AB
6、C=60,且E为CD的中点,所以AECD.所以ABAE.所以AE平面PAB.所以平面PAB平面PAE.7.(2019山东青岛一模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PAD为等边三角形,平面PAD平面PCD.(1)证明:平面PAD平面ABCD;(2)略.解(1)证明:取PD的中点O,连接AO,因为PAD为等边三角形,所以AOPD.又因为AO平面PAD,平面PAD平面PCD=PD,平面PAD平面PCD,所以AO平面PCD.因为CD平面PCD,所以AOCD.因为底面ABCD为正方形,所以CDAD.因为AOAD=A,所以CD平面PAD,又因为CD平面ABCD,所以平面PAD平面
7、ABCD.8.(2019广东汕尾一模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABDA,DCAB,AB=2DC=4,PA=DA=PD=2,平面PAD平面ABCD.(1)证明:平面PCB平面ABP;(2)略.解(1)证明:如图,设E,F分别为AP,PB的中点,过C向AB引垂线,垂足为Q,连接CF,DE,EF,FQ,得EFAB,EF=12AB,故EFDC,EF=DC,则有CFDE,又PA=DA=PD,DEAP,CFAP,由平面PAD平面ABCD,CD平面PAD,CDPD,PC2=DC2+DP2=8.又CQAB,CQAD,CQ=AD,BC2=QC2+QB2=8,PC=BC.又F为PB的中点,CFPB,C
8、F平面APB.又CF平面PCB,平面PCB平面ABP.综合提升组9.(2019浙江,8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B的平面角为,则()A.,B.,C.,D.,答案B解析如图G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PEVG,过点P作PFAC交VG于点F,过点D作DHAC,交BG于点H,则=BPF,=PBD,=PED,所以cos =PFPB=EGPB=DHPB,因为tan =PDEDPDBD
9、=tan ,所以.故选B.10.(2019全国1,文16)已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为.答案2解析作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO平面ABC.连接CO,OD,知CDPD,CDPO,PDPO=P,CD平面PDO,OD平面PDO,CDOD.PD=PE=3,PC=2,sinPCE=sinPCD=32,PCB=PCA=60.POCO,CO为ACB平分线,OCD=45,OD=CD=1,OC=2.又PC=2,PO=4-2=2.11.(2019江苏,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,A
10、C的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1平面DEC1;(2)BEC1E.证明(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1,A1B1平面DEC1,所以A1B1平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC,所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C,所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BEC1E.12.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长
11、为1的正方形,侧棱PA底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)如果E是PA的中点,求证:PC平面BDE.(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BDCE?证明你的结论.(1)解PA底面ABCD,PA为此四棱锥底面上的高.V四棱锥P-ABCD=13S正方形ABCDPA=13122=23.(2)证明连接AC交BD于点O,连接OE.四边形ABCD是正方形,AO=OC.又AE=EP,OEPC.又PC平面BDE,OE平面BDE,PC平面BDE.(3)解不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BDCE.证明如下:四边形ABCD是正方形,BDAC.PA底面ABC
12、D,PABD.又PAAC=A,BD平面PAC.CE平面PAC,BDCE.创新应用组13.(2020湖北重点中学起点考试,12)如图,已知四面体ABCD为正四面体,AB=2,E,F分别是AD,BC中点.若用一个与直线EF垂直,且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积最大值为()A.1B.2C.3D.2答案A解析补成正方体,如图.EF,截面为平行四边形MNKL,在CAD中,KNAD=CKCA,在ABC中,KLCB=CA-CKCA.AB=2,AB=AD=CB=2,KNAD+KLCB=NK+KL2=1,NK+KL=2,又KNAD,KLBC,且ADBC,K
13、NKL.可得S四边形MNKL=NKKLNK+KL22=1,当且仅当NK=KL时取等号,故选A.14.(2019山东潍坊一模,16)如图,矩形ABCD中,M为BC的中点,将ABM沿直线AM翻折成AB1M,连接B1D,N为B1D的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的序号是.存在某个位置,使得CNAB;翻折过程中,CN的长是定值;若AB=BM,则AMB1D;若AB=BM=1,当三棱锥B1-AMD的体积最大时,三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4.答案解析对于:如图1,取AD中点E,连接EC交MD于F,则NEAB1,NFMB1,因为AB1B1M,所以ENNF,如果CNAB1,则CNNE.又EN
14、NF,且三线NE,NF,NC共面共点,不可能,故错.对于:如图1,可得由NEC=MAB1(定值),NE=12AB1(定值),AM=EC(定值),由余弦定理可得NC2=NE2+EC2-2NEECcosNEC,所以NC是定值,故正确.对于:如图2,取AM中点O,连接B1O,DO,易得AM面ODB1,即可得ODAM,从而AD=MD,显然不成立,可得不正确.对于:当平面B1AM平面AMD时,三棱锥B1-AMD的体积最大,易得AD中点H就是三棱锥B1-AMD的外接球的球心,球半径为1,表面积是4.故正确.故答案为.15.(2019湖南长郡中学适应考试一,19)如图,在多边形ABPCD中(图1),ABCD
15、为长方形,BPC为正三角形,AB=3,BC=32,现以BC为折痕将BPC折起,使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上(图2).(1)证明:PD平面PAB;(2)略.解(1)过点P作POAD,垂足为O.由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上,PO平面ABCD.POAB.四边形ABCD为矩形,ABAD.又ADPO=O,AB平面PAD,ABPA,ABPD.又由AB=3,PB=32,可得PA=PB2-PA2=3,同理PD=3.又AD=32,PA2+PD2=AD2,PAPD,且PAAB=A,PD平面PAB.16.(2019天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PCD
16、为等边三角形,平面PAC平面PCD,PACD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH平面PAD;(2)求证:PA平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.(1)证明连接BD,易知ACBD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GHPD.又因为GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面PAD.(2)证明取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DNPC,又因为平面PAC平面PCD,平面PAC平面PCD=PC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA.又已知PACD,CDDN=D,所以PA平面PCD.(3)解连接AN,由(2)中DN平面PAC,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3,又DNAN,在RtAND中,sinDAN=DNAD=33.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.