1、第三讲等比数列及其前n项和1.2020陕西省部分学校摸底检测等比数列an中,若an0,a2a4 =1,a1+a2+a3 =7,则公比q =()A.14B.12C.2D.42.2020南昌市测试公比不为1的等比数列an中,若a1a5 =aman,则mn不可能为()A.5B.6C.8D.93.2020惠州市一调等比数列an的前n项和为Sn,公比为q,若S6 =9S3,S5 =62,则a1 =()A.2B.2C.5D.34.2020成都市高三摸底测试已知等比数列an的各项均为正数,若log3a1+log3a2+log3a12 =12,则a6a7 =()A.1B.3C.6D.95.2020大同市高三调
2、研已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3 =5,a7a8a9 =10,则a4a5a6 =.6.2019长春市高三第一次质量监测各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,已知S6 =30,S9 =70,则S3 =.7.2020河北邢台月考已知等比数列an的前n项和Sn =3n-1-m,mR.(1)求m及an;(2)记bn =an+log3an,求数列bn的前n项和Tn.8.2020石家庄市重点高中高三摸底测试已知等比数列an满足:a1 =4,Sn =pan+1+m(p0),则p-1m取最小值时,数列an的通项公式为()A.an =43n-1B.an =34n-1 C.an =2n+1D
3、.an =4n9.2019长春市高三质量监测已知Sn是等比数列an的前n项和,若公比q =2,则a1+a3+a5S6 =()A.13B.17C.23D.3710.设Tn为等比数列an的前n项之积,且a1 =-6,a4 =-34,则当Tn最大时,n的值为()A.4B.6C.8D.1011.2020安徽省示范高中名校联考设Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和,a1 =3,若-a4,a3,a5成等差数列,则Sn与an的关系式为.12.2019河南新乡一模设Sn是数列an的前n项和,且a1 =1,(n+1)an+1 =(n-1)Sn,则Sn =.13.已知公比q1的等比数列an满足a52 =a1
4、0,2(an+an+2) =5an+1.若bn =(n-)an(nN*),且数列bn是递增数列,则实数的取值范围是.14.2020湖北部分重点中学高三测试已知数列an是等比数列,Sn为数列an的前n项和,且a3 =3,S3 =9.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn =log23a2n+3,且bn为递增数列,若cn =4bnbn+1,求证:c1+c2+c3+cn0,a10,因为a2a4=1,a1+a2+a3=7,所以a1qa1q3=1,a1+a1q+a1q2=7,解得a1=4,q=12,故选B.解法二由等比数列的性质得a32=a2a4=1,结合an0,得a3=1.由a1+a2+a3=7,得
5、a3q2+a3q+a3=7,则1q2+1q=6,结合q0,解得q=12,故选B.2.B由等比数列的性质可知,m+n=6,mN*,nN*,当m=n=3时,mn=9;当m=4,n=2时,mn=8;当m=5,n=1时,mn=5.故选B.3.B由题意可得q1,且a1(1 - q6)1 - q=9a1(1 - q3)1 - q,a1(1 - q5)1 - q=62,即q3=8,a1(1 - q5)1 - q=62,解得q=2,a1=2,故选B.4.D因为等比数列an的各项均为正数,所以log3a1+log3a2+log3a12=log3(a1a2a12)=log3 (a6a7)6=12,所以(a6a7)
6、6=312=96,所以a6a7=9,故选D.5.52各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=a23=5,a7a8a9=a83=10,则a4a5a6=a53=a23a83=52.6.10解法一设数列an的公比为q(q0且q1),由题意可得S6=a1(1 - q6)1 - q=30,S9=a1(1 - q9)1 - q=70,得1 - q61 - q9=1+q31+q3+q6=37,结合q0,得q3=2,由S3S6=a1(1 - q3)1 - qa1(1 - q6)1 - q=11+q3=13,得S3=13S6=10. 解法二由题意可得(S6 - S3)2=S3(S9 - S6),即(30 -
