1、唐山市海港高级中学 2019-2020 学年度高三年级测试文科数学试卷出题人：崔兰乾一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1已知集合 Ax|x22x30，Bx|yln(x2)，则 AB()A(2，1 B(2,3 C(2,1 D2,12若复数1bi2i(bR)的实部与虚部相等，则 b 的值为()A6 B3 C3 D63函数 ycos2x4 是()A周期为 的奇函数B周期为 的偶函数C周期为 2 的奇函数D周期为 2 的偶函数4已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x2y30 垂直，则 sin2 的值为()A.35B.45C.15D155设 a20.1，blg52，clog3
2、910，则 a，b，c 的大小关系是()AbcaBacbCbacDabc6已知互不重合的直线 a，b，互不重合的平面，给出下列四个命题，错误的命题是()A若 a，a，b，则 abB若，a，b 则 abC若，a，则 aD若，a，则 a7小亮、小明和小红约好周六骑共享单车去森林公园郊游，他们各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这 3 种颜色的单车中选择 1 种，则他们选择相同颜色自行车的概率为()A.13B.19C.23D.498已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足OA OB OC 0，则下列结论正确的是()A.OA 13AB23BCB.OA 23AB13BCC.OA 13AB23BCD.
3、OA 23AB13BC9已知双曲线 E：x24y221，直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点坐标为12，1，则 l的方程为()A4xy10 B2xy0C2x8y70 Dx4y3010函数sin3()1 cos2xf xx 在(),22上的图象大致为（）ABCD11已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|()A4 B6 C8 D1012已知四棱锥 S-ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，SD平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，ABCD 且满足 AB2AD2DC2，且DAB
4、3，SC 2，则球 O 的表面积是()A5 B4C3 D2第卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a113，S3S11，则 Sn 的最大值为_14ABC 的三内角 A，B，C 的对边边长分别为 a，b，c，若 a 52 b，A2B，则 cosB_15在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60，点 E 和点 F 分别在线段 BC和 DC 上，BEBC，DF 19DC，则AEAF的最小值为_16已知函数 f(x)xalnx(a0)，若x1，x212，1(x1x2)，|f(x1)f(x2)|1x11x2，则正数 a 的取
5、值范围是_.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)已知等比数列an的前 n 项和 Sn2na，nN*，设公差不为零的等差数列bn满足：b1a12，且b25，b45，b85 成等比数列(1)求 a 的值及数列bn的通项公式；(2)设数列log2an的前 n 项和为 Tn.求使 Tnbn 的最小正整数 n.18(本小题满分 12 分)“工资条里显红利，个税新政入民心”随着 2019 年新年钟声的敲响，我国自 1980 年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段某 IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在 26
6、 岁35 岁(2009 年2018 年)之间各年的月平均收入 y(单位：千元)的散点图：(1)由散点图知，可用回归模型 yblnxa 拟合 y 与 x 的关系，试根据有关数据建立 y 关于 x 的回归方程；(2)如果该 IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为 3 000 元/月，试利用(1)的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他 36 岁时每个月少缴纳的个人所得税附注：1.参考数据：i110 xi55，i110yi155.5，i110(xi x)282.5，i110(xi x)(yi y)94.9，i110ti15.1，i110(ti t)24.84，i110(ti t)(
7、yi y)24.2，其中 tilnxi；取 ln112.4，ln363.6.2参考公式：回归方程 vbua 中斜率和截距的最小二乘估计分别为bi1nui u vi v i1nui u 2，a v bu.3新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下：19(本小题满分 12 分)如图，AB 是O 的直径，点 C 是AB上一点，VC 垂直O 所在平面，D，E 分别为 VA，VC 的中点(1)求证：DE平面 VBC；(2)若 VCCA6，O 的半径为 5，求点 E 到平面 BCD 的距离20(本小题满分 12 分)已知直线 yx1 与函数 f(x)aexb 的图象相切，且 f(1)e.
