1、第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算1.2020成都市高三摸底测试设函数f (x)的导函数为f (x),若f (x) =exln x+1x-1,则f (1) =()A.e - 3B.e - 2C.e - 1D.e2.易错题已知函数f (x) =f (1)x2+2x+2f (1),则f (2)的值为()A.-2B.0C.-4D.-63.2020陕西省百校第一次联考若f (x) =x3+a是定义在R上的奇函数,则曲线y =f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是()A.y =3x-3B.y =3x-2C.y =-3x-3D.y =-3x-24.2020广东七校联考已知函数f (x) =xl
2、n x+a的图象在点(1,f (1)处的切线经过原点,则实数a =()A.1B.0C.1eD.-15.2020洛阳市第一次联考已知f (x)为偶函数,当x0时,f (x) =ln x-3x,则曲线y =f (x)在点(-1,-3)处的切线与两坐标轴围成的图形的面积等于()A.1B.34C.14D.126.2020洛阳市第一次联考已知f (x) =ln x,g(x) =12x2+mx+72(m0),直线l与函数f (x),g(x)的图象都相切,且与f (x)图象的切点为(1,f (1),则m的值为()A. - 1B. - 3C. - 4D. - 27.2020江西五校联考已知曲线C:y =xex
3、过点A(a,0)的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是()A.(-,-4)(0,+)B.(0,+)C.(-,-1)(1,+)D.(-,-1)8.2019安徽示范高中高三测试设f (x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f (x),g(x)为其导函数,当x0且g(-3) =0,则不等式f (x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)9.2019福建五校第二次联考已知函数f (x) =ln( - x+1),x0恒成立,求实数a的取值范围.11.2020洛阳市第一次联考已知函数f (x)是定义在R上的
4、偶函数,设函数f (x)的导函数为f (x),若对任意x0都有2f (x)+xf (x)0成立,则()A.4f (-2)9f (3)C.2f (3)3f (-2)D.3f (-3)0)的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数t的最大值是()A.e - 12B.e12C.12eD.2e14.2020武汉市部分学校质量监测若直线y =kx+b是曲线y =ln x的切线,也是曲线y =ex-2的切线,则k =.15.2020唐山市摸底考试已知函数f (x) =axsin x+bcos x,且曲线y =f (x)与直线y =2相切于点(2,2).(1)求f (x);(2)若f (x)mx2+1,
5、求实数m的取值范围.16.2019江西红色七校联考已知函数f (x) =ex(x2-2x+a)(其中aR,a为常数,e为自然对数的底数).(1)讨论函数f (x)的单调性;(2)设曲线y =f (x)在(a,f (a)处的切线为l,当a1,3时,求直线l在y轴上的截距的取值范围.17.2020陕西省百校第一次联考新角度题已知函数f (x) =ln x,g(x) =2-3x(x0).(1)试判断f (x)与g(x)的大小关系.(2)试判断曲线y =f (x)和y =g(x)是否存在公切线,若存在,求出公切线的方程;若不存在,说明理由.第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算1.C由题意,得f (
6、x)=(exln x) - 1x2=exln x+exx - 1x2,所以f (1)=0+e - 1=e - 1,故选C.2.D由题意得f (1)=f (1)+2+2f (1),化简得f (1)= - f (1) - 2,而f (x)=2f (1)x+2,所以f (1)=2f (1)+2,解得f (1)= - 2,故f (1)=0,所以f (x)= - 2x2+2x,所以f (x)= - 4x+2,所以f (2)= - 6,故选D.3.B依题意得f (0)=0,即0+a=0,a=0,所以f (x)=x3,则f (x)=3x2,所以f (1)=3,又f (1)=1,因此曲线y=f (x)在点(1
7、,f (1)处的切线方程是y=3x - 2,故选B.4.Af (x)=ln x+1,f (1)=1,又f (1)=a,f (x)的图象在点(1,f (1)处的切线方程为y=x - 1+a,又该切线过原点,故0=0 - 1+a,解得a=1,故选A.5.C当x0时,f (x)=1x - 3,因为f (x)是偶函数,所以f (x)是奇函数,故曲线y=f (x)在点( - 1, - 3)处的切线的斜率k=f ( - 1)= - f (1)=2,所以切线方程为y+3=2(x+1),该切线与x轴,y轴的交点分别为(12,0),(0, - 1),所以该切线与两坐标轴围成的图形的面积等于12121=14,故选
