1、课时作业(六十八)1(2012衡水调研卷)若 B(n，p)且 E6，D3，则 P(1)的值为()A322 B3210C24D28答案 B解析 Enp6，Dnp(1p)3p12，n12，P(1)C112(12)123210.2设随机变量的分布列如表所示，且 E1.6，则 ab()0123P0.1ab0.1A.0.2 B0.1C0.15 D0.4解析 由分布列的性质得 0.1ab0.11，ab0.8又由 E00.11a2b30.11.6，得 a2b1.3由解得 a0.3，b0.5，ab0.30.50.15.答案 C3设投掷 1 颗骰子的点数为，则()AE3.5，D3.52BE3.5，D3512CE
2、3.5，D3.5 DE3.5，D3516答案 B4(2012沧州七校联考)某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100 元，在下雨的日子每天要损失 10 元，若该地区每年下雨的日子约为 130 天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按 365 天计算)()A60.82 元B68.02 元C58.82 元D60.28 元答案 A解析 E()100235365(10)13036560.82，选 A.5(2012岳阳联考)一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其他得分情况)，则 ab 的最大
3、值为()A.148B.124C.112D.16答案 D解析 设投篮得分为随机变量 X，则 X 的分布列为X320PabcE(X)3a2b22 3a2b，所以 ab16，当且仅当 3a2b 时，等号成立6随机变量 的分布列如下：101Pabc其中 a，b，c 成等差数列，若 E13，则 D 的值是()A.13B.23C.59D.79解析 a，b，c 成等差数列，2bac，又 abc1，且 E1a1cca13.联立三式得 a16，b13，c12，D(113)216(013)213(113)21259.答案 C7若随机变量 的分布列为：P(m)13，P(n)a.若 E2，则 D 的最小值等于_答案
4、0解析 依题意有 a11323，所以 E13m23n2，即 m2n6，又 D13(m2)223(n2)22n28n82(n2)2，所以当 n2 时，D 取最小值为 0.8设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_答案 12，25解析 D100p(1p)100(p1p2)225当且仅当 p1p.即 p12时，D 最大为 25.9某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件 E 发生，该公司要赔偿 a 元，设一年内事件 E 发生的概率为 p，为使公司收益的期望值等于 a 的 10%，公司应要求投保人交的保险金为_元解析 设要求投保
5、人交 x 元，公司的收益额 作为随机变量，则p(x)1p，p(xa)p，故 Ex(1p)(xa)pxap，xap0.1a，x(0.1p)a.答案(0.1p)a10(2011 江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差 s2_.答案 165解析 可以先把这组数都减去 6 再求方差，16511(2010浙江理)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记 X 为该毕业生得到面试的公司个数若 P(X0)112，则随机变量 X 的数学
6、期望 E(X)_.答案 53解析 P(X0)112(1p)213，p12，随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3，因此 P(X0)112，P(X1)23(12)223(12)213，P(X2)23(12)2213(12)2 512，P(X3)23(12)216，因此 E(X)1132 51231653.12(2012江南十校联考)甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关甲能攻克的概率为23，乙能攻克的概率为34，丙能攻克的概率为45.(1)求这一技术难题被攻克的概率；(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励 a 万元奖励规则如下：若只有 1 人攻克，则此人获得全部奖金 a 万元；若只
7、有 2 人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得a2万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得a3万元设甲得到的奖金数为 X，求 X 的分布列和数学期望解析(1)这一技术难题被攻克的概率 P1(123)(134)(145)11314155960.(2)X 的可能取值分别为 0，a3，a2，a.P(X0)131141559601959，P(Xa3)23344559602459，P(Xa2)233415144559601459，P(Xa)2314155960 259.X 的分布列为X0a3a2aP195924591459259E(X)01959a32459a21459a 2591759a.13(20
8、12广州综合测试)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字 1000、800、600、0 的四个球(球的大小相同)参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字 0 的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字 0 的球，则没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望解析 设 表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字 1000,800,600,0，当摸到球上标有数字 0 时，可以再摸一次，但奖金减半，即分别为 500,400,300,0.则 的所有可能取值为 1000
9、,800,600,500,400,300,0.依题意得P(1000)P(800)P(600)14，P(500)P(400)P(300)P(0)116，则 的分布列为10008006005004003000P141414116116116116所以所求的期望为E()14(1000800600)116(5004003000)675(元)即一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望是 675 元14(2012衡水调研卷)甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在 7,8,9,10 环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：甲运动员射击环数频数频率7100.18100.19x0.4
