1、课时作业 39 空间几何体的表面积和体积基础达标一、选择题1若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120，半径为 l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是()A3:2 B2:1C4:3 D5:3解析：底面半径 r232l13l，故圆锥中 S 侧13l2，S 表13l213l249l2，所以表面积与侧面积的比为 4:3.答案：C22020重庆一中调考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4C24 D34解析：由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示，表面积为 22212121243，故选 D 项答案：D32020益阳市，湘潭市高三调研如图，网格纸上小正方体的边长为
2、1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是()A.23B.43C.83D4解析：由三视图可得三棱锥为图中所示的三棱锥 APBC(放到棱长为 2 的正方体中)，VAPBC13SPBCAB131222243.故选B.答案：B42020云南昆明教学质量检测一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为()A12 3B24C12 3D242 3解析：根据三视图可知该三棱柱的直观图如图所示，所以该三棱柱的侧面积 S2 321224(222)424.故选 B 项答案：B52020湖南东部六校联考某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大面的面积是()A4 3B8 3C4 7D8解析
3、：如图，设该三棱锥为 PABC，其中 PA底面 ABC，PA4，ABC 是边长为 4 的等边三角形，故 PBPC4 2，所以 SABC12423 43，SPAB SPAC 12 44 8，SPBC 1244 22224 7，故四个面中最大面的面积为 SPBC4 7，故选 C 项答案：C62020湖南六校联考如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为 8，则 x 等于()A1 B2C3 D4解析：由三视图可知，该几何体为一个底面是直角梯形的四棱锥(如图)，体积 V122423x8，x4.故选 D 项答案：D72020山东德州联考圆锥被一个平面截去一部分后与半球组成一个几何体，如图所示是该几何
4、体的三视图，则该几何体的表面积为()A54 3B104 3C144 3D184 3解析：由三视图可知该几何体是由半个圆锥和半个球构成的，所以 几 何 体 的 表 面 积 为 12 423 12 22 12 422 122222 32144 3.故选 C 项答案：C82020北京昌平区检测九章算术是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为 1.62 立方尺，由此估算出堆放的米约有()A2
5、1 斛B34 斛C55 斛D63 斛解析：设圆锥的底面14圆的半径为 r，则2r8，解得 r16，故米堆的体积为1413(16)253203(立方尺)1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，3203 1.6221(斛)，故选 A 项答案：A92019河南新乡二模已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.323 B.163C.83 D.43解析：由三视图可知，该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，其直观图如图所示，结合三视图中的数据可知该几何体的体积 VV 柱V 锥12(11)121312(11)1283，故选 C 项答案：C102020广东深圳调研如图，在平面四边形 ABCD
6、 中，ABADCD1，BD 2，BDCD，将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 的所有顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.32B3C.23D2解析：如图，取 BD 的中点 E，BC 的中点 O，连接 AE，OD，EO，AO.因为 ABAD，所以 AEBD.由于平面 ABD平面 BCD，平面ABD平面 BCDBD，所以 AE平面 BCD.因为 ABADCD1，BD 2，所以 AE 22，EO12，所以 OA 32.在 RtBDC 中，OBOCOD12BC 32，所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，半径为 32，所以该球的体积 V4
7、3（32）3 32.答案：A二、填空题112020南昌模拟如图，直角梯形 ABCD 中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将直角梯形绕 BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为_解析：本题考查几何体的表面积所得几何体的表面积是底面圆半径为 1、高为 1 的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为 1、高为1 的圆锥的侧面积之和，即为 2 2(3 2).答案：(3 2)122020黑龙江哈尔滨六中模拟如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 AA18，当侧面 AA1B1B 水平放置时，液面恰好过 AC，BC，A1C1，B1C1 的中点，当底面 ABC 水平放置时，液面高为_解析：设底面 AB
8、C 的面积为 S，当侧面 AA1B1B 水平放置时，液面恰好过 AC，BC，A1C1，B1C1 的中点，则水的体积为34S8，当底面 ABC水平放置时，设液面高为 h，水的体积为 Sh，则 Sh34S8，可得 h6.答案：6132020湖南重点中学联考九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵已知一个堑堵的底面积为 6，其各面均与体积为43 的球相切，则该堑堵的表面积为_解析：设球的半径为 r，堑堵底面三角形的周长为 l，由已知得 r1，堑堵的高为 2.则12lr6，l12，表面积 S1226236.答案：36142020广东广州调研已知圆锥的底面半
9、径为 1，高为 2 2，点P 是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点 P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点 P，则绕行的最短距离是_解析：易知圆锥的侧面展开图是扇形，如图，设展开的扇形 AOA的圆心角为，易得半径 OA3，因为圆锥的底面半径 r1，所以根据弧长公式可得 23，即扇形的圆心角 23.连接 AA，作OHAA，交 AA于点 H，则易得AOH3，所以动点从点 P 出发在圆锥侧面上绕一圈之后回到点 P 的最短距离为所对的弦长，即AA2AH2OAsinAOH23 32 3 3.答案：3 3能力挑战 152020河北六校联考如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几
10、何体的体积为()A.648 23B.644 23C.328 23D.324 23解析：由三视图知，这个几何体是由一个四棱锥 SABCD 挖去18个球得到的，其直观图放在正方体(正方体是虚拟图，起辅助作用)中如图所示，故该几何体的体积为134441843(2 2)3648 23，选 A 项答案：A162020湖南六校联考在九章算术中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马如图，若四棱锥 PABCD为阳马，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA3，BCAB4，设该阳马的外接球半径为 R，内切球半径为 r，则Rr_.解析：易知该阳马补形所得到的长方体的体对角线为外接球的直径，所以(2R)2
11、AB2BC2AP242423241，得 R 412.因为侧棱 PA底面 ABCD，且底面 ABCD 为正方形，所以内切球 O1 在侧面PAD 上的射影是PAD 的内切圆，设 O1 在侧面 PAD 上的射影为 O2，连接 O2P，O2A，O2D，则由 SPADSPAO2SPDO2SADO2，易得 r1，故Rr 412.答案：412172019全国卷中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_解析：本题主要考查考生的运算求解能力、空间想象能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6 个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由 18 个正方形，8 个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有 26 个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为 x，则 22 xx 22 x1，解得 x 21，故题中的半正多面体的棱长为 21.答案：26 21