7、 S3)2=40S3,即S32 - 100S3+900=0,解得S3=10或S3=90.又数列an的各项均为正数,所以S30,p= - m4,m= - 4p,p - 1m=p+14p2p14p=1,当且仅当p=14p,即p=12时取等号,此时等比数列an的公比为 p+1p=3,an=43n - 1.9.A解法一由题意知a1+a3+a5=a1(1+22+24)=21a1,而S6=a1(1 - 26)1 - 2=63a1,所以a1+a3+a5S6=21a163a1=13,故选A.解法二由题意知S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a3+a5+(a2+a4+a6)=a1+a3+a5+2(a
8、1+a3+a5)=3(a1+a3+a5),故a1+a3+a5S6=13,故选A.10.A设等比数列an的公比为q,a1= - 6,a4= - 34, - 34= - 6q3,解得q=12,an= - 6(12)n - 1.Tn=( - 6)n(12)0+1+2+(n - 1)=( - 6)n(12)n(n - 1)2,当n为奇数时,Tn0,故当n为偶数时,Tn才有可能取得最大值.T2k=36k(12)k(2k - 1),T2k+2T2k=36k+1(12)(k+1)(2k+1)36k(12)k(2k - 1)=36(12)4k+1,当k=1时,T4T2=981,当k2时,T2k+2T2k1.T
9、2T6T8,则当Tn最大时,n的值为4.故选A.11.Sn=2an - 3设等比数列an的公比为q,因为数列an的各项均为正数,所以q0.由 - a4,a3,a5成等差数列,得2a3=a5 - a4,则q2 - q - 2=0,解得q=2,所以Sn=a1(1 - qn)1 - q=a1 - anq1 - q=2an - a1,即Sn=2an - 3.12.2n - 1n(n+1)an+1=(n - 1)Sn,nan+1+Sn+1=nSn,n(Sn+1 - Sn)+Sn+1=nSn,(n+1)Sn+1nSn=2,nSn是首项为1,公比为2的等比数列,则nSn=2n - 1,Sn=2n - 1n.
10、13.( - ,3)2(an+an+2)=5an+12q2 - 5q+2=0q=2或q=12(舍去),a52=a10(a1q4)2=a1q9a1=q=2,所以数列an的通项公式为an=2n,所以bn=(n - )2n(nN*),所以bn+1=(n+1 - )2n+1.因为数列bn是递增数列,所以bn+1bn,所以(n+1 - )2n+1(n - )2n,化简得n+2.因为nN*,所以3.【核心素养】试题设计步步紧扣,求等比数列通项公式的过程体现了数学运算核心素养,利用递增数列解题的过程则体现了逻辑推理核心素养.14.(1)设数列an的公比为q,当q=1时,符合条件,a1=a3=3,an=3.当
11、q1时,由题意得a1q2=3,a1(1 - q3)1 - q=9,即a1q2=3,a1(1+q+q2)=9,解得a1=12,q= - 12,an=12( - 12)n - 1.综上,an=3或an=12( - 12)n - 1.(2)若an=3,则bn=0,与题意不符,所以an=12( - 12)n - 1.所以a2n+3=12( - 12)2n+2=3(12)2n,bn=log23a2n+3=log222n=2n,所以cn=4bnbn+1=1n(n+1)=1n - 1n+1,则c1+c2+c3+cn=(1 - 12)+(12 - 13)+(1n - 1n+1)=1 - 1n+11.【易错警示】利用裂项相消法求和时应注意:(1)消项后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,或者前面剩几项,后面剩几项;(2)裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差与原通项相等.15.(1)bn+1bn=n+2n+1an+1n+1nan=n(n+2)(n+1)2an+1an=n(n+2)(n+1)24(n+1)2n(n+2)=4,b1=2a1=2,数列bn是首项为2,公比为4的等比数列.(2)由(1)知,bn=n+1nan=24n - 1,则an=nn+122n - 1,从而Tn=(122334nn+1)21+3+2n - 1=2n2n+1.
