1、课时训练4 充要条件【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.已知A和B是两个命题，如果A是B的充分但不必要条件，那么A是B的（ ）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：“AB”“BA”,“BA”等价于“AB”.2.(2010浙江杭州二中模拟，4)“a2且b2”是“a+b4且ab4”的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：充分性显然，当a=5,b=1时，有a+b4,ab4,但“a2且b2”不成立.3.(2010北京西城区一模，5)设a、b
2、R,则“ab”是“a|b|”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件答案：B解析：ab并不能得到a|b|.如2-5,但2|b|ab.故选B.4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2-x,则p是q的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：p:A=0,1,q:B=x|x-1或x0.AB，p是q的充分不必要条件.5.已知真命题：“ab是cd的充分不必要条件”，和“ad的充分不必要条件”等价于“cdab且abcd”,即cdef但efcd,故选A.6.(2010全国大联考，2)不等式1x0成立的（
3、 ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件答案：A解析：当1x0,tanx0,即tan（x-1）tanx0,但当x=时，（x-1）tanx=(-1)10,而(1,),故选A.7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0,b,cR)则“关于x的不等式ax2+bx+cx有实数解”是“此抛物线顶点在直线y=x下方”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：B解析：ax2+bx+c0,顶点（-）在直线y=x下方-(b-1)24ac+1,故选B.二、填空题（每小题5分，共15分）8.方程3x2-10x+k=0有两个同号
4、且不相等的实根的充要条件是_.答案：0k解析：其充要条件为0k2和q:0,则p是q的_.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）答案：充分不必要解析：p:x1,q:x1,p:-3x1, q:-4x1.p是q的充分不必要条件.10.给出下列各组p与q:(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;(2)p:x=5,q:x-3;(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行；（4）p：两个角相等，q:两个角是对顶角;(5)p:xM,且xP,q:xMP(P,M).其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_.答案：（2）（5）解析：（1）（4）中p是q的必要不充分条件;（3）中p是
5、q的充要条件；（2）（5）满足题意.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.设x、yR,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.证明：充分性：如果xy=0,那么x=0,y0;y=0,x0;x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy0,即x0,y0或x0,y0,y0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|；当x0,y0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,yR,得（x+y）2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x
6、2+2|xy|+y2,|xy|=xy,xy0.解法二：|x+y|=|x|+|y|(x+y)2=(|x|+|y|)2x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy|xy=|xy|xy0.12.已知a,b是实数，求证：a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件？证明你的结论.证明：该条件是必要条件.当a2-b2=1即a2=b2+1时，a4-b4=(b2+1)2-b4=2b2+1.a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1又a4-b4=1+2b2,故a4=(b2+1)2.a2=b2+1，即a2-b2=1故该条件是必要条件.13.已知关于x的方程：（a-6）x2-(a+2)x-1=0.(aR),求方程至少有一负根的充要条件.解析：当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=-.当a6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x1x2=-6.方程有两负根的充要条件是：即2a6.方程至少有一负根的充要条件是：2a6,即a2.14.(1)是否存在实数p，使“4x+p0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；（2）是否存在实数p，使“4x+p0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围.解析：(1)当x2或x0,由4x+p0得x-,故-1时,“x-”“x0”.p4时，“4x+p0”的充分条件.（2）不存在实数p，使“4x+p0”的必要条件.