1、第二讲三角恒等变换1.2020唐山市摸底考试已知sin(-3) =-3cos(-6),则tan 2 =()A. - 43B. - 32C.43D.322.2020湖北部分重点中学高三测试已知sin(4-2x) =35,则sin 4x的值为()A.725B.725C.1825D.18253.2020广东七校联考已知cos(2+) =2cos(-),则tan(4+) =()A.3B.-3C.-13D.134.2020江西红色七校第一次联考已知角以x轴的非负半轴为始边,且终边经过点(2,-3),将角的终边顺时针旋转4后得到角,则tan =()A.-15B.5C.15D.-55.2020陕西省百校第一
2、次联考已知cos(4-) =45,则sin 2 =()A.15B. - 15C.725D. - 7256.2019山东三校联考已知sin 2 =13,则cos2(-4) =()A.13B.16C.23D.897.2019河北六校联考已知(0,),且tan =2,则cos 2+cos =()A.25 - 35B.5 - 35C.5+35D.25+358.2020山东省统考已知cos(+6)-sin =435,则sin(+116) =.9.2020江淮十校联考函数f (x) =sin x+cos x-12cos(2x-32)的最小值为.10.2019江西景德镇二检公元前5世纪,古希腊的毕达哥拉斯提
3、出了黄金分割,黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为m =2sin 18.若m2+n =4,则m+nsin63 =.11.2020广东广州天河区一模已知函数f (x) =sin(2x-6),x(0,),若方程f (x) =35的解为x1,x2(0x1x2),则sin(x1-x2) =()A. - 45B. - 35C. - 23D. - 3312.2019太原市二模已知(0,2),(0,2),且sin 2(1+sin ) =cos (1-cos 2),则下列结论正确的是()A.2- =2B.2+ =2C.+ =2D.- =213.2019唐山市高三摸底考试已知函数f (x) =sin
4、x-sin 3x,x0,2,则f (x)的所有零点之和等于()A.5B.6C.7D.814.2020湖南衡阳测试已知tan(-) =12,tan =-17,且,(0,),则2- =.15.2019江西红色七校联考若02,-20,cos(+4) =13,sin(2+4) =33,则cos(2+) =.16.2019三湘名校联考函数f (x) =sin 2x+2cos x在区间0,上的值域为.17.2019合肥三检已知函数f (x) =2cos(x+4)cos(x-4)+sin x,若对任意的实数x,恒有f (1)f (x)f (2),则cos(1-2) =.18.2020唐山市摸底考试若sin
5、78 =m,则sin 6 =()A.m+12B.1 - m2C.m+12D.1 - m219.2019绵阳市三诊交汇题已知向量a=(sin 2,1),b =(cos ,1),若ab,02,则 =.第二讲三角恒等变换1.A因为sin( - 3)= - 3cos( - 6),所以12sin - 32cos = - 332cos - 312sin ,则2sin = - 3cos ,即tan = - 32,所以tan 2=2tan1 - tan2= - 31 - 34= - 43,故选A.2.A解法一因为sin(4 - 2x)=35,所以22(cos 2x - sin 2x)=35,两边同时平方得12
6、(1 - 2sin 2xcos 2x)=925,所以sin 4x=725,故选A.解法二因为sin(4 - 2x)=35,所以cos(2 - 4x)=1 - 2sin2(4 - 2x)=1 - 2(35)2=725,所以sin 4x=725.故选A.3.Bcos(2+)=2cos( - ), - sin = - 2cos ,tan =2,tan(4+)=tan4+tan1 - tan4tan=1+tan1 - tan= - 3,故选B.4.B由三角函数的定义知tan = - 32,又= - 4,所以tan =tan( - 4)=tan - tan41+tantan4= - 32 - 11+(
7、- 32)1=5,故选B.5.C解法一因为cos(4 - )=45,所以sin 2=sin2 - 2(4 - )=cos 2(4 - )=2cos2(4 - ) - 1=2(45)2 - 1=725.故选C.解法二令4 - =,则=4 - ,因为cos =45,所以sin 2=sin 2(4 - )=sin(2 - 2)=cos 2=2cos2 - 1=2(45)2 - 1=725.故选C.解法三因为cos(4 - )=45,所以22(cos +sin )=45,所以cos +sin =425,两边同时平方得1+sin 2=3225,即sin 2=725.故选C.【技巧点拨】(1)借助“换元”
