1、第二讲古典概型与几何概型1.2017全国卷,2,5分理如图12 - 2 - 1,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()图12 - 2 - 1A.14B.8C.12D.42.2019全国卷,3,5分两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.123.2020百校联考“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”讲的是昭君出塞的故事;“闭月”讲的是貂蝉拜月的故事;“羞花”讲的是杨贵妃观花
2、的故事.她们是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象,甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为()A.13B.712C.512D.124.2020贵阳高三摸底考试某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:508:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:509:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.125.新情境题著名的“3N+1猜想”是指对于任一个正整数n,若n是偶数,则让它变成n2;若n是奇数,则让它变成3n+1.如此循环,
3、最终都会变成1.若数字5,6,7,8,9按照以上猜想进行变换,从中随机抽取一个数字,该数字的变换次数为奇数的概率为()A.15B.25C.35D.456.2018全国卷,10,5分理图12 - 2 - 2来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3 图12 - 2 - 27.2020广东惠州高三调研关于圆周率,数学发展史
4、上出现过许多有创意的求法,如著名的蒲丰实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对(x,y),再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m,最后根据统计个数m估计的值.如果统计结果是m=34,那么可以估计的值为()A.237B.4715C.1715D.53178.2019江苏,6,5分从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.考法1古典概型的求法1(1)2017全国卷,11,5分从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张
5、,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C.310D.25(2)2018全国卷,8,5分理我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A.112B.114C.115D.118(1)先用列举法或画树状图法求出基本事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解. (2)先写出不超过30的素数所含的基本事件数,然后求出两个不同的数的和等于30所含的基本事件数,再利用古典概型的概率公式求解即可.(1)解法一依题意,记两
6、次取的卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足ab的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4).(按顺序列举,不重不漏)因此所求的概率为1025=25.解法二画出树状图如图12 - 2 - 3所示.图12 - 2 - 3由图12 - 2 - 3可知,所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率为1025=25.(2)不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选取两个不同的数,有C102种不同的取法,其中
7、两个不同的数的和等于30的有3对,所以所求概率P=3C102=1 15.(1)D(2)C1.(1)2019合肥高三三检若a,b是从集合 - 1,1,2,3,4中随机选取的两个不同元素,则使得函数f (x)=x5a+xb是奇函数的概率为()A.320B.310C.925D.35(2)某市教育局准备举办三期高中数学教学常规培训,某校共有5名高一数学老师参加此培训,每期至多派送2名参加,每名老师只能参加1次培训,且学校准备随机派送,则甲老师不参加第一期培训的概率为()A.13B.25C.35D.23考法2几何概型的求法命题角度1与长度、角度有关的几何概型2在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C.(1
8、)在斜边AB上任取一点M,求AMAC的概率;(2)在ACB的内部,以C为端点任作一条射线CN,与线段AB交于点N,求ANAC的概率.确定构成事件的区域根据几何概型的概率计算公式求解 (1)如图12 - 2 - 4所示,在AB上取一点C ,使AC =AC,连接CC .由题意知AB=2AC. 图12 - 2 - 4因为点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB.所以P(AMAC)=ACAB=AC2AC=22.(区域为一维,用长度比)(2)由于在ACB内以C为端点任作一条射线CN,所以CN等可能分布在ACB内的任一位置,因此基本事件的区域应是ACB,所以
9、P(ANAC)=ACCACB=-422=34.(利用角度比求概率)命题角度2与面积有关的几何概型3 2020安徽江淮十校第一次联考勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形,它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的.其画法是:先画一个正三角形,再以正三角形每顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形,如图12 - 2 - 5中实线所示.现要在勒洛三角形中随机取一点,则此点在正三角形ABC内的概率为图12 - 2 - 5A.2-332(-3) B.32(-3)C.32(+3) D.2-332(+3)首先明确所求概率类型为一个与面积相关的几何概型,然后明