8、C.6.D解法一f (x)=1x,直线l的斜率k=f (1)=1,又f (1)=0,切线l的方程为y=x - 1.g (x)=x+m,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有x0+m=1,y0=x0 - 1,y0=12x02+mx0+72,m0,解得m= - 2.故选D.解法二f (x)=1x,直线l的斜率k=f (1)=1,又f (1)=0,切线l的方程为y=x - 1.又直线l与g(x)的图象相切,则方程组y=x - 1,y=12x2+mx+72只有一组解,即关于x的方程12x2+(m - 1)x+92=0只有一个解,则=(m - 1)2 - 41292=0,结合m0,解得a0
9、.故选A.8.D令h(x)=f (x)g(x),当x0,则h(x)在( - ,0)上单调递增,又f (x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以h(x)为奇函数,所以h(x)在(0,+)上单调递增.由g( - 3)=0,可得h( - 3)= - h(3)=0,所以当x - 3或0x3时,h(x)0想到构造函数h(x)=f (x)g(x).9.B令g(x)=x2+3x(x0),则g (x)=2x+3,所以g (0)=3,所以函数g(x)的图象在原点处的切线方程为y=3x,故函数f (x)的图象在原点处的切线方程为y=3x.如图D 3 - 1 - 1,画出函数f (x)的图象,切线y=3
10、x,以及直线y=(m+2)x,分析可知,为满足f (x) - (m+2)x0,即f (x)(m+2)x,则0m+23,解得 - 2m1.故选B.图D 3 - 1 - 1【解后反思】本题具有一定的综合性,求解的关键有两点:一是借助数形结合思想灵活处理不等关系;二是借助“旋转分析”灵活构建关于参数的不等式.10.(1)因为f (x)=ex+a,所以曲线y=f (x)在点(1,f (1)处的切线的斜率为f (1)=e+a,因为直线x+(e - 1)y - 1=0的斜率为11 - e,所以(e+a)11 - e= - 1,解得a= - 1.(2)若x=0,则a为任意实数时,f (x)=ex+ax0恒成
11、立.若x0,f (x)=ex+ax0恒成立,即当x0时,a - exx恒成立,设H(x)= - exx(x0),则H (x)= - exx - exx2=(1 - x)exx2,当x(0,1)时,H (x)0,则H(x)在(0,1)上单调递增,当x(1,+)时,H (x) - e.所以要使当x0时,f (x)0恒成立,a的取值范围为( - e,+).11.A令g(x)=x2f (x),则g (x)=2xf (x)+x2f (x).因为对任意x0都有2f (x)+xf (x)0成立,则当x0时,g (x)=x2f (x)+xf (x)0成立,即函数g(x)=x2f (x)在x0时单调递增,由函数
12、f (x)是定义在R上的偶函数,得f ( - x)=f (x),所以g( - x)=( - x)2f ( - x)=x2f (x)=g(x),即g(x)=x2f (x)为偶函数,则有g( - 2)=g(2),且g(2)g(3),所以g( - 2)g(3),即4f ( - 2)0,k4),由题意知,f (x1)=f (x2)(x1,x20且x1x2),即k+4kx1 - 4x12 - 1=k+4kx2 - 4x22 - 1,化简得4(x1+x2)=(k+4k)x1x2,而x1x2(x1+x22)2,所以4(x1+x2)16k+4k对k4,+)恒成立,令g(k)=k+4k,则g (k)=1 - 4
13、k2=(k+2)(k - 2)k20对k4,+)恒成立,故g(k)在4,+)上单调递增,所以g(k)g(4)=5,所以16k+4k165,所以x1+x2165.故x1+x2的取值范围为(165,+).故选B.13.C设函数f (x)=e2x - t的图象与g(x)=aex+a2x(a0)的图象的公共点为(x0,y0),因为f (x)=2e2x,g (x)=aex+a2,所以2e2x0=aex0+a2,所以(ex0 - a)(2ex0+a)=0,因为2ex0+a0,所以ex0=a,所以x0=ln a.又aex0+a2x0=e2x0 - t,所以aeln a+a2ln a=e2ln a - t,化
14、简得t= - a2ln a,则t = - 2aln a - a21a= - a(1+2ln a).令t 0得0ae - 12,令t e - 12,所以t= - a2ln a在(0,e - 12)上单调递增,在(e - 12,+)上单调递减,所以当a=e - 12时,t= - a2ln a取得最大值,最大值为 - (e - 12)2ln e - 12=12e.故选C.14.1或1e解法一设直线y=kx+b与曲线y=ln x相切于点(x1,ln x1),则曲线y=ln x在点(x1,ln x1)处的切线方程为y - ln x1=1x1(x - x1),即y=1x1x - 1+ln x1.设直线y=
