1、9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.4.掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.直线的倾斜角、斜率、直线方程是最基本的内容，高考中一般不单独命题，主要在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查.1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0180.2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan .(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x
2、1x2，则l的斜率k.3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式(x1x2，y1y2)不含直线xx1 和直线yy1截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1.直线都有倾斜角，是不是直线都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？提示倾斜角0，)，当时，斜率k不存在；因为ktan .当时，越大，斜率k就越大，同样时也是如此，但当(0，)且时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，
3、也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)若直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示.()题组二教材改编2.若过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A.1 B.4 C.1或3 D.1或4答案A解析由题意得1，解得m1.3.已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为_.答案或解析由|k|tan |1知tan 1，或.题
4、组三易错自纠4.已知两点A(1，2)，B(m，3)，且m，则直线AB的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析当m1时，；当m1时，k(， ，.综合知直线AB的倾斜角的取值范围是.5.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_.答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.6.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.答案(，1，)解析如图所示，当直线l过点B时，k1.当直线l过点A时，k21，要使直线l与线段AB有公
5、共点，则直线l的斜率的取值范围是(，1，). 直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是 ()A. B.C. D.答案B解析直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1，.设直线的倾斜角为，则有tan 1，.又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)(2020安阳模拟)已知点A(1，3)，B(2，1).若直线l：yk(x2)1与线段AB恒相交，则k的取值范围是()A.k B.k2C.k或k2 D.2k答案D解析直线l：yk(x2)1经过定点P(2，1)，kPA2，kPB，又直线l：yk(x2)1与线段AB恒相交，2k.本例(2)
6、直线l改为ykx，若l与线段AB恒相交，则k的取值范围是_.答案3，)解析直线l过定点P(0，0)，kPA3，kPB，k3或k.思维升华(1)倾斜角与斜率k的关系当时，k0，).当时，斜率k不存在.当时，k(，0).(2)斜率的两种求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率.公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率.(3)倾斜角范围与直线斜率范围互求时，要充分利用ytan 的单调性.跟踪训练1(1)若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为_.答案4解析由题意知kABkAC，即1，解得a
7、4.(2)若直线l经过A(3，1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是_.答案解析直线l的斜率k1m21，所以ktan 1.又ytan 在上是增函数，因此. 求直线的方程1.已知点M是直线l：2xy40与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45，得到的直线方程是()A.xy30 B.x3y20C.3xy60 D.3xy60答案D解析设直线l的倾斜角为，则tan k2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45，所得直线的斜率ktan3，又点M(2，0)，所以y3(x2)，即3xy60.2.直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为_.答案x3y40解析由题意知，直线的斜
8、率存在，设倾斜角为，则sin (0，)，从而cos ，则ktan .故所求直线的方程为y(x4)，即x3y40.3.过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的的直线方程为_.答案3x4y150解析设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.4.过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_.答案xy30或x2y40解析由题意可设直线方程为1.则解得ab3，或a4，b2.故所求直线方程为xy30或x2y40.思维升华(1)求直线方程一般有以下两种方法：直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.待
9、定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用. 直线方程的综合应用例2已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当AOB面积最小时，求直线l的方程.解方法一设直线l的方程为y1k(x2)，则可得A，B(0，12k).与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，k0，b0)，则1.又2ab4，当且仅当，即a4，b2时，AOB面积Sab有最小值为4.此时，直线l的方程是1
10、.本例中，当|MA|MB|取得最小值时，求直线l的方程.解方法一由例2知A，B(0，12k)(k0，b0，1.|MA|MB|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)524，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.思维升华(1)求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式(或函数)求解最值.(2)求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决问题.跟踪训练2已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形
11、的面积最小时，求实数a的值.解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42，当a时，四边形的面积最小.1.直线xya0(a为常数)的倾斜角为()A.30 B.60 C.150 D.120答案B解析设直线的倾斜角为，斜率为k，化直线方程为yxa，ktan .0180，60.2.过点(1，2)且倾斜角为150的直线方程为()A.x3y60B.x3y60C.x3y60D.x3y60答案D解析ktan 150，直线方程为y2(x1)，即x3y60.3.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为
12、k1，k2，k3，则 ()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选D.4.已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A.1 B.1C.2或1 D.2或1答案D解析令x0，y2a，令y0，x，则2a.即(a2)(a1)0，a2或a1.5.直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为，又10，b0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为_.答案4解析直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，
13、abab，即1，ab(ab)2224，当且仅当ab2时上式等号成立.直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.10.设点A(1，0)，B(1，0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_.答案2，2解析b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值2和最大值2.b的取值范围是2，2.11.设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR).(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在
14、且均不为0，a2，即a11.a0，即方程为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.综上可知a的取值范围是(，1.12.已知直线l：kxy12k0(kR).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2，1).(2)解依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，且k0，所以A，B(0，12k)，故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时取等
15、号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.13.已知P(3，2)，Q(3，4)及直线axy30.若沿的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是_.答案解析直线l：axy30是过点A(0，3)的直线系，斜率为参变数a，易知PQ，QA，l的斜率分别为：kPQ，kAQ，kla.若l与PQ延长线相交，由图可知kPQklkAQ，解得a0，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，则的最小值为_.答案解析动直线l0：axbyc30(a0，c0)恒过点P(1，m)，abmc30.又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，3，解得m0.ac3.则(ac)，
16、当且仅当c2a2时取等号.15.已知方程kx32k有两个不同的解，则实数k的取值范围为()A. B. C. D.答案B解析由题意得，半圆y与直线ykx32k有两个交点，又直线ykx32ky3k(x2)过定点C(2，3)，如图所示，又点A(2，0)，B(2，0)，当直线在AC位置时，斜率k.当直线和半圆相切时，由2，解得k，故实数k的取值范围为.16.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程.解由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在直线yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，).又P(1，0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.