1、考点规范练43空间向量及其运算考点规范练A册第30页基础巩固1.(2019江西丰城中学期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若AE=AA1+xAB+yAD,则x,y的值分别为()A.x=1,y=1B.x=1,y=12C.x=12,y=12D.x=12,y=1答案:C解析:AE=AA1+A1E=AA1+12A1C1=AA1+12(AB+AD),故x=12,y=12.2.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是()A.2,12B.-13,12C.-3,2D.2,2答案:A解析:ab,存在kR,使b=ka,即(6,2-1,2)=k(
2、+1,0,2),则6=k(+1),2-1=0,2=2k,解得=2,=12或=-3,=12.3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a(a-b),则实数的值为()A.-2B.-143C.145D.2答案:D解析:由题意知a(a-b)=0,即a2-ab=0,14-7=0.=2.4.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足ABAC=0,ACAD=0,ABAD=0,M为BC的中点,则AMD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定答案:C解析:M为BC的中点,AM=12(AB+AC).AMAD=12(AB+AC)AD=12ABAD+12ACAD=0.AMAD,AMD为
3、直角三角形.5.(2019安徽阜阳调考)在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),若A,B,C,D四点共面,则()A.2x+y+z=1B.x+y+z=0C.x-y+z=-4D.x+y-z=0答案:A解析:A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2).A,B,C,D四点共面,存在实数,使得AD=AB+AC,即(x-1,y-1,z+2)=(0,1,-1)+(-2,2,2),x-1=-2,y-1=+2
4、,z+2=-+2,解得2x+y+z=1,故选A.6.在空间四边形ABCD中,则ABCD+ACDB+ADBC的值为()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:(方法一)如图,令AB=a,AC=b,AD=c,则ABCD+ACDB+ADBC=AB(AD-AC)+AC(AB-AD)+AD(AC-AB)=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.(方法二)在三棱锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等,由正四面体的对棱互相垂直可知,ABCD=0,ACDB=0,ADBC=0.故ABCD+ACDB+ADBC=0.7.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量与a的夹角为60
5、的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)答案:B解析:对于选项B,设b=(1,-1,0),则cos=ab|a|b|=1122=12.因为0180,所以=60,故选B.8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=(1,2,0),AD=(2,1,0),CC1=(0,1,5),则对角线AC1的边长为()A.42B.43C.52D.12答案:C解析:AC1=AA1+A1B1+B1C1=CC1+AB+AD=(0,1,5)+(1,2,0)+(2,1,0)=(3,4,5),所以|AC1|=32+42+52=52.9.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD
6、是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是()A.相交B.垂直C.不垂直D.成60角答案:B解析:因为ABAP=2(-1)+(-1)2+(-4)(-1)=0,所以ABAP.因为ADAP=4(-1)+22+0(-1)=0,所以ADAP.又ABAD=A,所以AP底面ABCD.10.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动.当QAQB最小时,点Q的坐标是.答案:43,43,83解析:设OQ=OP=(,2),则QA=(1-,2-,3-2),QB=(2-,1-,2-2).故Q
7、AQB=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6-432-23.所以当=43时,QAQB取得最小值-23,此时OQ=43,43,83.所以点Q的坐标是43,43,83.11.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为BC1D的重心,求证:(1)A1,G,C三点共线;(2)A1C平面BC1D.证明(1)CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1,可以证明CG=13(CB+CD+CC1)=13CA1,CGCA1,即A1,G,C三点共线.(2)设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a,且ab=bc=ca=0,CA1=a+
8、b+c,BC1=c-a,CA1BC1=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0.因此CA1BC1,即CA1BC1.同理CA1BD,又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,故A1C平面BC1D.能力提升12.在平行六面体ABCD-ABCD中,若AC=xAB+2yBC-3zCC,则x+y+z=()A.1B.76C.56D.23答案:B解析:AC=AC+CC=AD+AB+CC=AB+BC+CC=xAB+2yBC-3zCC,x=1,y=12,z=-13,x+y+z=1+12-13=76.13.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AEAF的值为()
9、A.a2B.12a2C.14a2D.34a2答案:C解析:如图,设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三个向量两两的夹角为60.AE=12(a+b),AF=12c,故AEAF=12(a+b)12c=14(ac+bc)=14(a2cos60+a2cos60)=14a2.高考预测14.如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E为BC延长线上一点,BC=2CE,则D1E=()A.AB+AD+AA1B.AB+12AD-AA1C.AB+AD-AA1D.AB+13AD-AA1答案:B解析:如图所示,取BC的中点F,连接A1F,则A1D1FE,且A1D1=FE,四边形A1D1EF是平行四边形,A1FD1E,且A1F=D1E.A1F=D1E.又A1F=A1A+AB+BF=-AA1+AB+12AD,D1E=AB+12AD-AA1.