1、 邵阳市二中第三次月考数学（理科）试卷 时间：120分钟 总分：150分 一选择题（共10小题）1 “3a3b”是“lnalnb”的（）A充分不必要条件B既不充分也不必要条件C充要条件D必要不充分条件2函数的导函数是（）Af（x）=2e2xBCD3设，tan，tan是方程x23x+4=0的两个不等实根，则+的值为（）ABCD或4函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）ABCD5由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A1BCD26已知sin是方程5x27x6=0的根，且是第三象限角，则=（）ABCD7关
2、于函数f（x）=sinx（sinxcosx）的叙述正确的是（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）在，内单调递增Cf（x）的图象关于（，0）对称Df（x）的图象关x=对称8已知函数f（x）满足：定义域为R；xR，有f（x+2）=2f（x）；当x1，1时，f（x）=|x|+1则方程f（x）=log4|x|在区间10，10内的解个数是（）A20B12C11D109已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1x2x3），那么x1+2x2+x3的值是（）ABCD10如果函数f（x）对任意两个不等实数x1，x2，且x1，x2（a，b）都有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（
3、x2+x2f（x）1），则称函数f（x）为区间（a，b）上的“G”函数给出下列命题：f（x）=2xsinx是R上的“G”函数；f（x）=是R上的“G”函数；f（x）=是R上的“G”函数；若函数f（x）=exax2是R上的“G”函数，则a0其中正确的个数为（）A1B2C3D4二填空题（共5小题）11设角为第四象限角，并且角的终边与单位圆交于点P（x0，y0），若x0+y0=，则cos2=_12已知cos=，cos（）=，且0，则cos=_13已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是_14若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=_15设f（x）是定义在R上
4、的函数，若f（0）=，且对任意的xR，满足f（x+2）f（x）=3x，f（x+4）f（x）=103x，则f（2014）=_三解答题（共6小题）16已知（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向右平移单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间0，上的最大值17如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼设扇
5、形的半径OM=R，MOP=45，OB与OM之间的夹角为（）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数（）若R=45m，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（精确到0.01m2）18如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点将ADM沿AM折起到APM，使得平面APM平面ABCM，点E在线段PB上，且PE=PB（）求证：APBM（）求二面角EAMP的大小19已知椭圆C：x2+2y2=4（）求椭圆C的离心率；（）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值20已知函数f（x）=1nxax2x（aR）（）当a=2时，
6、求y=f（x）的单调区间和极值；（）若y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围21函数f（x）=aex，g（x）=lnxlna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行（）求此平行线的距离；（）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；（）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2第三次月考理科数参考答案一选择题（共10小题）1D 2.C 3.A 4.A 5.D 6.B 7.D 8.C 9.C 10
7、.C.二填空题（共5小题）11解：由三角函数定义，x0=cos，y0=sin，则，两边平方得，注意到为第四象限角，sin0，cos0，cos+sin0，|sin|cos|，cos2=|cos|2|sin|20，12解：因为cos=，cos（）=，且0，0所以sin=，（0，），sin（）=，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=故答案为：13.解：根据题意得f（x）=，且k0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k1，又k=tan，结合正切函数的图象图可得，故答案为：14解：若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则f（x）=f（x），即ln（e3x+1）+ax=ln（
8、e3x+1）ax，即2ax=ln（e3x+1）ln（e3x+1）=ln=lne3x=3x，即2a=3，解得a=，故答案为：，15解：f（x+2）f（x）=3x，f（x+4）f（x）=103x，f（2014）=f（2010）+1032010=f（2006）+1032010+1032006=f（2）+1032010+1032006+1032=f（2）+10（32010+32006+32）=f（0）+3+（32+36+32010）=f（0）+30+=+1+=故答案为：三解答题（共6小题）16解：（1）=，（3分）函数f（x）的最小正周期为T=（4分）又由，可得 ，f（x）的单调递增区间为（6分）（2
9、）根据条件得，（9分）当时，（11分）所以当时，g（x）max=1（13分）17.解：（）由题意可知，点M为的中点，所以OMAD设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsin，OF=Rcos.所以S=ABBC=2Rsin（RcosRsin）=R2（2sincos2sin2）=R2（sin21+cos2）=，（）因为，则所以当，即时，S有最大值=故当时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m218（）证明：ABCD为长方形，AD=1，AB=2，M为DC的中点，AM=，BM=，AB2=AM2+BM2，BMAM，又平面APM平面ABCM，平面APM平面ABCM=AM，BM平面ADM，BM平面APM，
10、又AP平面APM，APBM（）解：取AM的中点O，AB的中点N，则OA，ON，OP两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，则A（），B（），M（），P（0，0，），N（0，0），设E（x，y，z），由，得（x，y，z）=，E（），由题意为平面APM的一个法向量，令，设平面AME的一个法向量，则，取b=1，tj ，cos=，二面角EAMP的大小为19解：（）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，a=2，b=，c=，椭圆C的离心率e=；（）设A（t，2），B（x0，y0），x00，则OAOB，=0，tx0+2y0=0，t=，|AB|2=（x0t）2+（y02）2=+44+4=8，当且仅当，即x0
11、2=4时等号成立，线段AB长度的最小值为220解：（）当a=2时，函数f（x）=1nxx2x，其定义域为（0，+），函数f（x）=2x1=令f（x）0，则令f（x）0，则0x则函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，函数f（x）在x=处取得极大值ln2；（）对函数求导数，得f（x）=，（x0）依题意，得f（x）0在（0，+）上有解即ax2+x10在x0时有解当a=0时，x1在（0，+）上有解当a0时，ax2+x10在（0，+）上总有解当a0时，x1在（0，+）上有解则=1+4a0且方程ax2+x1=0至少有一个正根a0，综上，a的取值范围为（，+）21（）解：f（x）=aex，
12、y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行f（0）=g（a），即又a0，a=1f（x）=ex，g（x）=lnx，函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：xy+1=0，xy1=0两平行切线间的距离为（）解：由得，故在x0，+）有解，令，则mhmax（x）当x=0时，m0；当x0时，x0，故即在区间0，+）上单调递减，故h（x）max=h（0）=0，m0即实数m的取值范围为（，0）（）证法一：函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（
13、x）g（x）|=exlnx，x（0，+），设x=t为的解，则当x（0，t），F（x）0；当x（t，+），F（x）0，F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+）单调递增f（1）=e10，故即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2证法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）g（x）|=exlnx，x（0，+）令，x（0，+）；令F2（x）=xlnx，x（0，+），F1（x）在（0，+）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增F1（x）F1（0）=1，F2（x）F2（1）=1，F（x）=exlnx=F1（x）+F2（x）2即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2
