1、鹤壁高中高二年级理数12.20周练试卷 一选择题（共18小题）1在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比丙高乙：我的成绩比丙高丙：甲的成绩比我和乙的都高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A甲、乙、丙B乙、丙、甲C丙、乙、甲D甲、丙、乙2网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”中国鞋码实际标准（mm）220225230235240245250255260265中国鞋码习惯称呼（号）34353637383940414243从上述表格可以推算出，“30号”的童鞋对应的脚的长度为（）A
2、150mmB200mmC180mmD210mm3申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数字联赛，4名同学各自对结果估计如下，A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”；C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”，已知其中有且只有2人的估计是正确的，则去参加联赛是（）AA同学BB同学CC同学DD同学4古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图中的1，4，9，16，这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A189B1225C1024D13785
3、对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数a的31次方是个35位数，那么根据1034a311035，取常用对数得可得到1.09lga1.15，由对数表可知这个数是13，已知某个正整数的57次方是个45位数，则该正整数是（）a23567911121314lga0.300.480.700.780.850.951.041.081.111.18A5B6C7D86正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例如a4，39，则a64，5等于（）A2019B2020C2021D20227若P+，Q+（a0），则P，Q的大小关系是（）APQBPQCPQD由a的取值确定8曲线
4、yx2+2x与直线x1，x1及x轴所围图形的面积为（）A2BCD9 如图，已知O：x2+y22与x轴的正半轴交于点A，与曲线交于第一象限的点B，则阴影部分的面积为（）ABCD10设f（x）是函数f（x）的导函数，若f（x）0，且x1，x2R（x1x2），f（x1）+f（x2）2f（），则下列各项中不一定正确的是（）Af（2）f（e）f（） Bf（）f（e）f（2）Cf（2）f（2）f（3）f（3） Df（3）f（3）f（2）f（2）11在边长为2的等边三角形ABC中，若，则（）AB2CD412已知F1，F2分别为双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且F1AF260，若F1AF
5、2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）ABCD13原子有稳定和不稳定两种不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出、等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”这种不稳定的元素就称为放射性同位素随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系N（t），其中N0为t0时钍234的含量已知t24时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2，则N（120）（）A12贝克B12ln2贝
6、克C6贝克D6ln2贝克14已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A25：1B1：25C1：5D5：115定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），若f（x）f（x），f（2）1008，则不等式e2f（x+1）1008ex+10的解集为（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（1，+）16函数f（x）alnx+x2的图象存在与直线xy0垂直的切线，则实数a的取值范围是（）A（，）B（，C（，0）D（0，+）17已知函数，函数f（x）的两个极值点分别在区间（0，1）与（1，2）内，则a+2b的取值范围为（）A（3，
7、1）B（2，1）C（1，+）D（3，+）18设函数f（x）ex（2x1）mx+m，其中m1，若有且仅有两个不同的整数n，使得f（n）0，则m的取值范围是（）A，）B，）C，）D，1）二填空题（共4小题）19曲线y（x+2）ex在点（0，2）处的切线方程为 20已知f（x）的定义域为（，0）（0，+），f（x）是f（x）的导函数，且满足xf（x）2f（x）0，若f（x）是偶函数，f（1）1，则不等式f（x）x2的解集为 21已知函数f（x）lnxax2bx，若x1是函数f（x）的极大值点，则实数a的取值范围是 22已知F为抛物线C：y22x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与抛