10、51035y合计1001 乙运动员射击环数频数频率780.18120.159z100.35合计801若将频率视为概率，回答下列问题：(1)求甲运动员击中 10 环的概率；(2)求甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率；(3)若甲运动员射击 2 次，乙运动员射击 1 次，表示这 3 次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的次数，求 的分布列及 E()解析 由题意得 x100(101035)45，y1(0.10.10.45)0.35.因为乙运动员的射击环数为 9 时的频率为(1(0.10.150.35)0.4，所以 z0.4 80.132.由上可得表中 x 处填 4
11、5，y 处填 0.35，z 处填 32.(1)设“甲运动员击中 10 环”为事件 A，则 P(A)0.35，即甲运动员击中 10 环的概率为 0.35.(2)设甲运动员击中 9 环为事件 A1，击中 10 环为事件 A2，则甲运动员在一次射击中 9 环以上(含 9 环)的概率为 P(A1A2)P(A1)P(A2)0.450.350.8，故甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率P11P(A1A2)310.230.992.(3)的可能取值是 0,1,2,3，则P(0)0.220.250.01，P(1)C120.20.80.250.220.750.11，P(2)0.8
12、20.25C120.80.20.750.4，P(3)0.820.750.48.所以 的分布列是0123P0.010.110.40.48E()00.0110.1120.430.482.35.1有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，若 X 表示取到次品的个数，则 E(X)等于()A.35 B.815C.1415D1答案 A解析 离散型随机变量 X 服从 N10，M3，n2 的超几何分布，EXnMN 2310 35.2某人从家乘车到单位，途中有 3 个交通岗亭假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是 0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A0.4 B1.2C0.
13、43D0.6答案 B解析 途中遇红灯的次数 X 服从二项分布，即 XB(3,0.4)，EX30.41.2.3设 B(n，p)，且 E()12，D()4，则 n 与 p 的值分别为()A18，13B12，23C18，23D12，13答案 C解析 由np12np1p4，解得 n18，p23.4(2012沈阳模拟)设 l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取2 2，3，52，0，52，3，2 2.用 X 表示坐标原点到 l的距离，则随机变量 X 的数学期望 E(X)_.答案 47解析 当 l 的斜率为 2时，直线方程为2 2xy10，此时d113；k 3时，d212；k 52 时，d3
14、23；k0 时，d41.由等可能性事件的概率可得分布列如下：X1312231P27272717EX13271227232711747.5(2011江西理)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料，若 4 杯都选对，则月工资定为 3500 元，若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元，否则月工资定为 2100 元，令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数，假设此人对 A和 B 两种饮料没有鉴别能力(
15、1)求 X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望解析(1)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(Xi)Ci4C4i4C48(i0,1,2,3,4)，即X01234P170167036701670170(2)令 Y 表 示 此 员 工 的 月 工 资，则 Y 的 所 有 可 能 取 值 为2100,2800,3500，则 P(Y3500)P(X4)170，P(Y2800)P(X3)835，P(Y2100)P(X2)5370，EY3500 17028001670210053702280，所以此员工月工资的期望为 2280 元6(2011陕西理)如图，A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L
16、2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟)10202030304040505060L1 的频率0.10.20.30.20.2L2 的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站()为了尽量大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？()用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对()的选择方案，求 X 的分布列和数学期望【解析】()Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时，40 分钟内赶到火车站”，Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时，50 分钟内赶到火车站”，i
17、1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)，甲应选择 L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)，乙应选择 L2.()A，B 分别表示针对()的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由()知 P(A)0.6，P(B)0.9，又由题意知，A，B 独立，P(X0)P(AB)P(A)P(B)0.40.10.04，P(X1)P(A BA B)P(A)P(B)P(A)P(B)0.40.90.60.10.42，P(X2)P(AB)P(A)P(B)0.60.90.
