1、排列与组合一、 单选题1、（2020届山东省烟台市高三上期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ）A216B480C504D624【答案】C【解析】当课程“御”排在第一周时,则共有种；当课程“御”“乐”均不排在第一周时,则共有种；则,故选：C2、（2020浙江温州中学3月高考模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，
2、则不同的排表方法共有（ ）A72种B144种C288种D360种【答案】B【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.3、（2020年新高考全国卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A120种B90种C60种D30种【答案】C【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：
3、C4、（2020届山东省九校高三上学期联考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为、（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ）A20B15C10D5【答案】C【解析】此题相当于在正五边形中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，考虑放第一个位置，第二步只能或，依次ACEBD或ADBEC两种；同理分别让B、C、D、E放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.故选：C5、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少出现两
4、次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（ ）A54B44C32D22【答案】B【解析】两个2五个0时，显然两个2不能相邻，也不能放在首尾，先将5个0排成一排，其之间有4个空位，从这4个空位中选2个安排2，,以有种情况；三个2四个0时，可分为三个2不相邻有，即4个0考虑首尾空位有5个，从中选3个放2，有种；和22与2不相邻，即4个0考虑首尾空位不安排有3个空位，从中选2个排成一排有种，所以有种情况；故共有种情况故选：B6、（2020全国高三专题练习（理）已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和
5、银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（ ）A种B种C种D种【答案】D【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有种方法，综上，共有种方法.故选：D7、（2020浙江省温州市新力量联盟高三上期末）若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个A120B132C144D156【答案】B【解析】先排0，2，4，再让1，3，5插空.总的排法共，其
6、中0在排头，将1，3，5插在后三个空的排法共，此时构不成六位数，故总的六位数的个数为.8、（2020山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4
7、名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n3481，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p故选：B9、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种ABCD【答案】A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；故选：A.10、（2020浙江高三）从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重
8、复）则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（）A85B95C2040D2280【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5735种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5735种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个
9、字母，有C5210种选法，则有5+35+35+1085种选法，将选出的4个元素全排列，有A4424种情况，则一共有85242040种不同排法；故选：C11、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是
10、口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，基本事件总数为：种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：种糖、烟、糖、糖： 种糖、糖、烟、糖：种包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为故选：D12、（2018年高考全国卷理数）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）ABCD【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两
11、个不同的数，共有种方法，其和等于30的有3种方法，分别是7和23，11和19，13和17，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为，选C13、（2020山西省大同一中高三月考）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有（ ）A22种B24种C25种D27种【答案】D【解析】由题意知正方形（边长为个单位）的周长是，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之
12、和是，列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，共有种组合，前种组合，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；各有种结果，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果，故选D.14、（2020天津南开中学高三月考）定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有A18个B16个C14个D12个【答案】C【解析】由题意，得必有，则具体的排法列表如下：,01010011;010101011,共14个二、 多选题15、满足方程的的值可能为（ ）A1B3C5D【答案】AB【解析】因为所以或，或，或，或时，故舍去；时
13、，故舍去；时，；时，；故选: AB16、名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有( )种.ABCD【答案】BC【解析】由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确；也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确；故选：BC.17、（2020江苏省徐州一中高三月考）下列关系中，能成立的是（ ）ABCD【答案】BCD【解析】对A，令，可得等式不成立，故A错误；对B，利用组合数的计算公式知正确，故B正确；对C，利用排列数与组合数的定义，故C正确；对D，故D正确；故选：BCD.18、某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将
14、它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ ）A18BCD【答案】CD【解析】根据捆绑法得到共有，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有.故选：.19、有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ）A如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法B如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法C如果女生不能站在两端，那么有种不同排法D如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法【答案】CD【解析】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法，A选
15、项错误；B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法种数，B选项错误；C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有种不同的排法种数，C选项正确；D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的个空中，此时，共有种不同的排法种数，D选项正确.故选：CD.20、，五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种B最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C甲乙不相邻的排法种数为72种D甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种【答案】AC
