1、8.5圆与圆的位置关系及圆的应用圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解概念方法微思考1两圆的公切线条数有几种情况提示有5种情况内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条2怎样得到两圆公共弦所在直线的方程？提示当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共
2、弦所在直线的方程题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()题组二教材改编2圆C1：x2y22x0，圆C2：x2y24y0，则两圆的位置关系是_答案相交解析圆C1：(x1)2y21，圆C2：x2(y2)222，所以C1C2，且210)，点N为圆M上任意一点若以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为_答案3解析由题意，得圆N与圆M内切或内含，即MNON1O
3、N2，又ON的最小值为OM1，所以OM3，3a3或a0(舍)，因此a的最小值为3.思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为(1)确定两圆的圆心坐标和半径长(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|.(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论跟踪训练1 (1)圆C1：(x2)2(y2)24和圆C2：(x2)2(y5)216的位置关系是()A外离 B相交 C内切 D外切答案B解析易得圆C1的圆心为C1(2,2)，半径r12，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r24，圆心距|C1C2|5r2r1，所以两圆相交(2)圆x2y24x4y70与圆x2y
4、24x10y130的公切线有_条答案4解析两圆的标准方程分别为(x2)2(y2)21，(x2)2(y5)216.两圆圆心分别为(2,2)，(2，5)两圆的圆心距d，半径分别为r11，r24，则dr1r2，即两圆外离，因此它们有4条公切线 两圆的公共弦问题例2 已知圆C：x2y210x10y0与圆M：x2y26x2y400相交于A，B两点(1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程；(2)求AB的长解(1)直线AB的方程为x2y210x10y(x2y26x2y40)0，即4x3y100.(2)由题意知，圆C的标准方程为(x5)2(y5)250，因为C(5,5)，所以圆C到直线AB的距离为d5，圆C的
5、半径r5，所以AB210.思维升华 当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就是两圆的公共弦所在直线的方程跟踪训练2 (1)圆C1：x2y22x80与圆C2：x2y22x4y40的公共弦长为_答案2解析由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为xy10，得圆心C1(1,0)到直线l的距离为d，圆C1的半径为r13，所以圆C1与圆C2的公共弦长为222.(2)已知圆C1：x2y26x60，圆C2：x2y24y60，请判断两圆的位置关系，并说明两圆是否存在公共弦若存在，求出公共弦所在直线的方程，若不存在，请说明理由解圆C1：x2y26x60，即(x3)2y215，圆心坐标为(3
6、,0)，半径r1；圆C2：x2y24y60，即x2(y2)210，圆心坐标为(0,2)，半径r2.C1C2(，)，圆C1与圆C2相交，两圆存在公共弦由圆C1：x2y26x60，圆C2：x2y24y60，得6x4y0，即3x2y0.两圆公共弦所在直线的方程为3x2y0. 圆的应用命题点1利用两圆位置关系求参数例3 (1)如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_答案(2，0)(0,2)解析圆C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得022，0|a|0)，因为直线PF与圆C相切，所以25，解得k(k0舍去)所以直线
7、PF的方程为y(x50)，即4x3y2000.(2)以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系，设直线PF的方程为yk(x50)(k0)，圆C的方程为x2(yr)2r2(r0)由已知得直线PE的倾斜角为.因为tanAPFtan(GPFGPA)，所以k，所以直线PF的方程为y(x50)，即40x9y2 0000.因为直线PF与圆C相切，所以r，解得r40或62.5(舍)故该圆形标志物的半径为40 m.思维升华 (1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和r1r2的关系(2)日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时可建立坐标系，利用圆的方程或直线与圆
8、、圆与圆的位置关系解决跟踪训练3 (2014江苏)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tanBCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解(1)如图，过点B作BEOC于点E，过点A作AFBE于点F.ABC90，BEC90，ABFBCE，tanABFtanBCO.设AF4x(m)，则BF3x(m)，AOEAFEOEF90，OEAF4x(m)，EFAO60(m)，BE(3x60)m.tanBCO，CEBE m，OC m，4xx45170，解得x20.BE120 m，CE90 m.综上所述，BC150 m.(2)如图，设BC与M切于点Q，延长QM，CO交于点P，POMPQC90.PMOBCO.设OMx m，则OPx m，PMx m.PCm，PQm.设M的半径为R，RMQm，A，O到M上任一点的距离不少于80 m，则即解得10x35.当且仅当x10时R取到最大值当OM10 m时，保护区面积最大，综上所述，当OM10 m时，保护区面积最大