1、双变量导数6大微专题习题汇编（2022届最新整理）一极值点偏移1.（2016全国1卷）已知函数有两个零点.（1） 求的取值范围；（2） 设是的两个零点，证明：.解析：（1）（）设，则，只有一个零点（）设，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增又，取满足且，则，故存在两个零点（）设，由得或若，则，故当时，因此在单调递增又当时，所以不存在两个零点若，则，故当时，；当时，因此在单调递减，在单调递增又当时，所以不存在两个零点综上，的取值范围为（2）不妨设，由（）知，在单调递减，所以等价于，即由于，而，所以设，则所以当时，而，故当时，从而，故2设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程
2、有两解，证明.解析：（1）由，可知 .因为函数的定义域为，所以，若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；若，则当在内恒成立，函数单调递增；若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.（2）要证，只需证.设 ，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证 .（*）又，所以两式相减，并整理，得 .把 代入（*）式，得只需证，可化为.令，得只需证.令（），则 ，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.注：上面用了处理极值点偏移的两种常见技巧：构造偏移函数和比值代换.更为本质的判定方法请参阅我的公众号文章Hadamard 不等式与极值点偏移判定定理二切线放缩与零点估计3已知函
3、数在点处的切线方程为.（1）求；（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（3）若关于的方程有两个实数根，且，证明：.解：；. . 设的根为，则.曲线在点处的切线方程为，有，设的根为，则.由于.又，所以.4.已知向量.（1） 若函数有两个零点，求的取值范围；（2） 对于（1）中函数图象上的两个不同的点，记直线的斜率为，证明；.三双变量比值代换5已知函数（为自然对数的底数），为的导函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，若存在不相等的实数，使得，证明：（1）由得：，当时，是常函数，不具有单调性；当时，由即可得，由即可得，当时，由即可得，由即可得，综上所
4、述：当时，是常函数，没有单调区间；当时，的单调递区间是，的单调减区间是，（2）当时，由可得；由可得，所以在单调递增，在单调递减，因为存在不相等的实数，使得，当时，当趋近于时，趋近于，所以，所以，即两边同时取对数可得：，即，设，则，且，由可知，而，令，则，所以所以，所以在上单调递减，故，即，所以，则有，即.1.（2022成都二诊）已知函数，其中.（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.解析：（1）因为，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，故令，则在上恒成立，所以在上单调递增，故，所以，即的取值范围是.（2），对函数，设上一点
5、为，过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.，令，则，所以，所以，即所以，令，令，所以在上递增.因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立.所以在上递增.，所以当时，所以的取值范围是.四双变量与值域分析6已知函数.（1）若，求曲线在处切线方程；（2）讨论的单调性；（3）时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.解析：（1）由已知时，故曲线在处切线的方程是，即.（2）定义域为，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，时恒成立，时恒成立，所以在上单调递增，在上单调递减；综上述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3
6、）由已知，转化为在的值域和在的值域满足：，易求.又且，在上单调递增，故值域.所以，解得，即.8已知函数.（1）求的单调区间；（2）设，若对任意，均存在使得，求的取值范围.解析：（1）.当时，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故的单调递增区间是.当时，在区间和上，；区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）设，为增函数，由已知，.据此可得.由（1）可知，当时，在上单调递增，故，所以，解得，故.当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，所以，综上所述，.五 双极值点问题9.（2022佛山二模）已知函数.其中为自然对数的底数.（1）当时，求的单调区间：（2）当时，若有两个极值点，且恒成立，求的最大值.解析：（1）对求导得 当时，当，即，；当，即，；故当时，的递增区间为，递减区间为.（2）当时，由（1）知令，则的两个不等实数解为故 即（或）故不等式恒成立恒成立（*）由于，故，故（*）恒成立令 则 是上的增函数，即最大值为.六 双变量同构10函数，. 若存在，有成立，则的最大值为（ ）A B C D解：另一方面，由于可知，且在上单调递增，由于，故可知.则，最后，令可知.选C