8、物线交于A、B两点，直线l2与抛物线交于C、D两点，则AB+CD的最小值为 四解答题（共4小题）23公差不为0的等差数列an中，前n项和记为Sn若a11，且S1，2S2，4S4成等比数列（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn24在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，M为AA1的中点，BCBD1，ABAA1（1）求证：MD平面BDC1；（2）求二面角MBC1D的余弦值25已知椭圆E：（ab0）过点（0，1），离心率为（1）求椭圆方程；（2）已知不过原点的直线l：ykx+t（k0）与椭圆E相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为M，直线AB，MB分别与x轴相
9、交于点P，Q，求|OP|OQ|的值26已知函数f（x）x2+（a1）x+1ex，其中e为自然对数的底数（1）若a2，求函数f（x）在（0，f （0）处的切线方程；（2）若函数f（x）+e20恒成立，求实数a的取值范围高二理数周练答案一选择题（共18小题）1【分析】分别讨论甲、乙、丙预测正确时的情况，根据三人成绩互不相同且只有一个人预测正确判断，即可得到结果【解答】解：若甲预测正确，则乙预测错误，所以有甲丙，乙丙，即甲丙乙，此时丙预测正确，不符合题意，若乙预测正确，则甲预测错误，所以甲丙，乙丙，即乙丙甲，此时丙预测错误，符合题意，若丙预测正确，则甲，乙预测错误，所以甲丙，乙丙，所以甲不是最高的，
10、与丙正确矛盾，不符合题意，所以乙预测正确，三人按成绩由高到低的次序为乙、丙、甲，故选：B【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题2【分析】设脚的长度为ymm，对应的鞋码为x码，根据题意得到y关于x的函数关系式，代入x30即可求出“30号”的童鞋对应的脚的长度【解答】解：设脚的长度为ymm，对应的鞋码为x码，则由题意可知：y5x+50，所以当x30时，y530+50200，故选：B【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题3【分析】逐个分析去参加联赛是A，B，C，D时，每个人估计的结果的正误，估计有且只有2人的估计是正确的即可判断出去参加联赛的人【解答】解：若去参加联赛是A，则A估计正
11、确，B估计错误，C估计正确，D估计错误，符合题意，若去参加联赛是B，则A估计错误，B估计正确，C估计正确，D估计正确，不符合题意，所以去参加联赛的不是B，若去参加联赛是C，则A估计错误，B估计错误，C估计错误，D估计错误，不符合题意，所以去参加联赛的不是C，若去参加联赛是D，则A估计错误，B估计错误，C估计错误，D估计正确，不符合题意，所以去参加联赛的不是D，所以去参加联赛是A，故选：A【点评】本题主要考查了简单的合情推理，考查了学生的推理能力，是基础题4【分析】分别研究出和的通项公式，再逐项研究【解答】解：设的通项公式为an，的通项公式为bn，则，a11，anan1n， 可得，an；bnn2
12、； 选项A与D不是一个完全平方数，故A与D不符合题意；选项B，得（n49）（n+50）0，即n49；故选项B正确； 对于选项C，此时该方程无正整数解；故选：B【点评】本题考查了学生的观察能力，计算能力，属于基础题5【分析】根据题意可得设这个数为a，则1044a571045，即可求出0.77lga0.79，即可求出【解答】解：某个正整数的57次方是个45位数，设这个数为a，则1044a571045， 则lga， 则0.77lga0.79， a6， 故选：B【点评】本题考查了归纳推理问题，关键是找到规律，属于基础题6【分析】根据题意，分析每一行第一个数的变化规律，即可得第64行第1列的数，据此分析
13、可得答案【解答】解：根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1+11，第2行第1列的数为2，此时a2，1+12，第3行第1列的数为4，此时a3，1+14，据此分析可得：第64行第1列的数为a64，1+12017，则a64，52021；故选：C【点评】本题考查归纳推理的应用，注意分析每一行第一个数的值，属于基础题7【分析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子P+，Q+，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明【解答】解：要证PQ，只要证P2Q2，只要证：2a+7+22a+7+2， 只要证：a2+7aa2+7a+12，只要证：012， 012成立， PQ成立 故选：C
14、【点评】分析法通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”8【分析】直接利用求被积函数的原函数的求法和定积分知识的应用求出结果【解答】解：曲线yx2+2x与直线x1，x1及x轴所围图形的面积为S2故选：A【点评】本题考查的知识要点：定积分，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基
15、础题9【分析】先求出圆与曲线的交点B，得出OB的方程，由定积分的概念求出阴影面积【解答】解：由B（1，1）， 连接OB，OB：yx，则，故选：D【点评】本题考查了定积分的简单应用，属于基础题10【分析】f（x）0，f（x）在R上单调递增，由，可得，可得yf（x）的图象如图所示，图象是向上凸进而判断出正误【解答】解：f（x）0，f（x）在R上单调递增，yf（x）的图象如图所示，图象是向上凸f（2）f（e）f（），f（）f（e）f（2），可知：A，B正确f（3）f（2），表示点A（2，f（2），B（3，f（3）的连线的斜率由图可知：f（3）kABf（2），故D正确C项无法推出，故选：C【点评】本题
16、考查了利用导数研究函数的单调性、切线的斜率、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题11【分析】直接利用向量的三角形法则以及数量积的运算代入求解即可【解答】解：如图：，4+22（）故选：A【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目12【分析】先假设A在右支上，利用角平分线的性质和双曲线定义可求出|AF1|，|AF2|与a的关系，然后在三角形中利用余弦定理化简即可求解【解答】解：设OF2的中点为M，另设|AF1|m，|AF2|n，假设A在双曲线的右支上，由角平分线的性质可得，又M是OF2的中点，则，根据双曲线的定义可得：mn2a，所以m3a，na，则在三角形AF