8、(1)求实数 a，b 的值；(2)若存在 x0，32，使得 2mf(x1)nf(x)mx(m0)成立，求nm的取值范围21(本小题满分 12 分)已知中心在原点 O，左焦点为 F1(1，0)的椭圆 C 的左顶点为 A，上顶点为 B，F1 到直线 AB 的距离为77|OB|.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若椭圆 C1 的方程为：x2m2y2n21(mn0)，椭圆 C2 的方程为：x2m2y2n2(0，且 1)，则称椭圆C2 是椭圆 C1 的 倍相似椭圆已知 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆，若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2 于两点 M、N，试求弦长|MN|的取值范围请考生在 2
9、2、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的极坐标方程为 2cos，若极坐标系内异于 O 的三点 A(1，)，B(2，6)，C(3，6)(1，2，30)都在曲线 M 上(1)求证：3123；(2)若过 B，C 两点的直线的参数方程为x2 32 t，y12t(t 为参数)，求四边形 OBAC 的面积23(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲设函数 f(x)|x2|x2|.(1)解不等式 f(x)2；(2)当 xR，0ycaBacbCbacDabc
10、解析：D因为 a20.1(1,2)，blg52(0,1)，clog3910bc.6已知互不重合的直线 a，b，互不重合的平面，给出下列四个命题，错误的命题是()A若 a，a，b，则 abB若，a，b 则 abC若，a，则 aD若，a，则 a解析：选 D.在 A 中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线 a，b 平行，故正确B 中，满足条件的直线 a，b 垂直，故正确C 中，由面面垂直的性质可得，交线 a 与 垂直，故正确D 中，直线 a 与 可能平行，也可能在 内，故不正确综上 D 不正确7小亮、小明和小红约好周六骑共享单车去森林公园郊游，他们各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这 3 种颜
11、色的单车中选择 1 种，则他们选择相同颜色自行车的概率为()A.13B.19C.23D.49解析：B3 人选 3 种不同的车共有 3327 种选择，3 人选相同颜色自行车共 3 种情况则所求概率 P 32719，故选 B.8已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足OA OB OC 0，则下列结论正确的是()A.OA 13AB23BCB.OA 23AB13BCC.OA 13AB23BCD.OA 23AB13BC解析：选 B 因为OA OB OC 0，所以 O 为ABC 的重心，所以OA 2312(ABAC)13(ABAC)13(ABABBC)23AB13BC.9已知双曲线 E：x24y221
12、，直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点坐标为12，1，则 l的方程为()A4xy10 B2xy0C2x8y70 Dx4y30解析：C 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y2121，且x224y2221，相减得x21x224y21y222，即y1y2x1x212x1x2y1y2.又线段 AB 的中点坐标是12，1，因此 x1x22121，y1y2(1)22，则y1y2x1x214，即直线 AB 的斜率为14，直线 l 的方程为 y114x12，即 2x8y70.10函数sin3()1 cos2xf xx 在(),22上的图象大致为（）ABCD【答案】C【解析】
13、()()fxf x，()f x 为奇函数，D 不对，sin3()1 cos2xf xx 在(),22上的零点为0，3，A 不对，又(0)6f，B 不对11已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|()A4 B6 C8 D10解析：B 解法 1：如图，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线 l：x2 与 x 轴交于点 F，作MBl 于点 B，NAl 于点 A，则|AN|2，|FF|4.在直角梯形 ANFF中，由中位线定理，知|BM|AN|FF|23.由抛物线的定义，知|MF|MB|3，结合题意，有|MN
14、|MF|3，所以|FN|FM|MN|6，故选 B.解法 2：设 N(0，a)，由题意知 F(2,0)，则 M(1，a2)，因为点 M 在抛物线上，所以a24 8，解得 a4 2，所以 N(0，4 2)，所以|FN|20204 226，故选 B.12已知四棱锥 S-ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，SD平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，ABCD 且满足 AB2AD2DC2，且DAB3，SC 2，则球 O 的表面积是()A5 B4C3 D2解析：选 A.依题意得，AB2AD2，DAB3，由余弦定理可得 BD 3，则 AD2DB2AB2，则ADB2，又四边形 ABCD 是等腰梯形，
