1、6.2等差数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数的关系.主要考查等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查难度为中低档.1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用
2、字母d表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm
3、，S3mS2m，构成等差数列(7)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差为d.5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值概念方法微思考1“a，A，b是等差数列”是“A”的什么条件？提示充要条件2等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号
4、中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()题组二教材改编2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31 B32 C33 D34答案B解析由已知可得解得S88a1d32.3在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.答案180解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180
5、.题组三易错自纠4一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()Ad BdC.d D.d答案D解析由题意可得即所以0，a7a100，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90，S140，S140，a1a14a7a80，a80，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.1(2020长沙模拟)在等差数列an中，a12，a10a7，则a2 020等于()A1 348 B675 C1 344 D671答案A解析由a10a7 ，得29d(26d)，d，a2 02022 019d1 348.故选A.2(2019晋城模拟)记等差数列an的前n项和为Sn.若a616，S5
6、35，则an的公差为()A3 B2 C2 D3答案A解析由等差数列性质可知，S555a335，解得a37，故d3.故选A.3(2019贵州省凯里第一中学模拟)在数列an中，已知an1anan2an1，a1 0111，则该数列前2 021项的和S2 021等于()A2 021 B2 020 C4 042 D4 040答案A解析an1anan2an1，2an1anan2，an为等差数列，a1 0111，S2 0212 021.4已知数列an是等差数列，前n项和为Sn，满足a15a3S8，给出下列结论：a100；S10最小；S7S12；S200.其中一定正确的结论是()A B C D答案C解析因为a
7、15(a12d)8a128d，所以a19d，a10a19d0，正确；由于d的符号未知，所以S10不一定最小，错误；S77a121d42d，S1212a166d42d，所以S7S12，正确；S2020a1190d10d，错误所以正确的是，故选C.5程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A65 B176 C183 D184答案D解析根据题意可知每个孩子所
8、得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.由等差数列前n项和公式可得8a117996，解得a165.由等差数列通项公式得a865(81)17184.则第八个孩子分得斤数为184.6(2019宁夏银川一中月考)在等差数列an中，若0成立的正整数n的最大值是()A15 B16 C17 D14答案C解析等差数列an的前n项和有最大值，等差数列an为递减数列，又0，a100，a9a100，又S189(a9a10)0，Sn0成立的正整数n的最大值是17.故选C.7(2019全国)记Sn为等差数列an的前n项和若a35，a713，则S10_.答案100解析an为等差数列，a35，a7
9、13，公差d2，首项a1a32d5221，S1010a1d100.8(2020三明质检)在等差数列an中，若a7，则sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13_.答案0解析根据题意可得a1a132a7，2a12a134a72，所以有sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13sin 2a1sin(22a1)cos a1cos(a1)0.9等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则_.答案解析在等差数列中，S1919a10，T1919b10，因此.10已知数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，则an_.答案(n23n3)2解析数列是公差为2的等差数列，且
10、a11，a39，(1)2(n1)，(1)2，3(1)2，a21.2n2，当n2时，2(n1)22(n2)222122(n1)1n23n3.an(n23n3)2，n1时也成立an(n23n3)2.11已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明，bn1bn，bn是首项为1，公差为的等差数列(2)解由(1)及b11，知bnn，an1，an.12已知等差数列an的公差d0，设an的前n项和为Sn，a11，S2S336.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65.解(
11、1)由题意知(a1a2)(a1a2a3)36，即(2a1d)(3a13d)36，将a11代入上式解得d2或d5.因为d0，所以d2，所以an12(n1)2n1，Snn2n2.(2)由(1)得amam1am2amk2m12(m1)12(m2)12(mk)1(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65，由m，kN*知2mk1k11，且2mk1与k1均为整数，故解得即所求m的值为5，k的值为4.13已知等差数列an的前n项和为Sn，bn且b1b317，b2b468，则S10等于()A90 B100 C110 D120答案A解析设an的公差为d，2d4，d2，b1b317，1，a10，S1010
12、a1d290，故选A.14已知数列an与均为等差数列(nN*)，且a12，则a20_.答案40解析设an2(n1)d，所以，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d2)20，d2.所以a202(201)240.15(2020黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x2y24，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为()A2 B. C. D.答案D解析因为在实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，所以设中间三项为a，b，c，由等差数列的性质可得2bxy，所以b，同理可得c，所以后三项的和为bcyy，又因为x2y24，所
13、以可令x2cos ，y2sin ，所以(cos 3sin )sin().故选D.16记m，若是等差数列，则称m为数列an的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列an的“dn等比均值”已知数列an的“2n1等差均值”为2，数列bn的“3n1等比均值”为3.记cnklog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有SnS6，求实数k的取值范围解由题意得2，所以a13a2(2n1)an2n，所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，两式相减得an(n2，nN*)当n1时，a12，符合上式，所以an(nN*)又由题意得3，所以b13b23n1bn3n，所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)，两式相减得bn32n(n2，nN*)当n1时，b13，符合上式，所以bn32n(nN*)因为cnklog3bn，所以cn(2k)n2k1.因为对任意的正整数n都有SnS6，所以解得k.