18、54.X 的分布列为X012P0.040.420.54EX00.0410.4220.541.5.1已知离散型随机变量，满足 8，且 B(10,0.6)，则E，D 分别是()A6、2.4 B2、2.4C2、5.6 D6、5.6解析 由均值、方差的性质，8，得 8，E8E8100.62，DD(8)(1)2D100.60.42.4.答案 B2(2012合肥第一次质检)工人在包装某产品时不小心将 2 件不合格的产品一起放进了一个箱子里，此时该箱子中共有外观完全相同的 6件产品只有将产品逐一打开检验才能确定哪 2 件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废记 表示将 2 件不合格产品全部检测
19、出来后 4 件合格产品中报废品的数量(1)求报废的合格品少于 2 件的概率；(2)求 的分布列和数学期望解析(1)报废的合格品少于 2 件，即 0 或 1，而 P(0)A2265 115，P(1)A22A12A14654 215，故 P(1)；求这 10 人所得钱数的期望(结果用分数表示，参考数据：(1415)1012)解析(1)由已知得，摸一次球获奖励的概率为 P2C34C310 115.(2)由题意，服从 N(10，115)，则 P(1)1P(0)P(1)1(1415)10C110 115(1415)917.设 为在一局中的输赢，则 E 115101415265，E(10)10E10(65
20、)12.4(2012海淀期末)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区投篮 3 次在 A 区每进一球得 2 分，不进球得 0 分；在 B 区每进一球得 3 分，不进球得 0 分，得分高的选手胜出已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别为 910或13.(1)如果选手甲以在 A、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率解析(1)方法一：设选手甲在 A 区投两次篮的进球数为 X，则 XB(2，910)，故 E(X)2 91095，则选手
21、甲在 A 区投篮得分的期望为 2953.6.设选手甲在 B 区投三次篮的进球数为 Y，则 YB(3，13)，故 E(Y)3131，则选手甲在 B 区投篮得分的期望为 313.3.63，选手甲应该选择在 A 区投篮方法二：设选手甲在 A 区投篮的得分为，则 的可能取值为 0,2,4，P(0)(1 910)2 1100；P(2)C12 910(1 910)18100；P(4)(910)2 18100.所以 的分布列为024P11001810081100E0 11002 181004 811003.6.同理，设选手甲在 B 区域投篮的得分为，则 的可能取值为0,3,6,9，P(0)(113)3 82
22、7；P(3)C1313(113)249；P(6)C23(13)2(113)29；P(9)(13)3 127.所以 的分布列为0369P8274929127E0 8273496299 1273.EE，选手甲应该选择在 A 区投篮(2)设选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分为事件 C，甲在A 区投篮得 2 分、在 B 区投篮得 0 分为事件 C1，甲在 A 区投篮得 4 分、在 B 区投篮得 0 分为事件 C2，甲在 A 区投篮得 4 分、在 B 区投篮得 3分为事件 C3，则 CC1C2C3，其中 C1，C2，C3 为互斥事件则：P(C)P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)
23、18100 827 81100 827 81100494975，故选手甲在 A 区投篮得分的概率为4975.5某制药厂新研制出一种抗感冒药，经临床试验疗效显著，但由于每位患者的身体素质不同，可能有少数患者服用后会出现轻微不良反应，甲、乙、丙三位患者均服用了此抗感冒药，若他们出现轻微不良反应的概率分别是15，13，14.(1)求恰好有一人出现轻微不良反应的概率；(2)求至多有两人出现轻微不良反应的概率；(3)设出现轻微不良反应的人数为，求 的分布列和数学期望解析(1)患者甲出现轻微不良反应，患者乙、丙没有出现轻微不良反应的概率为152334 110；患者乙出现轻微不良反应，患者甲、丙没有出现轻微
24、不良反应的概率为45133415；患者丙出现轻微不良反应，患者甲、乙没有出现轻微不良反应的概率为452314 215，所以，恰好有一人出现轻微不良反应的概率为 P1 11015 2151330.(2)有两人出现轻微不良反应的概率 P2151334451314152314 120 115 130 320.三人均没有出现轻微不良反应的概率 P045233425，所以，至多有两人出现轻微不良反应的概率为251330 3205960.(3)依题意知，的可能取值为 0,1,2,3，由(1)(2)得，P(0)25，P(1)1330，P(2)320，P(3)1251330 320160.于是 的分布列为：0
25、123P251330320160 的数学期望 E025113302 3203 1604760.6(2011天津理)学校游园活动有这样的一游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)()求在 1 次游戏中，()摸出 3 个白球的概率；()获奖的概率；()求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X)解析()()设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i0,1,2,3)，则 P(A3)C23C25C12
26、C2315.()设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 A1A3.又 P(A2)C23C25C22C23C13C12C25 C12C2312，且 A2，A3 互斥，所以 P(B)P(A2)P(A3)1215 710.()由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.P(X0)(1 710)2 9100，P(X1)C12710(1 710)2150，P(X2)(710)2 49100.所以 X 的分布列是X012P9100215049100X 的数学期望 E(X)0 9100121502 4910075.7(2011山东理)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛，甲对 A、乙对