15、故四边形 ABCD 的外接圆直径为 AB，设 AB 的中点为 O1，球的半径为 R，因为 SD平面 ABCD，所以 R212SD2254，则 S4R25，故选 A.第卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a113，S3S11，则 Sn 的最大值为_解析：答案：49因为 S3S11，可得 3a13d11a155d，把 a113 代入得 d2.故 Sn13nn(n1)n214n，根据二次函数性质，当 n7 时，Sn 最大且最大值为 49.14ABC 的三内角 A，B，C 的对边边长分别为 a，b，c，若 a 52 b，A2B，则 cosB_解析
16、：54因为ABC 中，a 52 b，A2B，所以根据正弦定理得sinA 52 sinB，sinAsin2B2sinBcosB，所以 cosB 54.15在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60，点 E 和点 F 分别在线段 BC和 DC 上，BEBC，DF 19DC，则AEAF的最小值为_解析：2918解法 1 基底法：由题意，得 ADCDBC1，AB2，AEAF(ABBE)(AD DF)(ABBC)AD 19DCABAD BCAD 19ABDC 19BCDC|AB|AD|cos60|BC|AD|cos60 19|AB|DC|cos019|BC|DC|cos1202
17、1122 29 11817182 29171822 292918(当且仅当 23时，等号成立)解法 2 坐标法：如图，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，过点 D 作 DGAB 交 AB 于点 G，过点C 作 CHAB 交 AB 于点 H，由题意得，ABDC，AB2，ADBC1，ABC60，AGBHADcos6012，同理，DGCH 32，A(0,0)，B(2,0)，C32，32，D12，32，BC12，32，DC(1,0)，AB(2,0)，AD 12，32.BEBC2，32，DF 19DC 19，0，AEABBE22，32，AFAD DF 12 19，32，AEAF22，3212 19，3
18、2 1718 292171822 291718232918(当且仅当 23时等号成立)16已知函数 f(x)xalnx(a0)，若x1，x212，1(x1x2)，|f(x1)f(x2)|1x11x2，则正数 a 的取值范围是_.解析：32，由 f(x)xalnx(a0)，得当 x12，1 时，f(x)1ax0，f(x)在12，1 上单调递增，不妨设 x1x2，则|f(x1)f(x2)|1x11x2，即 f(x1)f(x2)1x21x1，f(x1)1x1f(x2)1x2，令 g(x)f(x)1x，则 g(x)在12，1 上单调递增，所以 g(x)1ax1x20 在12，1 上恒成立，ax1x21
19、，即 a1xx 在12，1 上恒成立，令 h(x)1xx，x12，1，则 h(x)11x20，h(x)单调递减，h(x)bn 的最小正整数 n.解：(1)当 n1 时，a1S12a；1 分当 n2 时，anSnSn12n1.因为an为等比数列，所以 2a1，解得 a1.所以 an2n1.3 分设数列bn的公差为 d.因为 b25，b45，b85 成等比数列，所以(b45)2(b25)(b85)，4 分又 b13，所以(83d)2(8d)(87d)，解得 d0(舍去)或 d8.所以 bn8n5.6 分(2)由 an2n1，得 log2an2(n1)，7 分所以log2an是以 0 为首项，2 为
20、公差的等差数列，所以 Tnn（02n2）2n(n1)8 分由 bn8n5，Tnbn，得 n(n1)8n5，10 分即 n29n50，因为 nN*，所以 n9.故所求 n 的最小正整数为 9.12 分18(本小题满分 12 分)“工资条里显红利，个税新政入民心”随着 2019 年新年钟声的敲响，我国自 1980 年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段某 IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在 26 岁35 岁(2009 年2018 年)之间各年的月平均收入 y(单位：千元)的散点图：(1)由散点图知，可用回归模型 yblnxa 拟合 y 与
21、 x 的关系，试根据有关数据建立 y 关于 x 的回归方程；(2)如果该 IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为 3 000 元/月，试利用(1)的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他 36 岁时每个月少缴纳的个人所得税附注：1.参考数据：i110 xi55，i110yi155.5，i110(xi x)282.5，i110(xi x)(yi y)94.9，i110ti15.1，i110(ti t)24.84，i110(ti t)(yi y)24.2，其中 tilnxi；取 ln112.4，ln363.6.2参考公式：回归方程 vbua 中斜率和截距的最小二乘估计分别为bi1
22、nui u vi v i1nui u 2，a v bu.3新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下：解：(1)令 tlnx，则 ybta.1 分bi110ti t yi y i110ti t 224.24.845，3 分y i110yi10 155.510 15.55，t i110ti10 15.110 1.51，5 分a y bt 15.5551.518，所以 y 关于 t 的回归方程为 y5t8.因为 tlnx，所以 y 关于 x 的回归方程为 y5lnx8.6 分(2)由(1)得该 IT 从业者 36 岁时月平均收入为y5ln11852.4820(千元)7 分旧个税政策