10、确勒洛三角形的定义三段圆弧围成的曲边三角形,勒洛三角形的面积需要借助扇形面积与三角形面积求解,最后求出正三角形ABC的面积,代入几何概型的概率计算公式求解即可.不妨设BC=2,则以B为圆心的扇形ABC的面积S扇形ABC=226=23,ABC的面积SABC=122232=3.由图12 - 2 - 5可知,勒洛三角形的面积为3个扇形ABC的面积减去2个正三角形ABC的面积,即233 - 23=2 - 23,所以在勒洛三角形中随机取一点,此点在正三角形ABC内的概率是32-23=32(-3).B易错警示求解该题易出现的问题是不能正确理解勒洛三角形的定义,导致求错其面积而出错.由题意可知,勒洛三角形的
11、面积可以用三个扇形的面积减去两个正三角形的面积,也可以用三个弓形的面积加上一个正三角形的面积求解.命题角度3与体积有关的几何概型42019山东潍坊模拟一个多面体的直观图和三视图分别如图12 - 2 - 6,图12 - 2 - 7所示,M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADF - BCE内自由飞翔,则它飞入几何体F - AMCD内的概率为A.34B.23C.13D.12先根据四棱锥和三棱柱的体积公式,求出几何体F - AMCD与ADF - BCE的体积,再根据几何概型的概率计算公式求解即可.易知V几何体F - AMCD=13S梯形AMCDDF =14a3,V几何体ADF - BCE=12a3,所以
12、蝴蝶飞入几何体F - AMCD内的概率为14a312a3=12.D2.(1)2020湖北武汉模拟在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,0),B(1,2),D(3,2),动点P满足OP=OA+OB,其中0,1,0,2,+1,2,则点P落在三角形ABD内的概率为()A.12B.33C.32D.23(2)2017江苏,7,5分记函数f (x)=6+x-x2的定义域为D.在区间 - 4,5上随机取一个数x,则xD的概率是.考法3随机模拟的应用5 2016全国卷,10,5分理从区间0,1内随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其
13、中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn易知0xn1,0yn1表示的平面区域为正方形及其内部,设该正方形的面积为S,由xn2+yn21构成的图形的面积为S ,则SS=141mn,所以4mn.C3.采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46
14、980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为.数学文化概率与数学文化6(1)2019全国卷,6,5分理我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图12 - 2 - 8就是一重卦.图12 - 2 - 8在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116 (2)2020大同高三调研我国古代数学家赵爽给出了勾股定理的绝妙证明,图12 - 2 - 9是赵爽的弦图,弦图是一个以勾股
15、形之弦为边的正方形,其面积称为弦实,图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色、黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2勾股+(股 - 勾)2=4朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2,设其中勾股比为13,若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为图12 - 2 - 9A.866 B.500 C.300 D.134(1)计算出从金、木、水、火、土这5类元素中任取2类,共有的情况数计算出2类元素相生的情况数由古典概型的概率公式求出结果(2)由勾股比为13,设勾为1求出大、小正方形的边长求出大、小正方形的面积比,求出落在黄色图形内的图钉数(1)从
16、金、木、水、火、土这5类元素中任取2类,共有金,木,金,水,金,火,金,土,木,水,木,火,木,土,水,火,水,土,火,土10种情况,其中2类元素相生的有金,水,金,土,木,水,木,火,火,土5种情况,所以所取2类元素相生的概率为510=12.(2)因为勾股比为13,不妨设勾为1,则股为3,大正方形的边长为2,小正方形的边长为3 - 1.设落在黄色图形内的图钉数为n,则有n1000=(3-1)24,解得n134.(1)A(2)D素养探源核心素养考查途径素养水平数学建模(1)确定所求为古典概型;(2)确定所求为几何概型二数学运算(1)由古典概型概率计算公式求出概率;(2)由勾股比求出大小正方形的
17、边长,并由几何概型的概率计算公式求出概率一解后反思五行学说是中国古代的一种哲学思想,对中医学理论体系的形成与发展有着深远的影响.本题组第(1)题以五行学说为背景,考查古典概型的概率计算的同时,也弘扬了中国的传统文化.赵爽用弦图证明勾股定理,这是我国古代数学的重要成就,通过几何图形的切割、拼补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又有直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.本题组中的第(2)题由此演变而成,很好地渗透了中国的数学文化.4.2019广东深圳模拟利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点,具体方法如下:(1)作线段AB,过点B作AB的
18、垂线,并用圆规在垂线上截取BC=12AB,连接AC;(2)以C为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D;(3)以A为圆心,以AD为半径画弧,交AB于点E.则点E为线段AB的黄金分割点.若所作线段AB=2(如图12 - 2 - 10),在线段AB上随机取一点F ,则使得BEAF AE的概率约为(参考数据:52.236)()A.0.236B.0.382C.0.472D.0.618 12 - 2 - 10321.B不妨设正方形ABCD的边长为2,则正方形ABCD的面积为4,正方形ABCD的内切圆的半径为1,面积为.由于正方形ABCD内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,所以黑色部分的面积为2