17、1F2中，由余弦定理可得：cosF1AF2，所以cos60，化简可得，即，所以双曲线的离心率为，故选：B【点评】本题考查了双曲线的定义性质，涉及了角平分线的性质以及余弦定理，属于基础题13【分析】求导得到，根据题意N（24）8ln2，所以求出N0的值，进而得到，从而求出N（120）的值【解答】解：N（t），t24时，8ln2，N0488384，3842512，故选：A【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查学生的运算能力，是中档题14【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，利用正三棱柱的内切球的半径为正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，求出内切球的半径R1，再利用正三棱柱的外接球的球心是上
18、下底面中心连接线段的中点，结合勾股定理求出外接球的半径R2，从而得到外接球与内切球表面积之比【解答】解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球内切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，所以，故正三棱柱的高为2，当球外接于正三棱柱时，设球的半径为R2，则球心是上下底面中心连接线段的中点，如图所示：，因为OO1R1，CO1，所以，外接球与内切球表面积之比为5：1，故选：D【点评】本题主要考查了三棱柱的内切球与外接球的问题，考查了学生的空间想象能力，是中档题15【分析】令，求导分析g（x）单调性，结合不等式e2f（x+1）1008ex+10，推出，所以x+12，进而解得x
19、的取值范围【解答】解：令，则，所以g（x）在R上单调递增因为，所以不等式e2f（x+1）1008ex+10，可变形得，所以x+12，解得x1故选：D【点评】本题考查导数的综合应用，解题关键是构造函数，属于中档题16【分析】求出十的导函数，由题意可得1在（0，+）上有解，即a2x2x在（0，+）上有解，利用函数的单调性求得2x2x在（0，+）上的范围可得答案【解答】解：由f（x）alnx+x2，得f（x），函数f（x）alnx+x2的图象存在与直线xy0垂直的切线，1在（0，+）上有解，即a2x2x在（0，+）上有解，y2x2x的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x，则函数在（0，+）上单调递
20、减，则y2x2x0，实数a的取值范围是（，0）故选：C【点评】本题考查导数的应用，训练了利用函数的单调性求最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题17【分析】求出函数的导数，根据x2+ax+2b0的两个根分别在区间（0，1）与（1，2）内，得到关于a，b的不等式组，求出a+2b的范围即可【解答】解：由，求导f（x）x2+ax+2b，f（x）的两个极值点分别在区间（0，1）与（1，2）内，求导f（x）x2+ax+2b，由x2+ax+2b0的两个根分别在区间（0，1）与（1，2）内，即，故a+2b1，而4+2a+4b0，故a+2b2，故a+2b的取值范围为（2，1），故选：B【点评】本题考查了函数
21、的极值问题，考查导数的应用以及方程根的问题，是一道中档题18【分析】设g（x）ex（2x1），ymxm，则存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线ymxm的下方，由此利用导数性质能求出m的取值范围【解答】解：如图示：函数f（x）ex（2x1）mx+m，其中m1，设g（x）ex（2x1），ymxm，存在两个整数x1，x2，使得f（x1），f（x2）都小于0，存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线ymxm的下方，g（x）ex（2x+1），当x时，g（x）0，当x时，g（x）ming（）2，当x0时，g（0）1，g（1）e0，直线ymxm恒过（1，0），斜率为m，故mg（0）1，且g（1）3e
22、1mm，解得m，g（2）2mm，解得a，m的取值范围是：，），故选：A【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题二填空题（共4小题）19【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x0处的导数，再由直线方程的点斜式得答案【解答】解：由y（x+2）ex，得yex+（x+2）ex（x+3）ex，y|x03，曲线y（x+2）ex在点（0，2）处的切线方程为y3x+2，即3xy+20故答案为：3xy+20【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是求出原函数的导函数，是基础题20【分析】构造函数g（x）（x0），依题意可知它是偶函数且在（0，+）上单调递增，于是f（x）x
23、2等价转化为g（x）g（1），即g（|x|）g（|1|）|x|1，从而可得答案【解答】解：令g（x）（x0），则g（x），因为足xf（x）2f（x）0，所以，当x0时，g（x）0，所以g（x） 在（0，+）上单调递增又f（x）是偶函数，故g（x）（x0）也是偶函数，而f（1）1，故g（1）f（1）1，因此，f（x）x21，即g（x）g（1），即g（|x|）g（|1|）所以，|x|1，解得：x1或x1则不等式f（x）x2的解集为（，1）（1，+），故答案为：（，1）（1，+）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g（x）（x0），并判断它为偶函数且在（0，+）上单调递增是关键，考查等