23、下每个月应缴纳的个人所得税为：1 5003%3 00010%4 50020%(20 0003 5009 000)25%3 120(元)9 分新个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为 3 0003%(20 0005 0003 0003 000)10%990(元)11 分故根据新旧个税政策，该 IT 从业者 36 岁时每个月少缴纳的个人所得税为3 1209902 130(元)12 分19(本小题满分 12 分)如图，AB 是O 的直径，点 C 是AB上一点，VC 垂直O 所在平面，D，E 分别为 VA，VC 的中点(1)求证：DE平面 VBC；(2)若 VCCA6，O 的半径为 5，求点 E 到平面
24、 BCD 的距离解：(1)证明：因为 AB 是O 的直径，C 是AB上一点，所以 ACCB.又因为 VC 垂直O 所在平面，所以 VCAC，1 分又 VCBCC，所以 AC平面 VCB.3 分又因为 D，E 分别为 VA，VC 的中点，所以 DEAC，所以 DE平面 VCB.4 分(2)由(1)知，ACCB，又 VC 垂直O 所在的平面，所以 VCBC，又 VCACC，所以 BC平面 VAC，6 分又 CD平面 VAC，所以 BCCD，在 RtACB 中可求得 BC8，在 RtDEC 中，由 DE12AC3，CE12VC3，DEC2 得 CD3 2，8 分设点 E 到平面 BCD 的距离为 d
25、，由 VEBCDVBCDE 得13dSBCD13BCSCDE，即13d12BCCD13BC12DECE，10 分代入数据得13d1283 21381233，所以 d8921283 2 93 2 323 22，即点 E 到平面 BCD 的距离为3 22.12 分20(本小题满分 12 分)已知直线 yx1 与函数 f(x)aexb 的图象相切，且 f(1)e.(1)求实数 a，b 的值；(2)若存在 x0，32，使得 2mf(x1)nf(x)mx(m0)成立，求nm的取值范围解：(1)设直线 yx1 与函数 f(x)aexb 的图象的切点为(x0，f(x0)由 f(x)aexb 可得 f(x)a
26、ex.2 分由题意可得aex01，x01aex0baee，解得 a1，b0.4 分(2)由(1)可知 f(x)ex，则存在 x0，32，使 2mf(x1)nf(x)mx(m0)成立，等价于存在 x0，32，使 2mex1nexmx 成立5 分所以nmx2ex1ex，x0，32.6 分设 g(x)x2ex1ex，x0，32，则 g(x)1xex，7 分当 x(0，1)时，g(x)0，g(x)在(0，1)上单调递增，当 x1，32 时，g(x)0，g(x)在1，32 上单调递减9 分所以 g(x)max1e，g(0)2e，g 32 32e322e，g(0)g 32 32e32n0)，椭圆 C2 的
27、方程为：x2m2y2n2(0，且 1)，则称椭圆C2 是椭圆 C1 的 倍相似椭圆已知 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆，若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2 于两点 M、N，试求弦长|MN|的取值范围解：(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，所以直线 AB 的方程为 xayb1，所以 F1(1，0)到直线 AB 的距离 d|bab|a2b2 77 b，即 a2b27(a1)2，2 分又 b2a21，解得 a2，b 3，故椭圆 C 的方程为x24y231.4 分(2)椭圆 C 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为x212y291，若切线 l 垂直于 x 轴，则其方程
28、为 x2，易求得|MN|2 6，5 分若切线 l 不垂直于 x 轴，可设其方程为 ykxb，将 ykxb 代入椭圆 C 的方程，得(34k2)x28kbx4b2120，所以(8kb)24(34k2)(4b212)48(4k23b2)0，即 b24k23，(*)7 分记 M、N 两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，将 ykxb 代入椭圆 C2 的方程，得(34k2)x28kbx4b2360，此时：x1x2 8kb34k2，x1x24b23634k2，8 分|x1x2|4 3（12k29b2）34k2，所以|MN|1k24 3（12k29b2）34k24 61k234k22 61134
29、k2，10 分因为 34k23，所以 11134k243，即 2 60)都在曲线 M 上(1)求证：3123；(2)若过 B，C 两点的直线的参数方程为x2 32 t，y12t(t 为参数)，求四边形 OBAC 的面积解：(1)证明：由题意得 12cos，22cos(6)，32cos(6)，3 分则 232cos(6)2cos(6)2 3cos 31.5 分(2)由曲线 M 的极坐标方程得曲线 M 的直角坐标方程为 x2y22x0，将直线 BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得 t2 3t0，解得 t10，t2 3，7 分在平面直角坐标系中，B(12，32)，C(2,0)，则 21，32，6，1 3.9 分四边形 OBAC 的面积 SSAOBSAOC1212sin61213sin63 34.10 分23(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲设函数 f(x)|x2|x2|.(1)解不等式 f(x)2；(2)当 xR，0y1 时，证明：|x2|x2|1y 11y.解：(1)由已知可得f(x)4，x22x，2x2，4，x2所以，f(x)2 的解集为x|x15 分(2)证明：由(1)知，|x2|x2|4，1y 11y1y 11y y(1y)21yy y1y4(当且仅当 y12时取等号)，所以|x2|x2|1y 11y.10 分
