1、6.3等比数列探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.等比数列及其性质(1)理解等比数列的概念.(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.(4)了解等比数列与指数函数的关系2019课标,14,5分等比数列的通项公式及前n项和公式2018课标,17,12分等比数列的通项公式及前n项和公式指数的运算2017课标,3,5分等比数列的前n项和公式数学文化为背景的应用问题2016课标,15,5分等比数列的通项公式最值问题2.等比数列的前n项和2016课标,17,12分等比数列的判定由an与
2、Sn的关系求数列的通项公式2015课标,4,5 分 等比数列的通项公式分析解读本节是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题.考查学生的数学运算和逻辑推理能力以及学生对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用.破考点 练考向【考点集训】考点一等比数列及其性质1.(2020届贵州贵阳摸底,10)等比数列an的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=()A.12B.10C.8D.2+log35答案B2.(2019湖南衡阳一模,8)在等比
3、数列an中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是()A.6B.-8,8C.-8D.8答案D3.(2018天津滨海新区七所重点学校联考,11)等比数列an中,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a13+a14a14+a15=.答案2-1考点二等比数列的前n项和1.(2020届重庆一中10月月考,7)等比数列an的前n项和为Sn,且3a2,2a3,a4成等差数列,则S3a3=()A.139B.3或139C.3D.79或139答案B2.(2020届四川天府名校第一次联考,4)已知数列an各项都是正数,且满足an+2an=an+12(nN*),a5=16,a7=64,则数
4、列an的前3项的和等于()A.7B.15C.31D.63答案A3.(2019湖南郴州一模,6)在数列an中,满足a1=2,an2=an-1an+1(n2,nN*),Sn为an的前n项和,若a6=64,则S7的值为()A.126B.256C.255D.254答案D炼技法 提能力【方法集训】方法等比数列的判定与证明1.(2020届安徽合肥一中9月月考,11)关于数列an,给出下列命题:数列an满足an=2an-1(n2,nN*),则数列an是公比为2的等比数列;“a,b的等比中项为G”是“G2=ab”的充分不必要条件;数列an是公比为q的等比数列,则其前n项和Sn=a1(1-qn)1-q;等比数列
5、an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,其中,真命题的序号是()A.B.C.D.答案C2.下列结论正确的是()A.若数列an的前n项和Sn=n2+n+1,则an为等差数列B.若数列an的前n项和Sn=2n-2,则an为等比数列C.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则1a,1b,1c也可能构成等差数列D.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等比数列,则1a,1b,1c一定构成等比数列答案D3.(2019四川宜宾第三次诊断,17)设数列an的前n项和为Sn,Sn=32an-1.(1)求证:an是等比数列;(2)求an的通项公式,并判断an中是否存在
6、三项成等差数列.若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:当n=1时,a1=32a1-1,a1=2.当n2时,Sn=32an-1,Sn-1=32an-1-1,an=32an-32an-1,an=3an-1.an0,anan-1=3,an是等比数列.(2)由(1)知,数列an是等比数列,且首项为2,公比为3,an=23n-1,nN*,数列an各项都是正的,且是单调递增的.假设数列an中存在三项ar,as,at(其中r,s,tN*)构成等差数列,不妨设rst,则ar+at=2as,即23r-1+23t-1=223s-1,即3r+3t=23s,即3r-s+3t-s=2.rs0+31=
7、3,这与3r-s+3t-s=2相矛盾,数列an中不存在三项构成等差数列.【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一等比数列及其性质1.(2019课标,5,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2答案C2.(2016课标,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.答案643.(2018课标全国,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=ann.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是不是等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.解
8、析(1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n2n-1.4.(2016课标,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求.解析(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=11-
9、,a10.由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1an=-1.因此an是首项为11-,公比为-1的等比数列,于是an=11-1n-1.(2)由(1)得Sn=1-1n.由S5=3132得1-15=3132,即-15=132.解得=-1.思路分析(1)先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是不是非零常数,其中说明an0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出.考点二等比数列的前n项和1.(2017课标,3,5分)我国古代数学名著算
10、法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B2.(2019课标,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5=.答案12133.(2018课标,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.解析本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q
11、=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.易错警示解方程时,对根的检验易漏.求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、取值,避免产生错解.解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)求通项公式.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项公式便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.