19、,故此点取自黑色部分的概率为24=8,故选B.2.D将两位男同学分别记为A1,A2,两位女同学分别记为B1,B2,则四位同学排成一列,情况有:A1A2B1B2,A1A2B2B1,A2A1B1B2,A2A1B2B1,A1B1A2B2,A1B2A2B1,A2B1A1B2,A2B2A1B1,B1A1A2B2,B1A2A1B2,B2A1A2B1,B2A2A1B1,A1B1B2A2,A1B2B1A2,A2B1B2A1,A2B2B1A1,B1B2A1A2,B1B2A2A1,B2B1A1A2,B2B1A2A1,B1A1B2A2,B1A2B2A1,B2A1B1A2,B2A2B1A1,共有24种.其中两位女同学
20、相邻的有12种,所以所求概率P=12.故选D.3.B依题意,所有的扮演情况有A44=24(种),其中甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况有A33+2A22A22=14(种),故所求概率P=1424=712.故选B.4.B随机到达教室总的时间长度为40分钟,第二节课8:40开始,9:20结束,听第二节课的时间不少于20分钟,必须在9:00前到达教室,即8:509:00到达即可,时间长度为10分钟,由几何概型的概率计算公式知他听第二节课的时间不少于20分钟的概率P=1040=14.故选B.5.C依题意知,5168 421,共进行5次变换;6310 5,共进行8次变换;7221134175226134
21、020105,共进行16次变换;由以上可知,8变换为1共需要进行3次变换;928147,共进行19次变换.故变换次数为奇数的概率为35,故选C.6.A解法一设直角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则区域的面积即ABC的面积,为S1=12bc,区域的面积S2=12(c2)2+12(b2)2 - (a2)22-12bc=18(c2+b2 - a2)+12bc=12bc,所以S1=S2,由几何概型的知识知p1=p2,故选A.解法二不妨设ABC为等腰直角三角形,AB=AC=2,则BC=22,所以区域的面积(即ABC的面积)为S1=1222=2,区域的面积S2=12 - (2)22
22、- 2=2,区域的面积S3=(2)22 - 2= - 2.根据几何概型的概率计算公式,得p1=p2=2+2,p3= - 2+2,所以p1p3,p2p3,p1p2+p3,故选A.【试题评析】本题以古希腊数学家研究的几何图形为背景,考查几何概型.【考向指导】通过对与数学文化有关的问题的考查,使考生深刻认识到数学传统文化的博大精深和源远流长.高考对数学文化的考查主要有三个方面:一是以古代数学文化为背景命制与核心考点相结合的题目;二是直接解答古代数学问题;三是利用古代数学成果解决核心考点中的数学问题.7.B由题意,120对正实数对(x,y)中的x,y满足0x1,0y1,x2+y2 - 10,0x1,0
23、y1,该不等式组表示的平面区域的面积为4-12,则4-1234120,44760,4715,故选B.8.710记3名男同学为A,B,C,2名女同学为a,b,则从中任选2名同学的情况有A,B,A,C,A,a,A,b,B,C,B,a,B,b,C,a,C,b,a,b,共10种,其中至少有1名女同学的情况有A,a,A,b,B,a,B,b,C,a,C,b,a,b,共7种,故所求概率为710.【易错警示】古典概型中基本事件的计数一般利用列举法,注意列举要按照一定的顺序,避免重复和遗漏.1.(1)B记集合A= - 1,1,2,3,4,要使函数f (x)=x5a+xb是奇函数(a,b是从A中随机选取的两个不同
24、元素),则a,b只能是从 - 1,1,3中任选的两个不同元素,则所求概率P=A32A52=310.故选B.(2)D解法一5名高一数学老师参加此培训,且每期至多派送2名参加,派送方法共有C52C32A22A33=90(种),其中甲老师不参加第一期培训的派送方法有两种:第一期培训派送1名时,有C41C42C22种方法;第一期培训派送2名时,有C42C32A22种方法.所以甲老师不参加第一期培训的派送方法共有C41C42C22+C42C32A22=60(种).所以所求概率P=6090=23,故选D.解法二5名高一数学老师参加此培训,且每期至多派送2名参加,派送方法共有C52C32A22A33=90(
25、种),其中甲老师参加第一期培训的派送方法有两种:第一期培训派送1名时,有C42C22种方法,第一期培训派送2名时,有(C41C32+C41C31)种方法.所以甲老师参加第一期培训的派送方法共有C42C22+C41C32+C41C31=30(种).所以所求概率P=90 - 3090=23,故选D.2.(1)A由题意得OP=OA+OB=(3,0)+(1,2)=(3+,2).设P(x,y),则x=3+,y=2,解得=33(x - y2),=y2,因为0,1,0,2,+1,2,所以033(x - y2)1,0y22,133(x - y2)+y22,化简得02x - y23,0y4,232x+(3 -
26、1)y43.作出不等式组表示的平面区域,如图D 12 - 2 - 1中阴影部分所示,点P位于平行四边形ABEC的内部(包含边界).图D 12 - 2 - 1记事件M为点P落在三角形ABD内,则由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P(M)=SABCS四边形ABEC=12.故选A.【试题评析】本题将平面几何与线性规划、平面向量有机结合,侧重考查了三角形面积公式及以面积为测度的几何概型的概率的求解.(2)59由6+x - x20,解得 - 2x3,则D= - 2,3,则所求概率为3 - ( - 2)5 - ( - 4)=59.3.0.4根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为75279857863669474698804595977424,所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820=0.4.4.A由题意知AB=2,BC=1,AC=5,CD=1,AE=AD=5 - 1,BE=3 - 5,所以BEAFAE即3 - 5AF5 - 1,故所求概率为(5 - 1) - (3 - 5)2=5 - 20.236.故选A.【试题评析】“黄金分割”在各类试题中经常出现,比如2019年全国卷第4题关于“断臂维纳斯”的问题就是“黄金分割”问题.与此相关的有“黄金三角形”“黄金四边形”“黄金椭圆”“黄金双曲线”等,要多加留心.