1、专题1运动的图像追及、相遇问题考点一运动图像的理解及应用1.x-t图像的基本认识(2020吉林长春二模)如图所示,高速公路收费站都设有“ETC”通道(即不停车收费通道),设ETC车道是笔直的,由于有限速,汽车通过时一般是先减速至某一限定速度,然后匀速通过电子收费区,再加速驶离(将减速和加速过程都看做加速度大小相等的匀变速直线运动)。设汽车开始减速的时刻t=0,下列四幅图能与汽车通过ETC的运动情况大致吻合的是()答案D汽车先做匀减速直线运动,然后做匀速直线运动,最后做匀加速直线运动。图像A反映汽车先负向匀速后静止,再正向匀速,选项A错误;图像B反映汽车先正向匀速后静止,再正向匀速,选项B错误;
2、图像C反映汽车先正向加速后匀速,再正向加速,选项C错误;图像D反映汽车先减速再匀速,后加速,符合题意,则选项D正确。2.v-t图像的基本认识如图所示是某质点运动的v-t图像,下列判断正确的是()A.在第2s末,质点的速度方向发生改变B.在02s内,质点做直线运动,在24s内,质点做曲线运动C.在02s内,质点的位移大小为1mD.在24s内,质点的加速度不断减小,方向不变答案D3.同一坐标系中两个图像(2020广东东莞检测)甲、乙、丙、丁四辆小车从同一地点向同一方向运动的图像如图所示,下列说法中正确的是()A.甲车做直线运动,乙车做曲线运动B.在0t1时间内,甲车平均速度等于乙车平均速度C.在0
3、t2时间内,丙、丁两车在t2时刻相遇D.在0t2时间内,丙、丁两车加速度总是不相同的答案B1.图像“六看”(1)看“轴”(坐标轴代表哪个物理量):x-t图像、v-t图像。(2)看“线”(形状是直线还是曲线):倾斜直线表示y随x均匀变化;曲线表示y随x非均匀变化。(3)看“斜率”:斜率k=yx表示y随x变化的快慢。(4)看“点”(特殊点和图线的交点):转折点表示图像的斜率发生突变;两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等;图线在纵轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况。(5)看“面积”(面积代表哪个物理量):y对x的累积量。(6)看“象限”(图线在时间轴上方还是下方):第1象限代表正方向,第4象
4、限代表负方向。2.运动的两种图像直线运动的x-t图像(1)意义:反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。(2)图线上某点切线的斜率的意义斜率的大小:表示物体速度的大小。斜率的正负:表示物体速度的方向。(3)两种特殊的x-t图像若x-t图像是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于静止状态。(如甲所示)若x-t图像是一条倾斜的直线,说明物体在做匀速直线运动。(如乙所示)直线运动的v-t图像(1)意义:反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。(2)图线上某点切线的斜率的意义斜率的大小:表示物体加速度的大小。斜率的正负:表示物体加速度的方向。(3)两种特殊的v-t图像匀速直线运动的v-t图像是与时间
5、轴平行的直线。(如甲所示)匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。(如乙所示)(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为正方向;若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为负方向。3.应用运动图像的三点注意(1)无论是x-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。(2)x-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。(3)x-t图像和v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。考点二匀变速直线运动的四类非常规图像四类图像(1)a-t图像:由v=v0+at可知图像与时间轴所围面积表示速度变化量
6、v,如图甲所示。(2)xt-t图像:由x=v0t+12at2可得xt=v0+12at,图像的斜率为12a,纵截距为v0,如图乙所示。(3)v2-x图像:由v2-v02=2ax可知v2=v02+2ax,图像斜率为2a,纵截距为v02,如图丙所示。(4)a-x图像:由v2-v02=2ax可知图像与x轴所围面积表示v22,如图丁所示。例1动力车在刹车过程中位移和时间的比值xt与t之间的关系图像如图所示,则下列说法正确的是()A.动力车的初速度为10m/sB.刹车过程动力车的加速度大小为2.5m/s2C.刹车过程持续的时间为8sD.从开始刹车时计时,经过2s,动力车的位移为30m审题关键(1)该图像的
