1、20112012学年度下学期一模考试高三数学（理科） 第卷（选择题 共60分） 共120分钟一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 （ ）A. B. C. D. 2、已知，则=（ ）A. B. C. D. 3、如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为( )A. B. C. D. 4、已知为等差数列，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 5、“”是“函数有零点”的（ ）A.充分非必要条件 B.充要条件 论0
2、C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件6、在边长为1的正三角形中，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D.7、执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A或 B或 C或 D或8、如上图，给定两个平面向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中），则满足的概率为（ ）A B C D9、下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（ ） A.4 B.3.15 C.4.5 D.310、已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（
3、-1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11、已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的范围是（ ）A. B. C. D. 12、在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，.给出如下四个结论：；“整数属于同一类”的充要条件是“”.其中正确的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4第卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13、若f(x)在R上可导， ,则 .14、设面积为S的平面四边形的第条边的边长为，P是该四边形内一点，点P到第条边的距离记为，若，则，类比上述结论
4、，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，Q是该三棱锥内的一点，点Q到第个面的距离记为，若等于 。15、已知三边长分别为4、5、6的ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥PABC的体积为 16、已知等差数列的首项及公差都是整数，前项和为，若，设的结果为 。三.解答题（共6个小题，共70分）17、（满分12分）阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有- -由+ 得-令 有代入得 . () 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:; ()若的三个内角满足,试判断的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及()中的结论)18、
5、（本题满分12分）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步(如由A到B)；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步(如由A到C)，当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步(如由A到D)在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止(1)求质点P恰好返回到A点的概率；(2)在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求的数学期望19、（本题满分
6、12分）ABC第19题 图如图，在三棱锥中， （1）求证：平面平面（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； （3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.20、（本题满分12分）设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线（1）求双曲线的标准方程；（2）若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求的最大值；（3）若的面积满足，求的值21、（本题满分12分）已知函数 （I）当的单调区间； （II）若函数的最小值； （III）若对任意给定的，使得 的取值范围。请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
7、。22、选修4-1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆O1、圆O2交于C，D两点。求证：()PAPD=PEPC；()AD=AE。23、选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线，过点A（5，）（为锐角且）作平行于的直线，且与曲线L分别交于B，C两点。()以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线的普通方程；()求|BC|的长。 24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知关于x的不等式（其中）。()当a=4时，求不等式的解集；
8、()若不等式有解，求实数a的取值范围。 20112012学年度下学期一模考试高三数学（理科） 一、选择题1、A. 2、C. 3、D. 4、A. 5、C.6、B.7、D8、B 9、D.10、A 11、D. 12、C.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13、-18 14、 15、10 16、三.解答题（共6个小题，共70分）17、解法一：()证明:因为，- ，-1分- 得.-2分令有，代入得.5分()由二倍角公式,可化为 ,8分 所以.9分设的三个内角A,B,C所对的边分别为，由正弦定理可得.11分根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.12分解法二：()同解法一.()利用()中的结
9、论和二倍角公式,可化为 ，8分 因为A,B,C为的内角，所以，所以.又因为，所以,所以.从而.9分又,所以，故.11分所以为直角三角形. 12分18、解析：(1)投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为P1.只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为P2()23；若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果，其概率为P3()33；若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：(
10、1,1,1,1)其概率为P4()4.所以，质点P恰好返回到A点的概率为：PP2P3P4. 6分(2)由(1)知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且的可能取值为2,3,4，则P(2)，P(3)，P(4)，所以，E234. 12分19.(满分12分)解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OPOC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，OA=OB=OC,POAPOBPOC,OPOBOP平面ABC, OP在平面PAC中，平面平面 4分（2） 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0
11、,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ), 5分设平面PBC的法向量，由得方程组，取 6分 直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。 8分（2）由题意平面PAC的法向量， 设平面PAM的法向量为 又因为 取 11分B点到AM的最小值为垂直距离。 12分20解：（1）设双曲线的标准方程为：则据题得：又双曲线的标准方程为：（2）将代入到中并整理得：设则 又当且仅当时的最大值为9（3）直线的方程为：即到直线的距离为：又21、解：（I）当1分由由故3分 （II）因为上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立。4分令则5分 综上，若函数 6分 （III）所以，函数7分故 9
12、分此时，当的变化情况如下：0+最小值 即对任意恒成立。10分由式解得： 综合可知，当在使成立。12分22、【答案】（）分别是的割线 （2分）又分别是的切线和割线 （4分）由，得 （5分）F（）连结、 设与相交于点是的直径 是的切线. （6分）由（）知，, （8分）又是的切线， 又， （10分）23、（）由题意得，点的直角坐标为 (1分) 曲线L的普通方程为： （3分） 直线l的普通方程为： （5分）（）设B（）C（） 联立得 由韦达定理得， （7分） 由弦长公式得 （10分）【解析】略24、（）当时， 时，得 （1分） 时，得 （2分） 时，此时不存在 （3分） 不等式的解集为 （5分） （）设 故，即的最小值为