1、4.3简单的三角恒等变换最新考纲考情考向分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，进而推导出二倍角公式.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).考查三角函数化简与求值，或与三角函数图象、性质相结合，考查应用意识.各种题型均有，中低档难度.1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos()cos cos sin sin (C().(2)cos()cos cos sin sin (C().(3)sin()sin c
2、os cos sin (S().(4)sin()sin cos cos sin (S().(5)tan()(T().(6)tan()(T().2.二倍角公式(1)基本公式：sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.(2)公式变形：由cos 22cos2112sin2可得降幂公式：cos2；sin2；升幂公式：cos 22cos2112sin2.概念方法微思考1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中k(kZ)时的特殊情形.2.怎样研究形如f(x)asin xbcos x的函数的性质？提示先根据辅助角公式asi
3、n xbcos xsin(x)，将f(x)化成f(x)Asin(x)k的形式，再结合图象研究函数的性质.3.思考求的正弦、余弦、正切公式.(1)sin.(2)cos.(3)tan.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(2)设(，2)，则sin.()(3)设3，且|cos |，那么sin的值为.()(4)在非直角三角形中有tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.()题组二教材改编2.若cos ，是第三象限的角，则sin等于()A. B. C. D.答案C解析是第三象限角，sin ，sin.
4、3.sin 347cos 148sin 77cos 58 .答案解析sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 135.4.tan 10tan 50tan 10tan 50 .答案解析tan 60tan(1050)，tan 10tan 50tan 60(1tan 10tan 50)tan 10tan 50，原式tan 10tan 50tan 10tan 50.5.(tan 10)sin 40的值为
5、 .答案1解析(tan 10)sin 40sin 40sin 40sin 401.题组三易错自纠6.(2019衡水中学调研)已知，sin ，则tan等于()A.7 B.C. D.7答案B解析，sin ，cos ，tan .tan.7.化简： .答案4sin 解析4sin .8.已知，且sin，则tan 2 .答案解析方法一sin，得sin cos ，平方得2sin cos ，又，可求得sin cos ，sin ，cos ，tan ，tan 2.方法二且sin，cos，tan，tan .故tan 2.第1课时和角、差角和倍角公式和差倍角公式的简单应用1.若cos，则sin 2等于()A. B.
6、C. D.答案D解析因为sin 2cos2cos21，且cos，所以sin 221，故选D.2.已知sin ，tan()，则tan()的值为()A. B. C. D.答案A解析，cos ，tan ，又tan()，tan ，tan().3.计算的值为 .答案解析.4.(2019全国)函数f(x)sin3cos x的最小值为 .答案4解析f(x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令tcos x，则t1,1，f(t)2t23t1.又函数f(t)图象的对称轴t1,1，且开口向下，当t1时，f(t)有最小值4.综上，f(x)的最小值为4.思维升华(1)使用两角和与差的
7、三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.公式的灵活应用命题点1角的变换例1(1)已知sin，且，则cos 的值为 .答案解析sin，且，.cos.cos coscoscossinsin.(2)(2019烟台模拟)若cos(75)，则cos(302) .答案解析cos(75)sin(15)，cos(302)12sin2(15)12.命题点2三角函数式的变换例2(1)(2019长沙雅礼中学模拟)已知sin 2，则cos2 .答案解析方法一cos2(1sin 2).方法二coscos sin ，所以cos2(cos sin )2(12sin
8、 cos )(1sin 2).(2)求值：sin 10 .答案解析原式sin 10sin 10sin 102cos 10.命题点3公式的综合应用例3(1)(1tan 17)(1tan 28)的值为 .答案2解析原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28112.(2)若sin xcos x，则tan .答案解析由sin xcos x，得2sin，即sin，所以cos，所以tan，即tantan.(3)若2，则可化简为 .答案cos解析，因为2，所以|cos |cos .所以原式.又因为，所以原式cos.思维升华(1)
9、解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.(2)常见的配角技巧：2()()，()，等.跟踪训练(1)已知，且cos ，cos()，则sin .答案解析由已知可得sin ，sin()，sin sin()sin()cos cos()sin .(2)计算： .(用数字作答)答案解析.(3)(2019河北保定一中期末)已知sin 2，0，则cos的值为 .答案解析sin 2，00，cos 0.又sin2cos21，(sin cos )212s
10、in cos ，sin cos .coscos sin .(4)在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，则cos C .答案解析由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又AB(0，)，所以AB，则C，cos C.1.已知是第二象限角，且tan ，则sin 2等于()A. B.C. D.答案C解析因为是第二象限角，且tan ，所以sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2.2.(2019衡水中学调研)已知sin(20)，则sin(250)的值为()A. B.C. D.答案A解析sin(250)sin(240)90cos(240)2s
11、in2(20)1.3.的值为()A. B.C. D.答案B解析原式tan(4515).4.已知cos ，cos()，且，则cos()的值为()A. B. C. D.答案D解析因为，所以2(0，)，因为cos ，所以cos 22cos21，所以sin 2，而，所以(0，)，所以sin()，所以cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin().5.化简cos250sin220sin 30sin 50等于()A.cos 10 B.cos 10C.sin 10 D.sin 10答案D解析原式cos 40cos 100sin 10.6.设acos 50cos 127cos 40sin 12
12、7，b(sin 56cos 56)，c，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.bacC.cab D.acb答案D解析asin 40cos 127cos 40sin 127sin(40127)sin 167sin 13，b(sin 56cos 56)sin 56cos 56sin(5645)sin 11，ccos239sin239cos 78sin 12，sin 13sin 12sin 11，acb.7. .答案解析.8.设为锐角，若cos，则sin的值为 .答案解析为锐角且cos0，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.9. .答案4解析原式4.10.已知
13、sin cos ，sin cos ，则sin() .答案解析sin cos ，sin cos ，(sin cos )2，(sin cos )2，即sin22sin cos cos2，sin22sin cos cos2.得22sin()，sin().11.若sin 且3，求cos，tan的值.解sin ，3，cos .cos 2cos21，cos2，又，cos，tan2.12.若sin，cos，且0，求cos()的值.解因为0.所以，0.又sin，cos，所以cos，sin，所以cos()sinsinsincoscossin.13.已知cossin ，则sin的值是()A. B.C. D.答案D
14、解析由cossin ，可得cos sin sin ，即sin cos ，所以sin，sin，所以sinsin.14.已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角，则sin .答案解析依题意可将已知条件变形为sin()sin ，sin .又是第三象限角，所以cos .所以sinsinsin cos cos sin .15.已知coscos，则sin4cos4的值为 .答案解析因为coscos(cos2sin2)cos 2.所以cos 2.故sin4cos422.16.(2018江苏)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值.解(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .又因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.(2)因为，为锐角，所以(0，).又因为cos()，所以，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2.因此，tan()tan2().