24、价转化思想与逻辑思维能力及运算能力，属于中档题21【分析】f（x）的定义域为（0，+），f（x）axb，由f（1）0，得b1a所以f（x），由此能求出a的取值范围【解答】解：f（x）的定义域为（0，+），f（x）axb，由f（1）0，得b1a所以f（x）若a0，由f（x）0，得x1当0x1时，f（x）0，此时f（x）单调递增；当x1时，f（x）0，此时f（x）单调递减所以x1是f（x）的极大值点若a0，由f（x）0，得x1，或x因为x1是f（x）的极大值点，所以1，解得1a0综合：a的取值范围是a1故答案为：a1【点评】本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意
25、合理地进行等价转化22【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设出两直线的方程，联立抛物线的方程，运用弦长公式，以及基本不等式可得所求最小值【解答】解：抛物线C：y22x的焦点F（，0），准线方程为x，由题意可得直线l1，l2的斜率存在且不为0，可设直线l1的方程为yk（x），直线l2的方程设为y（x），由可得k2x2（2k2+2）x+k20，设A，B的横坐标为x1，x2，则|AB|x1+x2+1+13+，将上式中的k换为，可得|CD|3+2k2，所以|AB|+|CD|6+2（k2+）6+228，当且仅当k1时，取得等号，即|AB|+|CD|的最小值为8故答案为：8【点评】本题考查抛物线的定义、方
26、程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题四解答题（共4小题）23【分析】（1）设公差为d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和【解答】解：（1）设公差d不为0的等差数列an中，前n项和记为Sn若a11，且S1，2S2，4S4成等比数列，则4S224S1S4，即有（2a1+d）2a1（4a1+6d），由a11，解得d2，则an1+2（n1）2n1；（2）由（1）可得Snn（1+2n1）n2，则Tn1+1【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性
27、质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题24【分析】（1）建立空间坐标系，利用向量数量积等于0证明MDCD，MDDC1，从而可得MD平面BDC1；（2）求出两平面的法向量，根据法向量的夹角得出二面角的大小【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBCBD1，又AB，AD2+BD2AB2，ADBD，又直四棱锥ABCDA1B1C1D1，DD1平面ABCD，以D为原点，以DA，DB，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则D（0，0，0），M（1，0，），B（0，1，0），C1（1，1，），（1，0，），（0，1，0），（1，1，），0，1+10，DMD
28、B，DMDC1，又DBDC1D，DM平面BDC1（2）解：由（1）可知（1，0，）是平面BDC1的法向量，（1，1，），（1，0，），设平面MBC1的法向量为（x，y，z），则，即，令z1可得（，1），cos，二面角MBC1D的余弦值为【点评】本题考查了线面垂直的判定，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题25【分析】（1）易知b1，而离心率e，再结合a2b2+c2，求出a的值即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则M（x1，y1），将直线l与椭圆的方程联立，消去y，写出韦达定理；用点斜式写出直线MB的方程，令y0，化简整理后可用含k和t的式子表示出|OQ|，而|OP|，于是可
29、得|OP|OQ|的值【解答】解：（1）椭圆E过点（0，1），b1，离心率e，ac，又a2b2+c2，a，椭圆的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则M（x1，y1），联立，得（1+2k2）x2+4ktx+2t220，x1+x2，x1x2，y1+y2k（x1+x2）+2tk（）+2t，对于直线l：ykx+t，令y0，则x，|OP|，对于直线MB：yy2（xx2），令y0，则x+x2，|OQ|，故|OP|OQ|2【点评】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题26【分析】（1）代入a的值，计算f（0），f（0），求出切线方程即
30、可；（2）当x0时，a（+x+）+1，当x0时，a（+x+）+1，令g（x）（+x+）+1，根据函数的单调性求出g（x）在各个区间上的最值，从而求出a的范围即可【解答】解：（1）a2时，f（x）（x2+x+1）ex，f（0）1，f（x）（x+1）（x+2）ex，故f（0）2，故切线方程是：y12x，即y2x+1；（2）由f（x）+e20，得（a1）xx21，当x0时，不等式成立，当x0时，a（+x+）+1，当x0时，a（+x+）+1，令g（x）（+x+）+1，则g（x），令h（x）（x1）exe2，当x1时，h（x）0，当x1时，h（x）xex0，h（x）递增，h（2）0，故h（x）0只有1个根x2，故令g（x）0，解得：x1或x2，当x1时，g（x）0，当1x0时，g（x）0，当0x2时，g（x）0，当x2时，g（x）0，故当x0时，g（x）在（0，2）递增，在（2，+）递减，g（x）maxg（2）2，故a2；当x0时，g（x）在（，1）递减，在（1，0）递增，故g（x）ming（1）e3+3，故ae3+3，综上：a2，e3+3【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道常规题