12、(4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.B组自主命题省(区、市)卷题组考点一等比数列及其性质1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.32fB.322fC.1225fD.1227f答案D2.(2016天津,5,5分)设an是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q0”是“对任意的正
13、整数n,a2n-1+a2n1,则()A.a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4D.a1a3,a2a4答案B2.(2015课标,4,5分)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84答案B3.(2012课标,5,5分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D4.(2016四川,19,12分)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-y
14、2an2=1的离心率为en,且e2=53,证明:e1+e2+en4n-3n3n-1.解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)证明:由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=1+an2=1+q2
15、(n-1).由e2=1+q2=53,解得q=43.因为1+q2(k-1)q2(k-1),所以1+q2(k-1)qk-1(kN*).于是e1+e2+en1+q+qn-1=qn-1q-1,故e1+e2+en4n-3n3n-1.5.(2015江苏,20,16分)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列.(1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列;(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.解析(1)证明
16、:因为2an+12an=2an+1-an=2d(n=1,2,3)是同一个常数,所以2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列.(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(ad,a-2d,d0).假设存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=da,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4-12t-13,t0,则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).将上述两个等式两边
17、取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).化简得2kln(1+2t)-ln(1+t)=n2ln(1+t)-ln(1+2t),且3kln(1+3t)-ln(1+t)=n3ln(1+t)-ln(1+3t).再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(*).令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1+t),则g(t)=2(1+3t)2ln(1+
18、3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)(1+t)(1+2t)(1+3t).令(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则(t)=6(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t).令1(t)=(t),则1(t)=63ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t).令2(t)=1(t),则2(t)=12(1+t)(1+2t)(1+3t)0.由g(0)=(0)=1(0)=2(0)=0,2(t)0,知2(t),1(t),(t),g(t)在-13,0和(0,+)上均
19、单调.故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(*)只有唯一解t=0,故假设不成立.所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列.评析 本题考查等差数列的定义、等比数列的运算和综合应用,考查演绎推理、直接证明、间接证明等逻辑思维能力.考点二等比数列的前n项和1.(2013课标,3,5分)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.19D.-19答案C2.(2015安徽,14,5分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于.答案2n-13.(20
20、15山东,18,12分)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.解析(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1,所以an=3,n=1,3n-1,n1.(2)因为anbn=log3an,所以b1=13,当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以T1=b1=13;当n1时,Tn=b1+b2+b3+bn=13+13-1+23-2+(n-1)31-n,
21、所以3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n,两式相减,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=23+1-31-n1-3-1-(n-1)31-n=136-6n+323n,所以Tn=1312-6n+343n(n1).经检验,n=1时也适合.综上可得Tn=1312-6n+343n(nN*).4.(2014课标,17,12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明1a1+1a2+1an32.解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是
22、首项为32,公比为3的等比数列.所以an+12=3n2,因此an的通项公式为an=3n-12.(2)由(1)知1an=23n-1.因为当n1时,3n-123n-1,所以13n-1123n-1.于是1a1+1a2+1an1+13+13n-1=321-13n32.所以1a1+1a2+1an1的n的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案C3.(2020届黑龙江哈尔滨三中月考,10)定义在(-,0)(0,+)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,若f(an)仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-,0)(0,+)上的如下函数:f(x)=x3;f(x)=ex;f(x)
23、=|x|;f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的序号为()A.B.C.D.答案C4.(2019福建宁德期末质量检测,11)某市利用第十六届省运会的契机,鼓励全民健身,从2018年7月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知7月份投放A型健身器材300台,B型健身器材64台,计划从8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2 000台,则a的最小值为()A.243B.172C.122D.74答案D5.(2018河南六市第一次联考(一模),10)若正项递增等比数列an满足1+(a2-a4)+(a
24、3-a5)=0(R),则a6+a7的最小值为()A.-2B.-4C.2D.4答案D6.(2018湖南湘潭三模,9)已知等比数列an的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=-89,则当Tn取最大值时,n的值为()A.2B.3C.4D.6答案C二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2020届云南师大附中高三月考,13)记Sn为等比数列an的前n项和,若3S4=2S3+S5,a2=4,则a6=.答案648.(2020届江西宜春重点高中第一次月考,15)若存在等比数列an,使得a1(a2+a3)=6a1-9,则公比q的取值范围为.答案-1-52,00,-1+529.(2019河南洛阳第二次统考,14
25、)等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a8a13=64,则log2a1+log2a2+log2a20=.答案50三、解答题(共20分)10.(2020届五省创优名校第二次联考,17)设等比数列an的前n项和为Sn,a1+a3=10,S4=40.(1)求an的通项公式;(2)若bn=(n+2)log3an+1,求1bn的前n项和Tn.解析本题考查了等比数列通项公式及求和公式的应用,考查了裂项相消法求和,主要考查考生的数学运算和逻辑推理能力.(1)设等比数列an的公比为q,显然q1,则a1+a1q2=a1(1+q2)=10,a1(1-q4)1-q=a1(1+q2)(1+q)=40,解得a1
26、=1,q=3,故an=a1qn-1=3n-1.(2)因为an=3n-1,所以an+1=3n,所以bn=(n+2)log3an+1=n(n+2),所以1bn=1n(n+2)=121n-1n+2,故Tn=121-13+12-14+13-15+14-16+1n-1-1n+1+1n-1n+2,即Tn=121+12-1n+1-1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2).11.(2020届陕西百校联盟九月联考,17)记首项为1的数列an的前n项和为Sn,且23nSn=(3n-1)an+1.(1)求证:数列an是等比数列;(2)若bn=(-1)n(log9an)2,求数列bn的前2n项和.解析(1)证明
27、:依题意,得2Sn=1-13nan+1,2Sn+1=1-13n+1an+2,(1分)两式相减,可得1-13n+1(an+2-3an+1)=0,故an+2=3an+1,(3分)又6S1=2a2,故a2=3a1,(4分)故数列an是以1为首项,3为公比的等比数列.(5分)(2)由(1)可知an=3n-1,所以bn=(-1)n(log9an)2=(-1)n(log93n-1)2=14(-1)n(n-1)2,(7分)故b2n-1+b2n=14(-1)2n-1(2n-2)2+(-1)2n(2n-1)2=14(4n-3),(8分)记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n=141+5+9+(4n-3)=12n2-14n.(10分)