8、转化,巧解题处理有关三角函数求值问题时,有时需将表示“角”的代数式看作一个整体,借助“换元”的形式,有利于进一步分析、解决问题;(2)借助“平方”变形,巧解题遇到涉及同角的正、余弦函数之和(或之差)类等式问题时,往往需要借助“平方”变形加以灵活处理;(3)借助“加减”变形,巧解题有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系,往往可为灵活运用和差角公式及题设条件创造有利条件.6.Csin 2=cos(2 - 2)=2cos2(4 - ) - 1=13,则cos2( - 4)=cos2(4 - )=23.7.B(0,),tan =2,在第一象限,且cos =55.cos 2+cos =2cos2
9、- 1+cos =2(55)2 - 1+55= - 35+55=5 - 35,故选B.8. - 45cos(+6) - sin =32cos - 32sin =435, - 12cos +32sin =sin( - 6)= - 45,sin(+116)=sin( - 6)+2=sin( - 6)= - 45.9. - 1由诱导公式化简得f (x)=sin x+cos x+12sin 2x,令sin x+cos x=t,t - 2,2,则f (t)=t+12(t2 - 1),t - 2,2,又f (t)=12t2+t - 12=12(t+1)2 - 1,所以函数f (x)的最小值为 - 1.10
10、.22因为m=2sin 18,m2+n=4,所以n=4 - m2=4 - 4sin218=4cos218.所以m+nsin63=2sin18+2cos18sin63=22(22sin18+22cos18)sin63=22sin(18+45)sin63=22.11.A因为0x,所以2x - 6( - 6,116).令2x - 6=2+k(kZ),可得x=3+k2(kZ).因为方程f (x)=35的解为x1,x2(0x1x2),所以x1+x22=3,所以x2=23 - x1,所以sin(x1 - x2)=sin(2x1 - 23)= - cos(2x1 - 6).因为x1x2,x2=23 - x1
11、,所以0x13,所以2x1 - 6( - 6,2).由f (x1)=sin(2x1 - 6)=35,得cos(2x1 - 6)=45,所以sin(x1 - x2)= - 45.故选A.12.A解法一因为(0,2),(0,2),所以由sin 2(1+sin )=cos (1 - cos 2),得sin21 - cos2=cos1+sin,所以2sincos2sin2=sin(2 - )1+cos(2 - ),所以cossin=2sin(4 - 2)cos(4 - 2)2cos2(4 - 2),所以sin(2 - )cos(2 - )=sin(4 - 2)cos(4 - 2),所以tan(2 -
12、)=tan(4 - 2).又2 - (0,2),4 - 2(0,4),函数y=tan x在区间(0,2)上单调递增,所以2 - =4 - 2,即2 - =2,故选A.解法二tan =sincos=2sin22sincos=1 - cos2sin2,tan(4+2)=sin(4+2)cos(4+2)=2sin2(4+2)2sin(4+2)cos(4+2)=1 - cos(2+)sin(2+)=1+sincos,由sin 2(1+sin )=cos (1 - cos 2),得1+sincos=1 - cos2sin2,则tan =tan(4+2).又(0,2),4+2(4,2),函数y=tan x
13、在区间(0,2)上单调递增,所以=4+2,即2 - =2,故选A.13.Cf (x)=sin x - sin 3x=sin(2x - x) - sin(2x+x)= - 2cos 2xsin x,令f (x)=0,可得cos 2x=0或sin x=0,x0,2,2x0,4,由cos 2x=0可得2x=2或2x=32或2x=52或2x=72,x=4或x=34或x=54或x=74,由sin x=0可得x=0或x=或x=2,4+34+54+74+0+2=7,f (x)的所有零点之和等于7,故选C.14. - 34易知tan(2 - )=tan2( - )+.因为tan( - )=12,所以tan 2
14、( - )=2tan( - )1 - tan2( - )=43,故tan(2 - )=tan2( - )+tan1 - tan2( - )tan=1.由tan = - 17( - 33,0),知56,由tan =tan( - )+=13(0,33),知06,所以2 - ( - , - 2),故2 - = - 34.15.2327因为02,所以4+434,又cos(+4)=13,所以sin(+4)=223,sin 2(+4)=2sin(+4)cos(+4)=429,cos 2(+4)=2cos2(+4) - 1= - 79.因为 - 20,所以02+40;当x(6,56)时,f (x)0,所以sin 6=1 - m2,故选D.19.6若ab,则sin 2 - cos =0,即2sin cos =cos .又02,cos 0,sin =12,=6.