7、横纵坐标对应的物理量存在于哪个运动学公式中?提示:x=v0t+12at2(2)如何得到与图像对应的函数关系?提示:由x=v0t+12at2变形可得(3)图像的斜率、截距对应哪个物理量?提示:t=0时对应初速度,斜率对应12a答案D由x=v0t+at22得xt=v0+12at,可知xt-t图像的纵截距表示初速度,斜率表示12a,所以v0=20m/s,a=-5m/s2,A、B均错;由v=v0+at得当v=0时,t=4s,C错;由x=v0t+at22得当t=2时,x=30m,D对。解题感悟1.解题技巧图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系,因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系,来分析图
8、像的意义。2.处理图像问题的流程1.1v-x图像一质点做直线运动时速度的倒数随位移的变化关系,如图所示,该图中斜线部分面积S表示该过程中质点运动的()A.位移B.平均速度C.时间D.加速度答案C因xv=x1v=t可知斜线部分面积S表示该过程中质点运动的时间,故选C。2.a-t图像如图所示为从静止开始做直线运动的物体的a-t图像,关于物体的运动下列说法正确的是()A.物体在t=6s时,速度为0B.物体在t=6s时,速度为18m/sC.物体运动前6s的平均速度为9m/sD.物体运动前6s的位移为18m答案Ba-t图线与t轴所围面积为物体速度变化量,则t=6s时,物体的速度v=0+v=1266m/s
9、=18m/s,选项A错误,B正确;因物体加速度越来越小,其v-t图像如图所示,可知平均速度大于9m/s,位移大于54m,故选项C、D错误。3.v2-x图像一质点以一定的初速度从A点开始向相距8m的B点做直线运动,运动过程中其速度的二次方v2与位移x之间的关系图线如图所示,下列说法正确的是()A.质点做加速度增大的变加速运动B.质点做匀加速运动,其加速度大小为2m/s2C.质点运动的初速度大小为4m/sD.质点从A点运动到B点所用的时间为8s答案B根据v2=v02+2ax可知v2-x图像斜率表示2a,则2a=369m/s2=4m/s2,得a=2m/s2,故质点做匀加速直线运动,选项A错误,B正确
10、;代入点(8m,36m2s-2)可得,v0=2m/s,选项C错误;质点末速度v=6m/s,质点从A点运动到B点所用的时间为t=v-v0a=6-22s=2s,选项D错误。考点三追及、相遇问题例2在水平轨道上有两列火车A和B,相距x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。解题指导本题可运用“临界条件法”“二次函数极值法”“图像法”等方法解题。答案v06ax解析解法一临界条件法设两车运动速度相等时,所用时间为t由v0-(2a)t=at得,t=v03aA车位移xA
11、=v0t-12(2a)t2B车位移xB=12at2两车不相撞的条件:xB+xxA即12at2+xv0t-at2联立得v06ax解法二二次函数极值法设两车运动了时间t,则xA=v0t-at2xB=12at2两车不相撞需要满足x=xB+x-xA=32at2-v0t+x0则xmin=432ax-v02432a0解得v06ax解法三图像法利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时间图像,其图像如图所示设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有vt=v0-2at对B车有vt=at联立以上两式解得t=v03a经时间t两车发生的位移之差,即原来两车间的距离x,它可用图中的阴影面积来表示,由图像可知x=12
12、v0t=12v0v03a=v026a,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v06ax例3甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以 4m/s 的速度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边开始以大小为0.5m/s2的加速度刹车,从甲车刹车开始计时,求:(1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离;(2)乙车追上甲车所用的时间。答案(1)36m(2)25s解析(1)当甲车速度大小减至等于乙车速度大小时两车的距离最大,设该减速过程经过的时间为t,则v乙=v甲-at解得t=12s此时甲、乙间距离为x=v甲t-12at2-v乙t=1012m-120.5122m-412m=3
13、6m(2)设甲车减速到零所需时间为t1,则有t1=v甲a=20st1时间内,x甲=v甲2t1=10220m=100mx乙=v乙t1=420m=80m此后乙车运动时间t2=x甲-x乙v乙=204s=5s故乙车追上甲车所用时间:t=t1+t2=25s。解题感悟1.解答追及和相遇问题的两点技巧2.追及、相遇问题的解题流程3.三种重要方法(1)临界法:寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。(2)函数法:设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无