27、 B、丙对 C 各一盘已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立()求红队至少两名队员获胜的概率；()用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E.解析()设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F，则 D，E，F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件因为 P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式知 P(D)0.4，P(E)0.5，P(F)0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立
28、，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE F)P(D E F)P(D EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.()由题意知 可能的取值为 0,1,2,3.又由()知 DE F、D E F、D EF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此 P(0)P(DEF)0.40.50.50.1，P(1)P(DE F)P(D E F)P(D EF)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，P(3)P(DEF)0.60.50.50.15.由对立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以 的分布列为：0
29、123P0.10.350.40.15因此 E00.110.3520.430.151.6.8甲、乙、丙三人组成一组参加一个闯关游戏团体赛三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15.每人闯关成功记 2 分，三人得分之和记为小组团体总分(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；(2)设团体总分为，求随机变量 的分布列和数学期望解析(1)设乙闯关成功的概率为 P1，丙闯关成功的概率为 P2，则由题意得13P116，P1P215.解得 P112，P225.即乙闯关成功的概率为12，丙闯关成功的概率为25.(2)由题意知，的可能取值为 0,2,4,6，
30、且 P(0)(113)(112)(125)15；P(2)13(112)(125)(113)12(125)(113)(112)251330；P(4)(113)122513(112)251312(125)310；P(6)131225 115.所以随机变量 的分布列为0246P151330310115所以 E015213304 3106 1153715.9新研制的药品 R 临床试验，在一个疗程内不起作用的概率为 0.2，对某人进行 5 个疗程观察，若在 5 个疗程均起作用，可定药效为 3 级；若有一个疗程不起作用，可定药效为 2 级；若有两个疗程不起作用，可定药效为 1 级，若有三个疗程及三个疗程以
31、上不起作用可定药效为 0级求新研制的药品 R 药效是多少级？解析 设新研制的药品 R 临床试验不起作用疗程为 X 个，则 XB(5,0.2)，于是 X 有概率分布 P(Xk)Ck50.2k0.85k(k0,1,2,3,4,5)设新研制的药品 R 临床药效为 Y 级，则Yg(X)3，X0，2，X1，1，X2，0，X3.Y 的概率分布为P(Y3)P(X0)0.850.328；P(Y2)P(X1)C150.20.840.410；P(Y1)P(X2)C250.220.830.205；P(Y0)P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)0.057.故研制的药品 R5 个疗程临床药效为EY30.32820
32、.41010.20500.0572.009.10袋子中装有大小形状完全相同的 m 个红球和 n 个白球，其中m，n 满足 mn2 且 mn10(m，nN)若从中取出 2 个球，取出的 2 个球是同色的概率等于取出的 2 个球是异色的概率(1)求 m，n 的值；(2)从袋子中任取 3 个球，设取到红球的个数为，求 的分布列与数学期望解析(1)依题意得C2mC2nC2mn C1mC1nC2mn即(mn)2mn，则 mn 是完全平方数又 mn2，mn10，mn9，mn3.m6，n3.(2)的取值为 0,1,2,3.P(0)C33C39 184，P(1)C23C16C39 314；P(2)C13C26
33、C39 1528，P(3)C36C39 521.的分布列为：0123P1843141528521E0 1841 314215283 5212.112014 年男足世界杯将在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，规则如下：任两支队伍进行比赛，共赛三场，每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为 115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率 P1 和 P2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为，求 的分布列和数学期望解析(1)根据题意知，若甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，甲队获第一名的概率为 P1P216，若乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，乙队获第一名的概率为(1P1)15 115，解得 P123，代入得 P214.甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)由题意知 可能的取值为 0,3,6，0 时，甲队两场比赛皆输，其概率为P(0)(123)(114)14；3 时，甲队两场只胜一场，其概率为P(3)23(114)14(123)712；6 时，甲队两场皆胜，其概率为P(6)231416.的分布列为036P1471216E0143 712616114.高考资源网w w 高 考 资源网