16、D【解析】A.如果，必须相邻且在的右边，可将捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确.B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，故不正确.C.甲乙不相邻的排法种数为种，故正确.D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种,故正确.故选：ACD.21、有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）A分给甲乙丙三人，每人各2本，有90种分法；B分给甲乙丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；【答案】ABC【解析】对，先从6本书中分给甲2
17、本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；对，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙三人，所以不同的分配方法有种，故正确；对，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；对，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故错误.故选：.三、 填空题22、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧，则不同的排法有_种（用数字作答）【答案】96【解
18、析】先排D、E、F，有种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有种排法；所以有96种排法故答案为：96.23、（2020年高考全国II卷理数）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种【答案】【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一组，选法有：.现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，故答案为：.24、（2018年高考浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数
19、字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)【答案】1260【解析】若不取0，则排列数为；若取0，则排列数为，因此一共可以组成个没有重复数字的四位数故答案为：126025、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有_种不同分配方案.（用具体数字作答）【答案】324【解析】根据题意，分2步进行分析：，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，将9人分成3组，有种情况，其中存在某组没有女性
20、即全部为男性的情况有种，则有种分组方法，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有种情况，则有种不同的分配方案；故答案为：324.26、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）如图所示，在排成44方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_个【答案】312【解析】根据题意，分3种情况讨论：、取出的3个点都在圆内,有 种取法，即有4种取法，、在圆内取2点,圆外12点中取1点,有 种，即有60种取法，、在圆内取1点,圆外12点中取2点,有 种，即有248种取法，则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60
21、+248=312个，故答案为312.27、（2020届浙江省温州市高三4月二模）将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有_种不同的放法.【答案】【解析】当四个盒子有球时：种；当三个盒子有球时：种；当两个盒子有球时：种.故共有种，故答案为：.28、（2020浙江学军中学高三3月月考）某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有_种.【答案】3600【解析】分两步：第一步，先将5辆不同型号的轿车停放好有种
22、不同停法，第二步，再将3个空车位打包和剩下的1个空车位插入5辆车产生的6个空位中有种不同的插法，根据分步乘法原理得不同的停放方法种.故答案为：3600.29、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“”的五位数的个数有_.【答案】【解析】由题意可知最大，不能为零，当时，则从剩下个不为零的数中选个，放在的左边，再从剩下的个数中取两个，放在右边，故方法数有.当时，不能选取，则从身下个不为零的数中选两个，放在的左边，再从剩下的个数中取两个，放在右边，故方法数有.所以总的方法数有.故答案为：四、 解答题30、（2020湖北省江夏一
23、中高二月考）江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).（1）共有多少种分配方案？（2）6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.【解析】（1）由题意得：问题转化为不定方程的非负整数解的个数，方程又等价于不定方程的正整数解的个数，利用隔板原理得：方程正整数解的个数为，共有多少种分配方案.（2）将问题转化为不定方程的正整数解个数，分组后再进行排列，不定方程的正整数解个数为
24、，共有种方法.（3）设6名学生在3个安检的人数分别为，方程非负整数解的个数等价于方程的正整数解的个数，6人进站的不同方案种数为.31、用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数.(1)有多少个四位偶数?(2)若按从小到大排列,3 204是第几个数?【解析】(1)方法一:先排个位数字,分两类:0在个位时有种;2或4在个位时按个位、千位、十位和百位的顺序排,有种,故共有=60个四位偶数.方法二:间接法.若无限制条件,总排列数为,其中不符合条件的有两类:0在千位,有种;1或3在个位,有种,则四位偶数有=60个.(2)方法一:(分类法)由高位到低位逐级分为:千位是1或2时,有个;千位是3时,百
25、位可排0,1或2.(i)当百位排0,1时,有个,(ii)当百位排2时,比3 204小的仅有3 201一个,故比3 204小的四位数共有+1=61个,3 204是第62个数.方法二:(间接法)-()=62个.32、由A,B,C,等7人担任班级的7个班委.(1)若正、副班长两职只能由A,B,C这三人中选两人担任,则有多少种分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选A,B,C这三人中的1人担任,有多少种分工方案?【解析】(1)先安排正、副班长有种方法,再安排其余职务有种方法,依分步乘法计数原理,共有=720种分工方案.(2)7人的任意分工方案有种，A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有种,因此
26、A,B,C三人中至少有1人任正、副班长的方案有=3600种.33、（徐州高三月考）6个人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙站在两端;(6)甲不站左端,乙不站右端.【解析】(1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有站法=480(种).方法二:要使甲不站两端,那么这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有种站法,然后中间4人有种站法.根据分步乘法计数原理,共有站法=480(种).方法三
27、:若对甲没有限制条件,共有种站法,甲在两端共有2种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即得所求的站法种数,即为-2=480.(2)方法一:先把甲、乙作为一个整体,有种站法,再把甲、乙进行全排列,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有=240(种)站法.方法二:先把甲、乙以外的4个人作全排列,有种站法,再在5个空当中选出1个供甲、乙站,有种方法,最后让甲、乙全排列,有种方法,共有=240(种)站法.(3)方法一:第一步,先让甲、乙以外的4个人站队,有种站法;第二步,再将甲、乙排在4人形成的5个空当(含两端)中,有种站法.故站法共有=480(种).方法二:6个人全排列有种站法,由(2)知甲、乙相邻
28、有240种站法,所以不相邻的站法有-240=480(种).(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有种站法,然后把甲、乙及中间2人看作一个整体与余下2人作全排列,有种站法,最后对甲、乙进行排列,有种站法.故共有=144(种)站法.(5)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有种站法,再让其他4人在中间位置作全排列,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有=48(种)站法.(6)方法一:6个人全排列有种站法,甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,且甲在左端而乙在右端的站法有种,故共有-2+=504(种)站法.方法二:以甲分类,可分为两类:甲站右端有种站法;甲在中间4个位置之一,而乙不在右端,有种.故共有+=504(种)站法.