15、kx+b与曲线y=ex - 2相切于点(x2,ex2 - 2),则曲线y=ex - 2在点(x2,ex2 - 2)处的切线方程为y - ex2 - 2=ex2 - 2(x - x2),即y=ex2 - 2x+(1 - x2)ex2 - 2.由题意知表示同一直线,所以1x1=ex2 - 2,且 - 1+ln x1=(1 - x2)ex2 - 2.所以 - 1+ln x1=1 - x2x1=1 - (2 - lnx1)x1= - 1+lnx1x1,解得x1=1或x1=e.所以k=1或1e.解法二直线y=kx+b与曲线y=ln x相切,则存在x1,使得k=1x1,且ln x1=kx1+b,消去x1,
16、得 - ln k=1+b.直线y=kx+b与曲线y=ex - 2相切,则存在x2,使得k=ex2 - 2,且ex2 - 2=kx2+b,消去x2,得k=k(ln k+2)+b.由得k=kln k+2k - ln k - 1,即(k - 1)(ln k+1)=0,解得k=1或1e.15.(1)由f (2)=a2=2得a=1.则f (x)=xcos x+(1 - b)sin x,由f (2)=1 - b=0得b=1.所以f (x)=xsin x+cos x.(2)令g(x)=mx2+1 - f (x)=mx2 - xsin x - cos x+1,由g(x)0得g(2)=42m0,所以m0.易知g
17、(x)为偶函数,所以只需满足当x0时,g(x)0即可.g (x)=2mx - xcos x=x(2m - cos x),下面只讨论x0时的情形.当m12时,g (x)0,即g(x)在0,+)上单调递增,所以g(x)g(0)=0,从而当m12时,f (x)mx2+1恒成立.当0m12时,因为y=2m - cos x在0,2上单调递增,且当x=0时,y=2m - 10,当x=2时,y=2m0,所以存在x0(0,2,使得2m - cos x0=0,因此当x(0,x0)时,2m - cos x0,g (x)0,即g(x)在(0,x0)上单调递减,所以当x(0,x0)时,g(x)g(0)=0,与g(x)
18、0矛盾.因此当0m12时,f (x)mx2+1不恒成立.综上,满足题意的m的取值范围是12,+).16.(1)f (x)=ex(x2 - 2x+a)+ex(2x - 2)=ex(x2+a - 2),当a2时,f (x)0恒成立,函数f (x)在区间( - ,+)上单调递增;当a2时,令f (x)0,解得x - 2 - a或x2 - a,令f (x)0,解得 - 2 - ax2 - a,所以函数f (x)在区间( - , - 2 - a,2 - a,+)上单调递增,在区间( - 2 - a,2 - a)上单调递减.(2)因为f (a)=ea(a2 - a),f (a)=ea(a2+a - 2),
19、所以直线l的方程为y - ea(a2 - a)=ea(a2+a - 2)(x - a).令x=0,得直线l在y轴上的截距为ea( - a3+a),记g(a)=ea( - a3+a)(1a3),则g (a)=ea( - a3 - 3a2+a+1),记h(a)= - a3 - 3a2+a+1(1a3),则h (a)= - 3a2 - 6a+10(1a3),所以h(a)在1,3上单调递减,所以h(a)h(1)= - 20,所以g (a)0).由F (x)=0,得x=3,当0x3时,F (x)3时,F (x)0,故F(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+)上单调递增,所以F(x)的最小值为F
20、(3)=ln 3 - 1,且F(3)0,所以F(x)0,即f (x)g(x).(2)曲线y=f (x)和y=g(x)不存在公切线,理由如下.假设曲线y=f (x)与y=g(x)有公切线,切点分别为P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1).因为f (x)=1x,g (x)=3x2,所以分别以P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1)为切点的切线方程为y=xx0+ln x0 - 1,y=3x12x+2 - 6x1.由1x0=3x12,lnx0 - 1=2 - 6x1,得2ln x1+6x1 - (3+ln 3)=0.令h(x)=2ln x+6x - (3+ln 3),则h (x)=2x - 6x2(x0),令h (x)=0,得x=3.显然,当0x3时,h (x)3时,h (x)0,所以h(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+)上单调递增,所以h(x)的最小值为h(3)=2ln 3+2 - 3 - ln 3=ln 3 - 1,且h(3)0,所以h(x)0,所以方程2ln x1+6x1 - (3+ln 3)=0无解,所以曲线y=f (x)与曲线y=g(x)不存在公切线.