14、正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇。(3)图像法若用x-t图像求解,分别作出两个物体的x-t图像,如果两个物体的x-t图像相交,则说明两物体相遇。若用v-t图像求解,则注意比较v-t图线与时间轴包围的面积。1.如图所示,甲、乙两物体分别从A、C两地由静止出发相向做加速运动,B为AC中点。两物体在AB段的加速度大小均为a1,在BC段的加速度大小均为a2,且a1t乙C.t甲t乙,选项B正确。2.蓝牙是一种无线技术标准,可实现固定设备、移动设备等之间的短距离数据交换,某同学用安装有蓝牙设备的玩具车A、B进行实验:在距离d=6m的两条平直轨道上,
15、A车自O1点从静止开始以加速度a=2m/s2匀加速向右运动,B车自O2点前方s=3m处的O3点以v0=6m/s向右做匀速直线运动,O1、O2连线与轨道垂直,则两车能通信多长时间?(已知两车间的距离超过s1=10m时,两车无法实现通信,忽略信号传递的时间)答案(25-1)s解析当两车间的距离为s1=10m时,根据几何关系知,两车在轨道方向上的距离s0=8m根据两车在轨道方向的位移关系知,当B车在A车的前面时有v0t+s-12at2=s0代入数据得t1=1s,t2=5s当A车在B车的前面时有12at2-(v0t+s)=s0代入数据得t=(25+3)s因为两车之间的距离先增大再减小,然后再增大,可知
16、01s内两车之间的距离小于10m,5s(25+3)s内两车间的距离小于10m则两车能通信的时间t=(25+3-5+1)s=(25-1)s3.甲、乙两车在平直公路上比赛,某一时刻,乙车在甲车前方L1=11m处,乙车速度v乙=60m/s,甲车速度 v甲=50m/s,此时乙车离终点线尚有L2=600m,如图所示,若甲车加速运动,加速度a=2m/s2,乙车速度不变,不计车长。求:(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大,最大距离是多少;(2)到达终点线时甲车能否超过乙车。答案(1)5s36m(2)不能解析(1)当甲、乙两车速度相等时,两车间距离最大,则v甲+at1=v乙得t1=v乙-v甲a=60-502
17、s=5s甲车位移x甲=v甲t1+12at12=275m乙车位移x乙=v乙t1=605m=300m此时两车间距离x=x乙+L1-x甲=36m(2)甲车追上乙车时,位移关系 x甲=x乙+L1甲车位移x甲=v甲t2+12at22乙车位移x乙=v乙t2将x甲、x乙代入位移关系式得v甲t2+12at22=v乙t2+L1代入数值并整理得t22-10t2-11=0解得t2=-1s(舍去)或t2=11s此时乙车位移x乙=v乙t2=660m因x乙L2,故乙车已冲过终点线,即到达终点线时甲车不能追上乙车。A组基础达标1.(2020江苏三校联考)猫和老鼠的家分别在同一条笔直街道上。老鼠从家出发沿街缓慢寻找食物的方向
18、正好冲着猫的家。在自家门口的猫看到后立刻以最大速度飞奔而上捕获老鼠后回家(假设老鼠没有发现危险)。下列x-t图中,大致能反映上述过程的是()答案C假设老鼠家为坐标原点,老鼠的位移逐渐增大,某一时刻,猫从家去追老鼠,则与老鼠家的距离逐渐减小,当猫抓到老鼠后又返回家,此时与原点距离逐渐增大,故C项正确,A、B、D项错误。2.甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是()A.在t1时刻两车速度相等B.从0到t1时间内,两车走过的路程相等C.从t1到t2时间内,两车走过的路程不相等D.在t1到t2时间内的某时刻,
19、两车速度相等答案D在x-t图像中,图线的斜率表示物体运动的速度,在t1时刻,两图线的斜率关系为k乙k甲,两车速度不相等;在t1到t2时间内,存在某一时刻甲图线的切线与乙图线平行,如图所示,该时刻两车速度相等,选项A错误,D正确。从0到t1时间内,乙车走过的路程为x1,甲车走过的路程小于x1,选项B错误。从t1到t2时间内,两车走过的路程都为x2-x1,选项C错误。3.(2020浙江瑞安开学考试)下列图像均能正确反映物体在直线上的运动,则在t=2s内物体位移最大的是()答案B4.甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度-时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列
20、说法正确的是()A.两车在t1时刻也并排行驶B.在t1时刻甲车在前,乙车在后C.甲车的加速度大小先增大后减小D.乙车的加速度大小先减小后增大答案Dv-t图线与时间轴包围的面积表示车运动的位移,t2时刻两车并排行驶,故t1时刻甲车在后,乙车在前,所以A、B错。v-t图线上各点切线的斜率表示瞬时加速度,由此可知,C错,D对。5.如图所示为某质点做直线运动的v-t图像,已知t0时刻质点的速度为v0,2t0时刻质点的速度为2v0。图中OA与AB是关于A点中心对称的曲线。由此可求出的物理量有()A.0t0时间内的位移B.t02t0时间内的平均速度C.02t0时间内的位移D.2t0时刻的加速度答案C对于v
