1、第四讲指数与指数函数1.下列说法正确的个数为()nan=(na)n=a(nN*);分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘;函数y=32x与y=2x+1都不是指数函数;若am0,且a1),则mn;函数y=2 - x在R上为减函数;指数函数的图象恒过定点(0,1).A.2B.3C.4D.52.2020贵阳市高三测试设a=0.60.3,b=0.30.6,c=0.30.3,则a,b,c的大小关系为()A.bac B.acbC.bca D.cb0,a1)的定义域和值域都是 - 1,0,则a+b=.5.2015福建,15,4分若函数f (x)=2|x - a|(aR)满足f (1+x)=f (1 - x)
2、,且f (x)在m,+)上单调递增,则实数m的最小值等于.考法1指数幂的运算1计算:(1)( - 338)-23+(0.002)-12 - 10(5 - 2) - 1+(2-3)0;(2)a3b23ab2(a14b12)4a-13b13(a0,b0);(3)若x12+x-12=3,求x32+x-32-3x2+x-2-2的值.(1)原式=( - 1)-23(338)-23+(1500)-12-105-2+1=(278)-23+50012 - 10(5+2)+1=49+105 - 105 - 20+1= - 1679.(2)原式=(a3b2a13b23)12ab2a-13b13=a32+16-1+
3、13b1+13-2-13=ab - 1.(3)由x12+x-12=3,两边平方,得x+x - 1=7,x2+x - 2=47.x2+x - 2 - 2=45.由(x12+x-12)3=33,得x32+3x12+3x-12+x-32=27.x32+x-32=18,x32+x-32 - 3=15.x32+x-32-3x2+x-2-2=13.考法2指数函数的图象及应用2(1)已知函数y=kx+a的图象如图2 - 4 - 2所示,则函数y=ax+k的图象可能是图2 - 4 - 2(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.(1)由y=kx+a的图象确定k,a的取值范围y=ax
4、+k的图象(2)函数y=2x+1的图象作关于x轴对称的图形|y|=2x+1即为上述曲线观察与y=b相交情况求b的取值范围(1)由函数y=kx+a的图象可得k0,0a - 1,所以 - 1k0且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是.考法3指数函数的性质及应用命题角度1比较大小3 2016全国卷,6,5分理已知a=243,b=425,c=2513,则()A.bac B.abcC.bca D.cab因为a=243=1613,b=425=1615,c=2513,且幂函数y=x13在R上单调递增,指数函数y=16x在R上单调递增,所以ba0时,1bxax,则()A.0ba1B.0ab1C.1ba
5、D.1a0在x( - ,1时恒成立,则实数a的取值范围为.(1)因为f (x)=3x - (13)x,且定义域为R,所以f ( - x)=3 - x - (13) - x=(13)x - 3x= - 3x - (13)x= - f (x),即函数f (x)是奇函数.又y=3x在R上是增函数,y=(13)x在R上是减函数,所以f (x)=3x - (13)x在R上是增函数.故选A.(2)从已知不等式中分离出实数a,得a - (14)x+(12)x.因为y=(14)x,y=(12)x均为减函数,所以y= - (14)x+(12)x为增函数.所以当x1时, - (14)x+(12)x - 34.所以
6、实数a的取值范围为( - 34,+).3.2019湖南五市十校联考若f (x)=ex - ae - x为奇函数,则满足f (x - 1)1e2 - e2的x的取值范围是()A.( - 2,+) B.( - 1,+)C.(2,+) D.(3,+)命题角度3与指数函数有关的复合函数问题5已知函数f (x)=(13)ax2-4x+3.(1)若a= - 1,则f (x)的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)若f (x)有最大值3,则a的值为;(3)若f (x)的值域是(0,+),则a的值为.(1)当a= - 1时,f (x)=(13)-x2-4x+3,令u= - x2 - 4x+3= - (x+2)
7、2+7,则该函数在( - , - 2)上单调递增,在( - 2,+)上单调递减.而y=(13)u在R上单调递减,所以函数f (x)在( - , - 2)上单调递减,在( - 2,+)上单调递增,即函数f (x)的单调递增区间是( - 2,+),单调递减区间是( - , - 2).(2)令h(x)=ax2 - 4x+3,则f (x)=(13)h(x),因为f (x)有最大值3,所以h(x)有最小值 - 1,因此必有a0,12a-164a=-1,解得a=1,即当f (x)有最大值3时,a的值为1.(3)令g(x)=ax2 - 4x+3,由f (x)的值域是(0,+)知,g(x)=ax2 - 4x+
8、3的值域为R,则必有a=0.4.改编题已知函数f (x)=2|2x - m|(m为常数).若f (x)在2,+)上单调递增,则m的取值范围是.易错忽略对底数a的分类讨论而出错6已知函数y=a2x+2ax - 1(a0,且a1),当x0时,则函数的值域为.易忽略对底数a的分类讨论而出错.(1)当a1时,如果x0,那么ax1;(2)当0a1时,如果x0,那么01时, x0,t1,当a1时,y2.当0a1时, x0,0t1. g(0)= - 1,g(1)=2,当0a1时, - 11时,函数的值域是2,+);当0a1和0a1两种情况讨论.2681.B根据指数运算的性质和指数函数的图象与性质可知错误,正
9、确,故选B.2.C指数函数y=0.3x在R上单调递减,所以0.30.60.30.3,即bc.幂函数y=x0.3在0,+)上单调递增,所以0.30.30.60.3,即ca.综上可知,bca.故选C.3. - 1( - ,0f (x)为奇函数,f ( - x)= - f (x),即e - x+aex= - ex - ae - x,(1+a)e - x+(1+a)ex=0,a= - 1.f (x)单调递增,f (x)=ex - ae - x=e2x - aex0,e2x - a0,a0,故a的取值范围是( - ,0.4. - 32当0a1时,函数f (x)在 - 1,0上单调递增,由题意可得f( -
10、 1)= - 1,f(0)=0,即a - 1+b= - 1,a0+b=0,显然无解.所以a+b= - 32.5.1因为f (1+x)=f (1 - x),所以函数f (x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以函数f (x)=2|x - 1|的图象如图D 2 - 4 - 1所示,因为函数f (x)在m,+)上单调递增,所以m1,所以实数m的最小值为1.图D 2 - 4 - 11.(1)(0,1)曲线y=|2x - 1|与直线y=b的图象如图D 2 - 4 - 2所示,由图象可得,如果曲线y=|2x - 1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).图D 2 - 4 - 2(2)
11、( - ,0因为函数y=|2x - 1|的单调递减区间为( - ,0,所以k0,即k的取值范围为( - ,0.(3)(0,12)y=|ax - 1|的图象是由y=ax先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的.当a1时,两图象只有一个交点,不合题意,如图D 2 - 4 - 3(1);当0a1时,要使两个图象有两个公共点,则02a1,得到0a0时,11.因为当x0时,bx1,可得ab1,所以ab.所以1b1e2 - e2=f ( - 2),所以x - 1 - 2,解得x - 1,故选B.4.( - ,4令t=|2x - m|,则t=|2x - m|在m2,+)上单调递增,在( - ,m2上单调递减.因为f (x)=2t在R上为增函数,所以若函数f (x)=2|2x - m|在2,+)上单调递增,则m22,即m4,所以m的取值范围是( - ,4.