21、-t图像,图线与时间轴围成的面积表示位移,0t0时间内的图像是曲线且不知曲线方程,无法求解0t0时间内的位移,同理也不清楚t02t0时间内图线的曲线方程,无法求解t02t0时间内的位移,也无法求解该时间段内的平均速度,故A、B错误;图中OA和AB是关于A点中心对称的曲线,利用割补法可知02t0时间内图线与时间轴围成的面积等于连接O、B的线段与时间轴围成的三角形面积,该面积可求,故C正确;对于v-t图像,图像的斜率表示加速度,但2t0时刻图像的斜率无法求解,即无法求解2t0时刻的加速度,故D错误。6.一个质点由静止开始沿直线运动,速度随位移变化的图像如图所示,关于质点的运动,下列说法中正确的是(
22、)A.质点做匀变速直线运动B.质点做匀加速直线运动C.质点做加速度逐渐减小的加速运动D.质点做加速度逐渐增大的加速运动答案D由图像可知,s与v成正比,即s=kv,k是比例系数(常量),v=st=kvt=ka,显然加速度与速度成正比,所以质点做加速度逐渐增大的加速运动,故D项正确,A、B、C项错误。7.一物体由静止开始运动,其加速度a与位移x的关系图线如图所示。则()A.物体最终静止B.物体的最大速度为12a0x0C.物体的最大速度为a0x0D.物体的最大速度为2a0x0答案C物体由静止开始运动,加速度变小直至为零,则物体做变加速直线运动,最终加速度为0,做匀速直线运动,故A错误;根据v2=2a
23、x知ax=v22,可知,a-x图线与x轴所围图形的面积表示v22,当x=x0时速度最大,设为vm,则得12a0x0=vm22,解得vm=a0x0,故B、D错误,C正确。8.(2020四川泸州一诊)甲、乙两车同时从同一地点沿同一直线运动,它们的运动速度随时间变化的v-t图像如图所示。关于两车的运动情况,下列说法正确的是()A.0t0内,乙车一直在做加速度减小的加速运动B.t=t0时,甲、乙两车恰好相遇C.t=2t0时,甲、乙两车相距最远D.02t0内,甲车的平均速度大于乙车的平均速度答案D0t0内,乙车先做减速运动,后做加速运动,且加速度逐渐减小,故选项A错误;在t=t0时,甲、乙两车速度相同,
24、则此时两车相距最远,故选项B、C错误;02t0内,甲车的位移大于乙车的位移,则甲车的平均速度大于乙车的平均速度,故选项D正确。9.(2020江苏苏锡常镇四市二调)行驶中的汽车遇到红灯刹车后做匀减速直线运动直到停止,等到绿灯时汽车又重新开始做匀加速直线运动直到恢复原来的速度匀速运动。关于汽车从刹车到恢复原速度的过程,以下位移随速度变化的关系图像正确的是()答案C减速运动时,x=v2-v022a(a为定值),斜率x(v)=2v2a=va,随v减小而减小,图像开口向下。加速运动时,x=v22a(a为定值),斜率x(v)=2v2a=va,随v增大而增大,所以图像开口向上,故C正确。B组综合提升10.(
25、2020山东新高考质量测评联盟联考)如图所示,在一次警犬训练中,训练员在O处将一物体以v0=20m/s的初速度沿地面向前弹射出去,物体的运动可视为匀减速直线运动,经x=100m停止运动。(1)物体做匀减速运动的加速度a1为多大?(2)物体做匀减速运动的同时,警犬由静止开始从O点沿同一直线做匀加速直线运动向前追赶物体。它能达到的最大速度为15m/s,结果刚好在物体停止运动时将其追上。则警犬加速时的加速度a2为多大?答案(1)2m/s2(2)2.25m/s2解析(1)将物体的匀减速直线运动看做反方向的匀加速直线运动,则由v02=2a1x解得a1=2m/s2(2)设警犬加速的时间为t1,匀速时间为t
26、2,对物体由x=12a1t2得t=10s对警犬有t=t1+t2加速位移x1=12a2t12匀速位移x-x1=vmaxt2联立解得a2=2.25m/s211.春节放假期间,全国高速公路免费通行,小轿车可以不停车通过收费站,但要求小轿车通过收费站窗口前x0=9m区间的速度不超过v0=6m/s。现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲=20m/s和v乙=34m/s的速度匀速行驶,甲车在前,乙车在后。甲车司机发现正前方收费站,开始以大小为a甲=2m/s2的加速度匀减速刹车。(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章。(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9m处的速度恰好为6m/
27、s,乙车司机在发现甲车刹车时经t0=0.5s的反应时间后开始以大小为a乙=4m/s2的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞,且乙车在收费站窗口前9m区间不超速,则在甲车司机开始刹车时,甲、乙两车至少相距多远?答案(1)100m(2)66m解析(1)对甲车,速度由20m/s减至6m/s过程中的位移x1=v甲2-v022a甲=91mx2=x0+x1=100m即甲车司机需在离收费站窗口至少100m处开始刹车(2)设甲刹车后经时间t,甲、乙两车速度相同,由运动学公式得v乙-a乙(t-t0)=v甲-a甲t解得t=8s相同速度v=v甲-a甲t=4m/s6m/s,即v=6m/s的共同速度为不相撞的临界条件乙车从发现甲车刹车到速度减为6m/s的过程中的位移x3=v乙t0+v乙2-v022a乙=157m所以甲、乙的距离至少为x=x3-x1=66m